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Prova.
Sejam v1, . . . , vm vetores distintos em S e seja
w = \u3bb1v1 + . . .+ \u3bbmvm .
Enta\u2dco,
\u3008w, vk\u3009 =
m\u2211
j=1
\u3bbj\u3008vj, vk\u3009 = \u3bbk\u3008vk, vk\u3009 .
J. Delgado - K. Frensel 278 Instituto de Matema´tica - UFF
Produto Interno - Definic¸o\u2dces ba´sicas
Como \u3008vk, vk\u3009 6= 0, temos que \u3bbk = \u3008w, vk\u3009\u3008vk, vk\u3009 , k = 1, . . . ,m.
Assim, \u3bb1 = . . . = \u3bbm = 0, se w = 0. Logo, S e´ um conjunto LI. \ufffd
Observac¸a\u2dco 1.7
Se w = \u3bb1v1 + . . .+ \u3bbmvm e´ uma combinac¸a\u2dco linear de vetores na\u2dco-nulos
ortogonais, enta\u2dco
w =
m\u2211
k=1
\u3008w, vk\u3009
\u2016vk\u20162 vk .
Observac¸a\u2dco 1.8
Se {v1, . . . , vm} e´ um conjunto ortogonal de vetores na\u2dco-nulos em V , enta\u2dco
m \u2264 dim(V).
Processo de
ortogonalizac¸a\u2dco de
Gram-Schmidt
Teorema 1.1
Seja V um espac¸o vetorial com produto interno e sejam v1, . . . , vn vetores
LI em V . Enta\u2dco, existem vetores ortogonais w1, . . . , wn em V tais que,
para cada k = 1, . . . , n, o conjunto {w1, . . . , wk} e´ uma base do subespac¸o
gerado pelos vetores v1, . . . , vk.
Prova.
Tome w1 = v1. Suponhamos que w1, . . . , wm, 1 \u2264 m < n, tenham sido
escolhidos de modo que, para cada k,
{w1, . . . , wk} , 1 \u2264 k \u2264 m ,
seja uma base ortonormal do subespac¸o gerado por v1, . . . , vk.
Tome
wm+1 = vm+1 \u2212
m\u2211
k=1
\u3008vm+1, wk\u3009
\u2016wk\u20162 wk .
Enta\u2dco, wm+1 6= 0, pois, caso contra´rio, vm+1 seria combinac¸a\u2dco linear de
w1, . . . , wm e, portanto, uma combinac¸a\u2dco linear de v1, . . . , vm.
Ale´m disso, se 1 \u2264 j \u2264 m,
\u3008wm+1, wj\u3009 = \u3008vm+1, wj\u3009\u2212
m\u2211
k=1
\u3008wm+1, wk\u3009
\u2016wk\u20162 \u3008wk, wj\u3009
= \u3008wm+1, wj\u3009\u2212 \u3008wm+1, wj\u3009 = 0 .
J. Delgado - K. Frensel 279 Instituto de Matema´tica - UFF
Produto Interno - Definic¸o\u2dces ba´sicas
Portanto, {w1, . . . , wm+1} e´ um conjunto ortogonal de m + 1 vetores na\u2dco-
nulos do subespac¸o gerado pelos vetores v1, . . . , vm+1. Como, pela propo-
sic¸a\u2dco anterior, {w1, . . . , wm+1} e´ um conjunto LI, temos que {w1, . . . , wm+1}
e´ uma base do subespac¸o gerado pelos vetores v1, . . . , vm+1.
Prosseguindo desta maneira, podemos obter n vetores w1, . . . , wn ortogo-
nais tais que {w1, . . . , wn} e´ uma base do subespac¸o gerado pelos vetores
{v1, . . . , vn}. \ufffd
Corola´rio 1.1
Todo espac¸o vetorial V de dimensa\u2dco finita com produto interno possui uma
base ortonormal.
Prova.
Seja {v1, . . . , vn} uma base de V . Pelo processo de ortogonalizac¸a\u2dco de
Gram-Schmidt, podemos construir uma base ortogonal {w1, . . . , wn}.
Enta\u2dco {w \u20321, . . . , w \u2032n} e´ uma base ortonormal de V , onde
w \u20321 =
w1
\u2016w1\u2016 =
v1
\u2016v1\u2016 ;
w \u20322 =
w2
\u2016w2\u2016 =
v2 \u2212 \u3008v2, w \u20321\u3009w \u20321
\u2016v2 \u2212
\u2329
v2, w
\u2032
1
\u232a
w \u20321\u2016
;
w \u20323 =
w3
\u2016w3\u2016 =
v3 \u2212 \u3008v3, w \u20321\u3009w \u20321 \u2212 \u3008v3, w \u20322\u3009w \u20322
\u2016v3 \u2212
\u2329
v3, w
\u2032
1
\u232a
w \u20321 \u2212
\u2329
v3, w
\u2032
2
\u232a
w \u20322\u2016
;
· · ·
w \u2032j =
wj
\u2016wj\u2016 =
vj \u2212
j\u22121\u2211
i=1
\u2329
vj, w
\u2032
i
\u232a
w \u2032i\u2225\u2225\u2225\u2225\u2225vj \u2212
j\u22121\u2211
i=1
\u2329
vj, w
\u2032
i
\u232a
w \u2032i
\u2225\u2225\u2225\u2225\u2225
;
· · ·
w \u2032n =
wn
\u2016wn\u2016 =
vn \u2212
n\u22121\u2211
i=1
\u2329
vn, w
\u2032
i
\u232a
w \u2032i\u2225\u2225\u2225\u2225\u2225vn \u2212
n\u22121\u2211
i=1
\u2329
vn, w
\u2032
i
\u232a
w \u2032i
\u2225\u2225\u2225\u2225\u2225
. \ufffd
J. Delgado - K. Frensel 280 Instituto de Matema´tica - UFF
Produto Interno - Definic¸o\u2dces ba´sicas
Observac¸a\u2dco 1.9
Seja V um espac¸o vetorial com produto interno e seja G a matriz do pro-
duto interno em relac¸a\u2dco a uma base ortonormal B = {v1, . . . , vn}. Enta\u2dco,
G e´ a matriz identidade e
\u3008u,w\u3009 = Y?X =
n\u2211
j=1
xj yj ,
onde X = [u]B e Y = [w]B.
Observac¸a\u2dco 1.10
O processo de Gram-Schmidt tambe´m pode ser usado para testar de-
pende\u2c6ncia linear. De fato, suponhamos que v1, . . . , vn sejam vetores LD
em um espac¸o vetorial com produto interno e que v1 6= 0. Seja m o maior
inteiro para o qual os vetores v1, . . . , vm sa\u2dco LI. Enta\u2dco 1 \u2264 m < n. Sejam
w1, . . . , wm os vetores obtidos aplicando o processo de ortogonalizac¸a\u2dco
aos vetores v1, . . . , vm. Enta\u2dco, o vetor
wm+1 = vm+1 \u2212
m\u2211
k=1
\u3008vm+1, wk\u3009
\u2016wk\u20162 wk ,
e´ nulo, pois como wm+1 esta´ no subespac¸o gerado por w1, . . . , wm, ja´
que vm+1 pertence ao subespac¸o gerado por v1, . . . , vm que e´ igual ao
subespac¸o gerado por w1, . . . , wm e e´ ortogonal a cada um desses veto-
res, temos
wm+1 =
m\u2211
k=1
\u3008wm+1, wk\u3009
\u2016wk\u20162 wk = 0 .
Reciprocamente, sew1, . . . , wm sa\u2dco na\u2dco-nulos ewm+1 = 0, enta\u2dco v1, . . . , vn
sa\u2dco LI, mas v1, . . . , vm+1 sa\u2dco LD.
Exemplo 1.9
Considere os vetores v1 = (3, 0, 4), v2 = (\u22121, 0, 7) e v3 = (2, 9, 11) em
R3 munido do produto interno cano\u2c6nico. Aplicando o processo de Gram-
Schmidt aos vetores v1, v2 e v3, obtemos os seguintes vetores:
\u2022 w1 = (3, 0, 4) ;
\u2022 w2 = (\u22121, 0, 7) \u2212 \u3008(\u22121, 0, 7), (3, 0, 4)\u3009
25
(3, 0, 4)
= (\u22121, 0, 7) \u2212 (3, 0, 4) = (\u22124, 0, 3) ;
J. Delgado - K. Frensel 281 Instituto de Matema´tica - UFF
Produto Interno - Definic¸o\u2dces ba´sicas
\u2022 w3 = (2, 9, 11) \u2212 \u3008(2, 9, 11), (3, 0, 4)\u3009
25
(3, 0, 4) \u2212
\u3008(2, 9, 11), (\u22124, 0, 3)\u3009
25
(\u22124, 0, 3)
= (2, 9, 11) \u2212 2(3, 0, 4) \u2212 (\u22124, 0, 3) = (0, 9, 0) .
Como w1, w2 e w3 sa\u2dco na\u2dco-nulos e ortogonais, {w1, w2, w3} e´ uma base
ortogonal de R3 e, portanto,{
w \u20321 =
w1
\u2016w1\u2016 =
(3, 0, 4)
5
, w \u20322 =
w2
\u2016w2\u2016 =
(\u22124, 0, 3)
5
, w \u20323 =
w3
\u2016w3\u2016 = (0, 1, 0)
}
e´ uma base ortonormal de R3.
Seja X = (x1, x2, x3) \u2208 R3. Enta\u2dco,
X = (x1, x2, x3) = \u3008X,w \u20321\u3009w \u20321 + \u3008X,w \u20322\u3009w \u20322 + \u3008X,w \u20323\u3009w \u20323
=
3x1 + 4x3
5
w \u20321 +
\u22124x1 + 3x3
5
w \u20322 + x2w
\u2032
3 .
E a base {f1, f2, f3} de (R3)? dual da base {w \u20321, w \u20322, w \u20323} e´ dada por:
f1(x1, x2, x3) =
3x1 + 4x3
5
f2(x1, x2, x3) =
\u22124x1 + 3x3
5
f3(x1, x2, x3) = x2 .
\ufffd
Definic¸a\u2dco 1.5
Seja W um subespac¸o de um espac¸o vetorial V com produto interno e
seja v \u2208 V . Uma melhor aproximac¸a\u2dco de v por vetores de W e´ um vetor
w \u2208W tal que
\u2016v\u2212w\u2016 \u2264 \u2016v\u2212 u\u2016 , \u2200u \u2208W .
Teorema 1.2
Seja W um subespac¸o de um espac¸o vetorial V com produto interno e
seja v \u2208 V .
(a) O vetor w \u2208 W e´ uma melhor aproximac¸a\u2dco de v por vetores de W se,
e somente se, v\u2212w e´ ortogonal a todo vetor de W.
(b) Se uma melhor aproximac¸a\u2dco de v por vetores de W existir, ela e´ u´nica.
(c) Se W e´ de dimensa\u2dco finita e {w1, . . . , wn} e´ uma base ortonormal de
W, enta\u2dco
J. Delgado - K. Frensel 282 Instituto de Matema´tica - UFF
Produto Interno - Definic¸o\u2dces ba´sicas
w =
n\u2211
k=1
\u3008v,wk\u3009wk ,
e a (u´nica) melhor aproximac¸a\u2dco de v por vetores de W.
Prova.
Se u e´ um vetor arbitra´rio de V , enta\u2dco v\u2212 u = (v\u2212w) + (w\u2212 u) e
\u2016v\u2212 u\u20162 = \u2016v\u2212w\u20162 + 2<\u3008v\u2212w,w\u2212 u\u3009+ \u2016w\u2212 u\u20162 (I)
Suponhamos que v\u2212w seja ortogonal a todo vetor em W, u \u2208W e u 6= w.
Como w\u2212 u \u2208W, temos que
\u2016v\u2212 u\u20162 = \u2016v\u2212w\u20162 + \u2016w\u2212 u\u20162 > \u2016v\u2212w\u20162 .
Reciprocamente, suponhamos que \u2016v \u2212 u\u2016 \u2265 \u2016v \u2212 w\u2016 para todo u \u2208 W.
Enta\u2dco, por (I), temos que
2<\u3008v\u2212w,w\u2212 u\u3009+ \u2016w\u2212 u\u20162 \u2265 0 ,
para todo vetor u \u2208W.
Como todo vetor em W pode ser expresso na forma w \u2212 u, com u \u2208 W,
temos que
2<\u3008v\u2212w, x\u3009+ \u2016x\u20162 \u2265 0 (II)
para todo vetor x \u2208W. Em particular, se u \u2208W e u 6= w, podemos tomar
x = \u2212
\u3008w\u2212 u, v\u2212w\u3009
\u2016w\u2212 u\u20162 (w\u2212 u) .
Enta\u2dco, a desigualdade (II) se reduz a
\u22122
|\u3008v\u2212w,w\u2212 u\u3009|2
\u2016w\u2212 u\u20162 +
|\u3008v\u2212w,w\u2212 u\u3009|2
\u2016w\u2212 u\u20162 \u2265 0 ,
ou seja \u2212 |\u3008v\u2212w,w\u2212 u\u3009|2 \u2265 0. Logo, \u3008v\u2212w,w\u2212 u\u3009 = 0.
Como todo vetor em W pode ser escrito na forma w \u2212 u, u \u2208 W, temos
que v\u2212w e´ ortogonal a todo vetor em W.
Seja w \u2032 uma outra melhor aproximac¸a\u2dco de v por vetores de W. Enta\u2dco,
\u3008v\u2212w,w\u2212w \u2032\u3009 = 0 , e \u3008v\u2212w \u2032, w\u2212w \u2032\u3009 = 0 ,
ou seja,
\u3008v,w\u2212w \u2032\u3009 = \u3008w,w\u2212w \u2032\u3009 , e \u3008v,w\u2212w \u2032\u3009 = \u3008w \u2032, w\u2212w \u2032\u3009 .
Logo, \u3008w\u2212w,w\u2212w \u2032\u3009 = 0 , isto e´, w \u2032 = w.
Suponhamos agora que W tem dimensa\u2dco finita e que {w1, . . . , wn} e´ uma
J. Delgado - K. Frensel 283 Instituto de Matema´tica - UFF
Produto Interno - Definic¸o\u2dces ba´sicas
base ortonormal de W. Seja w =
n\u2211
k=1
\u3008v,wk\u3009wk. Enta\u2dco,
\u3008v\u2212w,wj\u3009 = \u3008v,wj\u3009\u2212 \u3008w,wj\u3009
= \u3008v,wj\u3009\u2212
n\u2211
k=1
\u3008v,wk\u3009 \u3008wk, wj\u3009
= \u3008v,wj\u3009\u2212 \u3008v,wj\u3009 = 0 ,
para todo j = 1, . . . , n.
Assim, v\u2212w e´ ortogonal a toda combinac¸a\u2dco linear dos vetores w1, . . . , wk,
isto e´, a todo vetor de W. Enta\u2dco, por (a), w e´ a melhor aproximac¸a\u2dco