Algebra Linear II   Dario Souza Rocha, Disney Douglas de Lima Oliveira e Domingos Anselmo Moura da Silva
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Algebra Linear II Dario Souza Rocha, Disney Douglas de Lima Oliveira e Domingos Anselmo Moura da Silva


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temos (\u20131)u = \u2013u.
6. Verifique se o IR3, munido das operações adi-
ção (a,b,c) + (x,y,z) = (a + x, b + y, c + z) e
mutiplicação por um escalar \u3bb(x,y,z) = (0,0,0),
\u2200(a,b,c), (x,y,z) \u2208 IR3 e \u2200\u3bb \u2208 IR é um espaço
vetorial real.
7. Verifique se o IR2, munido das operações
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UEA \u2013 Licenciatura em Matemática
adição (a,b) + (x,y) = (a \u2013 x, b +y) e mutipli-
cação por um escalar \u3bb(x,y) = (\u3bbx,y), \u2200(a,b),
(x,y) \u2208 IR2 e \u2200\u3bb \u2208 IR é um espaço vetorial real.
8. Verifique se o conjunto M2 x 2(IR) das matrizes
de ordem 2, munido das operações adição 
e mutiplicação
por um escalar ,
e \u2200\u3bb\u2208IR é um espa-
ço vetorial real.
TEMA 02
SUBESPAÇOS VETORIAIS
2.1 Subespaço vetorial
Definição \u2013 Seja V um espaço vetorial, e S um
subconjunto não vazio de V. Diremos que S é
um subespaço vetorial de V se forem satisfei-
tas as seguintes condições:
i) \u2200u, v\u2208S tem-se u + v\u2208S.
ii) \u2200u\u2208S e \u2200\u3bb\u2208IR tem-se \u3bbu\u2208S.
Exemplo 1
Seja V = IR2 e S = {(x,2x); x\u2208IR} \u2282IR2 uma reta
que passa pela origem dos espaços. Mostre
que S é um subespaço vetorial de IR2.
Solução:
Vamos verificar as condições (i) e (ii) da
definição de subespaço vetorial.
i) \u2200u, v\u2208S tem-se u + v\u2208S.
ii) \u2200u\u2208S e \u2200\u3bb\u2208IR tem-se \u3bbu\u2208S.
i) Se u = (a, 2a) e v = (b,2b), temos que:
u+v = (a,2a) + (b,2b) = (a + b, 2a + 2b) =
= (a + b, 2(a + b))\u2208S
ii) Se u = (a, 2a) e \u3bb\u2208IR, temos que:
\u3bbu = \u3bb(a, 2a) = (\u3bba, \u3bb(2a)) = (\u3bba,(\u3bb.2)a) =
= (\u3bba,(2.\u3bb)a) = (\u3bba, 2(\u3bba))\u2208S
Sendo satisfeitas as condições (i) e (ii), temos
que o conjunto S é um subespaço vetorial do
espaço vetorial IR2.
Esse subespaço vetorial representa geometri-
camente uma reta que passa pela origem .
Exemplo 2
Mostre que o conjunto S = {(t, t + 1);
t\u2208IR}\u2282IR2 não é um subespaço de IR2.
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Álgebra Linear II \u2013 Espaço e Subespaço Vetorial
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UEA \u2013 Licenciatura em Matemática
Solução:
Basta mostrar que uma das condições dadas
na definição não é satisfeita. 
Por exemplo:
i) \u2200u,v\u2208S tem-se u + v\u2208S.
Sendo u = (a, a +1) e v = (b,b + 1), temos
que
u + v = (a, a + 1) + (b, b + 1) = 
= (a + b, (a + b) + 2)\u2209S
Logo, S não é um subespaço vetorial de IR2.
Geometricamente, temos:
Exemplo 3
Seja S um subespaço vetorial do espaço veto-
rial V. Sendo \u3b8 é o vetor nulo de V, então \u3b8\u2208S.
Solução:
Sendo S subespaço vetorial de V, vamos fazer
uso da condição (ii) da definição de sube-
spaço, que nos diz que \u2200u\u2208S e \u2200\u3bb\u2208IR tem-se
\u3bbu\u2208S. 
Fazendo \u3bb = \u3b8, teremos 0.u = \u3b8\u2208S.
Observação:
O exemplo 2 diz-nos que, se o subconjunto S
não possui o vetor nulo do espaço vetorial, en-
tão tal subconjunto não pode ser um subes-
paço vetorial.
Exemplo 4
Verifique se o subconjunto 
S = {(a2 + 1, b, 0); a, b\u2208IR} é um subespaço
vetorial do espaço vetorial V = IR3.
Solução:
Uma condição necessária para que tal subcon-
junto seja um subespaço é que ele possua o
vetor nulo do IR3. Sendo assim, suponha que o
vetor nulo pertença a S, logo teríamos:
O que gera um absurdo, pois a2 + 1 \u2260 0 \u2200a\u2209IR.
Donde concluímos que osubconjunto S = {(a2
+ 1,b,0); a,b\u2208IR}, não pode ser um subespa-
ço vetorial do espaço vetorial IR3.
Exemplo 5
Seja V = IR4 um espaço vetorial, e S\u2282V, dada
por S = {(a,b,c,d)\u2208IR4; a = b + d e c = 0}.
Mostre que tal conjunto, munido das opera-
ções de adição e produto por um escalar definidas
em V, é subespaço vetorial .
Solução:
Observe que podemos reescrever o sub-
conjunto S, como sendo 
S = {(b + d,b,0,d);b,d\u2208IR}
Vamos verificar as condições (i) e (ii) da defini-
ção de subespaço vetorial.
i) \u2200u = (b1+d1,b1,0,d1), v = (b2+d2, b2, 0, d2)\u2208S
temos que:
u + v = (b1+d1,b1,0,d1) + (b2+d2, b2, 0, d2)
u + v = (b1+d1) + (b2 + d2), b1+ b2, 0, d1+d2)
u + v = ((b1+b2)+(d1+d2),b1+b2,0, d1+d2)\u2208S
ii) \u2200u = (b+d, b, 0, d1)\u2208S e \u2200\u3bb\u2208IR, temos que:
\u3bbu = \u3bb(b+d, b, 0, d) = (\u3bb(b + d), \u3bbb, \u3bb0, \u3bbd) =
= (\u3bbb + \u3bbd, \u3bbb, 0, \u3bbd)\u2208S
Portanto S é um subespaço vetorial de IR4.
Exemplo 6
Seja V = Mnxn(IR) o espaço vetorial das matri-
zes quadradas de ordem n, e seja B\u2208Mnxn(IR)
fixa. Mostre que o subconjunto
S={A\u2208Mnxn(IR); A.B = 0} das matrizes que ao
multiplicar à esquerda de B é um subespaço
vetorial.
Solução:
Vamos verificar as condições (i) e (ii) da de-
finição de subespaço vetorial, as quais são:
i) \u2200u, v\u2208S tem-se u + v\u2208S.
ii) \u2200u\u2208S e \u2200\u3bb\u2208IR tem-se \u3bbu\u2208S.
i) \u2200A1, A2 \u2208S temos que A1 . B = 0 e A2 . B =
0, dessa forma temos:
(A1 + A2)B = A1.B + A2.B = 0 + 0 = 0 \u21d2
A1 + A2\u2208S
ii) \u2200A\u2208S e \u2200\u3bb\u2208S tem-se que \u3bbA\u2208S 
De fato, \u2200A\u2208S temos que A.B = 0. Sendo
assim, \u2200\u3bb\u2208S e \u2200A\u2208S tem-se que \u3bbA\u2208S, já
que (\u3bbA).B = \u3bb (A.B) = \u3bb.0 = 0. 
Portanto S é um subespaço vetorial de
Mnxn(IR).
Exemplo 7
Seja V = M2x2(IR) o espaço vetorial das
matrizes de ordem 2 e
um subconjunto de
M2x2(IR). Mostre que tal subconjunto é um su-
bespaço vetorial.
Solução:
Vamos verificar as condições (i) e (ii) da defini-
ção de subespaço vetorial, as quais são:
i) \u2200u, v\u2208S tem-se u + v\u2208S.
ii) \u2200u\u2208S e \u2200\u3bb\u2208IR tem-se \u3bbu\u2208S.
i) Se e elementos
quaisquer de S, podemos concluir que: 
ii) Seja \u2208S e \u3bb\u2208IR, dessa forma
termos 
Portanto S é um subespaço vetorial de
M2X2(IR).
1. Mostre que os subconjuntos do espaço vetori-
al IR3 são subespaços vetoriais.
a) S = {(x,y,z)\u2208IR3 ; x + y = z} 
b) S = {(x,y,z)\u2208IR3 ; x \u2013 y + z = 0} 
c) S = {(x,y,z)\u2208IR3 ; x = 0}
2. Seja V = Mn x n(IR) o espaço vetorial das ma-
trizes quadradas de ordem n, e seja
S = {A\u2208Mnxn(IR); At = A} um subconjunto de V.
Mostre que S é um subespaço vetorial de V.
3. Seja V = Mn x n(IR) o espaço vetorial das ma-
trizes quadradas de ordem n, e seja 
S = {A\u2208Mnxn(IR); At = \u2013A} um subconjunto de
V. Mostre que S é um subespaço vetorial de V.
4. Seja V = IR3 um espaço vetorial munido com
um produto interno, e seja w\u2208IR3 fixo. Mostre
que o subconjunto S = {u\u2208IR3; u\u2022w = 0} é um
subespaço vetorial de IR3.
5. Sejam S,W subespaços vetoriais do espaço
vetorial V e \u3bb um valor real fixo. Mostre que:
a) S\u2229W = {u; u\u2208S e u\u2208W} 
b) S + W = {u = s + w; s\u2208S e w\u2208W}
c) \u3bbS = {\u3bbs; s\u2208S}
são subespaços vetoriais do espaço vetorial V.
6. Sejam V = M1x3(IR) e S o conjunto solução do
sistema linear homogêneo a três variáveis defi-
nido abaixo. Dessa forma, mostre que S é um
subespaço vetorial de M1x3(IR).
7. Sejam o es-
paço vetorial das funções polinomiais de grau
\u2264 n, com ai\u2208IR \u2200i = 1,2,...,n e S um subcon-
junto das funções pares de V definido por S =
{f\u2208V; f(x) = f(\u2013x) \u2200x\u2208IR}. Mostre que S é um
subespaço vetorial . 
8. Sejam o es-
paço vetorial das funções polinomiais de grau
\u2264 n, com ai\u2208IR \u2200i = 1,2,...,n e S um subcon-
junto das funções ímpares de V definido por 
S = {f\u2208V; f(\u2013x) = \u2013f(x) \u2200x\u2208IR} . Mostre que S
é um subespaço vetorial . 
2.3 Interseção e soma de subespaços vetoriais
2.3.1 Teorema da interseção de subespaços
Seja S a interseção dos n subespaços vetoriais
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Álgebra Linear II \u2013 Espaço e Subespaço Vetorial
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S1,S2,S3,...,Sn do espaço vetorial V, ou seja, 
. Sendo assim, temos que S é um
subespaço vetorial de V.
Demonstração:
i) Se u,v são elementos quaisquer de S, então 
u, v\u2208Sk \u2200k = 1,2,3,...,n. Logo teríamos que
u + v \u2208Sk \u2200k, emplicando que
.
Satisfaz-se, assim, a primeira condição.
ii) Para qualquer \u3bb\u2208IR: se u é elemento quais-
quer de S, então u\u2208Sk \u2200k = 1,2,3,...,n.
Logo teríamos que \u3bbu\u2208Sk \u2200k, emplicando 
que .
Satisfaz-se, assim, a segunda condição.
Sendo assim, temos que é um
subespaço vetorial do espaço vetorial V.
Exemplo 8
V = IR3 e S1 \u2229 S2 é a reta de interseção dos
planos S1 e S2, onde S1 e S2 são subespaço
vetoriais do IR3.
Exemplo 9
Seja o espaço vetorial IR4e os subespaços S1
= {(x,y,z,0); x,y,z\u2208IR} e 
S2 = {(0,b,c,d); b,c,d \u2208 IR}. Determine a inter-
seção de S1 com S2.
Solução:
Seja (x,x2,x3,x4)\u2208S1 \u2229 S2 qualquer. Dessa forma,
teríamos:
(x,x2,x3,x4)\u2208S1 e (x,x2,x3,x4)\u2208S2
\u21d2 x1 = 0 e x4 = 0