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essa afirmac¸a\u2dco, suponha que \u3bbx = 0, com \u3bb 6= 0.
Enta\u2dco,
0 = \u3bb\u22121(\u3bbx) = (\u3bb\u22121\u3bb)x = 1 · x = x.
5. Para cada x \u2208 E existe um u´nico vetor y \u2208 E, tal que x+ y = 0.
De fato, y = y+0 = y+(x+(\u2212x)) = (y+x)+(\u2212x) = 0+(\u2212x) = \u2212x .
6. (\u22121)x = \u2212x, \u2200x \u2208 E.
Para verificar essa afirmac¸a\u2dco, considere a seguinte cadeia de igual-
dades:
0 = 0x = (1+ (\u22121))x = 1x+ (\u22121)x = x+ (\u22121)x =\u21d2 (\u22121)x = \u2212x .
Definic¸a\u2dco 1.2
Designamos por x\u2212 y o vetor x+ (\u2212y).
Exemplo 1.1
1. Seja K um corpo. O conjunto
Kn = {(x1, x2, . . . , xn) | x1, x2, . . . , xn \u2208 K} ,
e´ o espac¸o vetorial das n\u2212u´plas sobre K, com as operac¸o\u2dces de
adic¸a\u2dco e multiplicac¸a\u2dco por escalares de K definidas por:
J. Delgado - K. Frensel 30 Instituto de Matema´tica - UFF
Espac¸o Vetorial - definic¸o\u2dces e propriedades ba´sicas
+ : (x1, . . . , xn) + (y1, . . . , yn) = (x1 + y1, . . . , xn + yn)
· : \u3bb · (x1, . . . , xn) = (\u3bbx1, . . . , \u3bbxn) .
Neste espac¸o, o vetor nulo e´ 0 = (0, . . . , 0).
Se K = R, enta\u2dco Kn = Rn, se K = C, enta\u2dco Kn = Cn etc.
2. O conjunto das matrizes m× n com entradas no corpo K:
Km×n = {A |A = (Aij)ij e´ uma matriz com Aij \u2208 K}
Note que ...
K1×n se identifica com Kn.e´ um espac¸o vetorial com as operac¸o\u2dces:
+ : (A+ B)ij = Aij + Bij
· : (\u3bb ·A)ij = \u3bbAij .
3. Seja S um conjunto na\u2dco-vazio eK um corpo. O conjunto das func¸o\u2dces
de S em K:
F(S,K) = {f : S\u2192 K}
e´ um espac¸o vetorial com as operac¸o\u2dces dadas por:
+ : (f+ g)(p) = f(p) + g(p), \u2200p \u2208 S
· : (\u3bb · f)(p) = \u3bb · f(p), \u2200\u3bb \u2208 K, \u2200p \u2208 S .
Em geral ...
Voce\u2c6 pode verificar que se S e´
um conjunto na\u2dco-vazio e E e´
um espac¸o vetorial, enta\u2dco o
conjunto F(S, E) que consiste
das aplicac¸o\u2dces
f : S\u2192 E
e´ um espac¸o vetorial com as
operac¸o\u2dces de adic¸a\u2dco e
multiplicac¸a\u2dco por escalares
herdadas das operac¸o\u2dces
correspondentes que fazem
de E um espac¸o vetorial.
Neste caso, o vetor nulo e´ a func¸a\u2dco zero: O(p) = 0, \u2200p \u2208 S e, para
cada f \u2208 F(S,K), a func¸a\u2dco \u2212f \u2208 F(S,K) que a cada p \u2208 S faz
corresponder o escalar (\u2212f)(p) = \u2212(f(p)), e´ o inverso aditivo de f.
Observe que os espac¸os vetoriais dos itens 1. e 2. sa\u2dco casos parti-
culares deste exemplo (item 3.). De fato,
\u2022 no item 1. o conjunto S e´ {1, 2, . . . , n} ;
\u2022 no item 2. o conjunto S e´ {(i, j) | 1 \u2264 i \u2264 m, e 1 \u2264 j \u2264 n}.
4. O conjunto das func¸o\u2dces polinomiais na indeterminada x com coefici-
entes sobre o corpo K
K[x] = {p(x) = c0 + c1x+ . . . cnxn | c0, c1, . . . , cn \u2208 K , n \u2208 N},
e´ um espac¸o vetorial com as operac¸o\u2dces definidas como no item 3.
Atividade.
1. O conjunto Kn[x] que
consiste das func¸o\u2dces
polinomiais na indeterminada
x, grau menor ou igual a n e
com coeficientes sobre o
corpo K e´ um espac¸o
vetorial?
2. O conjunto K[x, y] que
consiste dos polino\u2c6mios nas
indeterminadas x e y com
coeficientes no corpo K e´ um
espac¸o vetorial? O que pode
dizer sobre o caso em que o
grau e´ menor ou igual a n?
3. Generalize as concluso\u2dces
de 2. para o conjunto dos
polino\u2c6mios com uma
quantidade finita de
indeterminadas.
Justifique suas respostas.
5. Se F e´ um subcorpo de K, enta\u2dco K e´, de maneira natural, um
espac¸o vetorial sobre F . Em particular, todo corpo e´ um espac¸o
vetorial sobre si mesmo.
Por exemplo
J. Delgado - K. Frensel 31 Instituto de Matema´tica - UFF
Espac¸o Vetorial - definic¸o\u2dces e propriedades ba´sicas
\u2022 C e´ um espac¸o vetorial sobre R,
\u2022 R e´ um espac¸o vetorial sobre Q,
\u2022 C e´ um espac¸o vetorial sobre Q,
\u2022 C e´ um espac¸o vetorial sobre C etc.
\ufffd
Observac¸a\u2dco 1.2
As propriedades associativa e comutativa da adic¸a\u2dco de vetores implicam
que uma soma envolvendo um certo nu´mero de vetores independe da
maneira pela qual estes vetores esta\u2dco combinados ou associados. Logo,
se v1, . . . , vn sa\u2dco vetores em E, a soma deles pode ser escrita, sem am-
bigu¨idade, como
v1 + v2 + · · ·+ vn.
Definic¸a\u2dco 1.3
Um vetor \u3b2 do espac¸o vetorial E e´ uma combinac¸a\u2dco linear dos vetores
v1, v2, . . . , vn \u2208 E, se existem escalares c1, c2, . . . , cn \u2208 K, tais que
\u3b2 = c1v1 + c2v2 + . . .+ cnvn\u2d9
Observac¸a\u2dco 1.3
Usando as propriedades associativa e comutativa da adic¸a\u2dco e as proprie-
dades distributivas da multiplicac¸a\u2dco por escalares, obtemos:
n\u2211
i=1
civi +
n\u2211
i=1
divi =
n\u2211
i=1
(ci + di)vi ,
c
n\u2211
i=1
civi =
n\u2211
i=1
(cci)vi .
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Subespac¸o Vetorial
2. Subespac¸o Vetorial
Definic¸a\u2dco 2.1
Seja E um espac¸o vetorial sobre o corpo K. Um subconjunto F \u2282 E e´
um subespac¸o vetorial de E se F for um espac¸o vetorial sobre K com as
operac¸o\u2dces de adic¸a\u2dco de vetores e multiplicac¸a\u2dco de vetores por escalares
que fazem de E um espac¸o vetorial. Ou seja, F \u2282 E e´ um subespac¸o
vetorial de E se:
1. 0 \u2208 F;
2. v \u2208 F =\u21d2 \u2212v \u2208 F;
3. u \u2208 F e v \u2208 F =\u21d2 u+ v \u2208 F;
4. \u3bb \u2208 K e v \u2208 F =\u21d2 \u3bbv \u2208 F.
Proposic¸a\u2dco 2.1
Um subconjunto na\u2dco-vazio F \u2282 E e´ um subespac¸o vetorial de E se, e
somente se, \u3bbv+w \u2208 F, \u2200v,w \u2208 F, \u2200\u3bb \u2208 K.
Prova.
(=\u21d2) e´ evidente.
(\u21d0=) Como F 6= \u2205, seja v \u2208 F. Logo, (\u22121)v+ v = 0 \u2208 F.
Sejam w \u2208 F e \u3bb \u2208 K. Enta\u2dco, \u3bbw+ 0 = \u3bbw \u2208 F .
Em particular, \u2212w = (\u22121)w \u2208 F.
Finalmente, se v,w \u2208 F, enta\u2dco 1v+w = v+w \u2208 F. Logo, F e´ um subespac¸o
vetorial de E. \ufffd
Exemplo 2.1
1. E e´ um subespac¸o de E.
2. F = {0} e´ um subespac¸o de E, denominado o subespac¸o nulo de E.
3. O espac¸o K[x] das func¸o\u2dces polinomiais com coeficientes no corpo K
e´ um subespac¸o do espac¸o de todas as func¸o\u2dces de K em K.
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Subespac¸o Vetorial
4. Uma matriz n × n A sobre o corpo K e´ dita sime´trica se Aij = Aji,
\u2200i, j \u2208 {1, . . . , n}.
As matrizes sime´tricas formam um subespac¸o do espac¸o vetorial
Kn×n das matrizes n× n sobre o corpo K.
5. Uma matriz n×n A sobre o corpo C dos nu´meros complexos e´ her-
mitiana se Ajk = Akj, \u2200j, k \u2208 {1, . . . , n}. Se A e´ uma matriz hermiti-
ana, todas as entradas da diagonal A11, A22, . . . , Ann, sa\u2dco nu´meros
reais.
\u2022 O conjunto das matrizes hermitianas n × n na\u2dco e´ um subespac¸o
do espac¸o das matrizes n×n sobre o corpo C, pois, por exemplo, a
matriz identidade I e´ hermitiana, mas iI na\u2dco e´.
\u2022 O conjunto das matrizes hermitianas n × n e´ um espac¸o vetorial
sobre o corpo R dos nu´meros reais.
\ufffd
Lema 2.1
Se A e´ uma matriz m × n sobre K e B, C sa\u2dco matrizes n × p sobre K,
enta\u2dco
A(\u3bbB+ C) = \u3bb(AB) +AC ,
onde \u3bb \u2208 K e´ um escalar qualquer.
Prova.
[A(\u3bbB+ C)]ij =
n\u2211
k=1
Aik(\u3bbB+ C)kj
=
n\u2211
k=1
Aik(\u3bbBkj + Ckj)
=
n\u2211
k=1
(\u3bbAikBkj +AikCkj)
= \u3bb
n\u2211
k=1
AikBkj +
n\u2211
k=1
AikCkj
= \u3bb[AB]ij + [AC]ij .
\ufffd
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Subespac¸o Vetorial
Exemplo 2.2
Seja A uma matriz m× n sobre K.
O subconjunto {X \u2208 Kn×1 |AX = 0} e´ um subespac¸o de Kn×1.
De fato:
\u2022 Se AX = AY = 0, enta\u2dco A(\u3bbX+ Y) = \u3bbAX+AY = 0, \u2200\u3bb \u2208 K.
\u2022 Se X = 0, enta\u2dco AX = 0. \ufffd
Proposic¸a\u2dco 2.2
A intersec¸a\u2dco de uma colec¸a\u2dco arbitra´ria {F\u3b1}\u3b1\u2208I de subespac¸os de E e´ um
subespac¸o de E.
Prova.
Seja F = \u2229\u3b1\u2208IF\u3b1. Como 0 \u2208 F\u3b1, \u2200\u3b1 \u2208 I, temos que 0 \u2208 F. Logo, F 6= \u2205.
Se v,w \u2208 F, enta\u2dco v,w \u2208 F\u3b1, \u2200\u3b1 \u2208 I.
Logo, \u3bbv+w \u2208 F\u3b1, \u2200\u3b1 \u2208 I, ou seja, \u3bbv+w \u2208 F, \u2200\u3bb \u2208 K e \u2200v,w \u2208 F. \ufffd
Definic¸a\u2dco 2.2
Seja S \u2282 E um subconjunto. O subespac¸o de E gerado por S e´ a intersec¸a\u2dco
de todos os subespac¸os de E que conte´m S.
Isto e´, o subespac¸o de E gerado por S e´ o menor subespac¸o de E que
conte´m S.
Observac¸a\u2dco 2.1
O subespac¸o gerado por S = \u2205 e´ o subespac¸o nulo. O u´nico vetor desse
subespac¸o e´ o vetor nulo, 0.
Proposic¸a\u2dco 2.3
Seja S \u2282 E um subconjunto na\u2dco-vazio. Enta\u2dco o subespac¸o F gerado por S
e´ o conjunto de todas as combinac¸o\u2dces lineares de vetores em S.
Prova.
Seja W o conjunto de todas as combinac¸o\u2dces lineares de vetores de S.
Seja \u3bb \u2208 K e consideremos as combinac¸o\u2dces lineares:
v = \u3b11v1 + . . .+ \u3b1kvk , w