Algebra e Matrizes   Hamilton[1]
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Algebra e Matrizes Hamilton[1]


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de
aplicações lineares e introduzirmos a multiplicação de matrizes.
Para isso, começamos por um caso simples: um funcional linear \u2113 : Kn \u2192 K.
De acordo com o Teorema 3.3, a essa aplicação corresponde uma "matriz linha"
(c1 . . . cn). Se você tiver lido o Capítulo 2, isso mostra que os elementos do
espaço dual do Rn são, em termos matriciais, justamente as matrizes linha (isto
é, as matrizes formadas por uma única linha e n colunas).
De acordo com (3.1), \u2113x = c1x1+ c2x2+ . . .+ cnxn. Mas, \u2113 corresponde a uma
matriz linha, enquanto o vetor x \u2208 Kn é visto como uma coluna. Chegamos assim
a
\u2113x = (c1 . . . cn)
\uf8eb\uf8ec\uf8ed x1..
.
xn
\uf8f6\uf8f7\uf8f8 = c1x1 + c2x2 + . . .+ cnxn, (3.4)
expressão que serve como definição do produto de uma matriz linha por uma matriz
coluna!
A fórmula de multiplicação de uma matriz m× n por uma matriz coluna n× 1
decorre também imediatamente de (3.1): se T \u2208 L(Kn,Km) for representada pela
matriz (aij), então y = Tx tem coordenadas
yi =
n\u2211
j=1
aijxj, i = 1, . . . ,m. (3.5)
Uma vez que já convencionamos que os nossos vetores são representados por
colunas e
Tx =
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am1 am2 · · · amn
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
x1
x2
.
.
.
xn
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8 ,
vemos que
y =
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
y1
y2
.
.
.
ym
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8 = Tx =
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\u21131
\u21132
.
.
.
\u2113m
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8 x =
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\u21131x
\u21132x
.
.
.
\u2113mx
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8 , (3.6)
o que vem da comparação de (3.5) com (3.4).
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28 Aplicações Lineares Cap. 3
Agora é fácil obter a fórmula de multiplicação de uma matriz p × m por uma
matrizm×n: uma matriz p×m corresponde a uma aplicação linear S \u2208 L(Km,Kp)
e uma matriz m × n a uma aplicação linear T \u2208 L(Kn,Km). A composição
ST \u2208 L(Kn,Kp) está bem definida e produz uma matriz p× n. Vamos caracterizar
essa matriz. Pela equação (3.2), Tej é igual a cj , a j-ésima coluna de T . Do
mesmo modo (ST )ej corresponde à j-ésima coluna da matriz que representa ST .
Aplicando a fórmula (3.6) para x = cj = Tej , temos então
(ST )ej = S(Tej) = Scj =
\uf8eb\uf8ec\uf8ed \u21131cj..
.
\u2113pcj
\uf8f6\uf8f7\uf8f8 ,
em que \u2113k é a k-ésima linha de S, para k = 1, . . . , p. Mostramos assim a regra: se
S for uma matriz p ×m e T uma matriz m × n, então o produto ST é uma matriz
p× n, cuja entrada kj é o produto da k-ésima linha de S pela j-ésima coluna de T :
(ST )kj = \u2113kcj,
em que
S =
\uf8eb\uf8ec\uf8ed \u21131..
.
\u2113p
\uf8f6\uf8f7\uf8f8 e T = (c1 · · · cn).
Expressando de outra forma,
ST = (Sc1 Sc2 . . . Scn),
com Sci denotando a i-ésima coluna da matriz ST .
Definimos, assim, o produto de uma matriz m × n por uma matriz n × p.
Note que, uma vez que o produto de transformações lineares é associativo, a
multiplicação de matrizes é associativa. Outras propriedades básicas da multi-
plicação de matrizes decorrem, do mesmo modo, das propriedades análogas da
composição de aplicações lineares.
Definição 3.9 Seja A uma matriz n×n. Dizemos que A é invertível, se existir uma
matriz B tal que
AB = BA = I,
em que I denota a matriz identidade n × n. É fácil ver que existe no máximo uma
matriz B com tal propriedade (veja o Exercício 5). Denotamos, portanto, B = A\u22121
e chamamos A\u22121 de inversa da matriz A.
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§3.3 Espaço Linha e Espaço Coluna 29
3.3 Espaço Linha e Espaço Coluna
Para 1 \u2264 i \u2264 m e 1 \u2264 j \u2264 n, suponhamos conhecidos os valores aij e os
valores bj . Um sistema linear em m equações e n incógnitas procura a solução
x1, . . . , xn que satisfaz
a11x1 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + . . . + a2nxn = b2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am1x1 + . . . + amnxn = bm.
Em termos de matrizes, esse sistema pode ser escrito como\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am1 am2 · · · amn
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
x1
x2
.
.
.
xn
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8 =
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
b1
b2
.
.
.
bm
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8 ,
ou,
Ax = b
Se b = 0, o sistema é chamado homogêneo; se b 6= 0, o sistema é não-
homogêneo. Os sistemas Ax = b e Ax = 0 relacionam-se de um modo especial, de
modo que informações sobre as soluções de um fornecem dados importantes para a
solução do outro. Por esse motivo, no estudo do sistema Ax = b, o sistema Ax = 0
é chamado sistema homogêneo associado.
Nesta e nas próximas seções estudaremos o sistema linear Ax = b. Para isso,
começamos estudando mais detalhadamente a matriz A = (aij) \u2208 Mm×n(K).
Como sabemos, ela pode ser vista por meio de suas linhas ou colunas:
A =
\uf8eb\uf8ec\uf8ed a11 . . . a1n..
.
.
.
.
.
.
.
am1 . . . amn
\uf8f6\uf8f7\uf8f8 = (c1 . . . cn) =
\uf8eb\uf8ec\uf8ed \u21131..
.
\u2113m
\uf8f6\uf8f7\uf8f8 . (3.7)
Os vetores colunas c1, . . . , cn são vetores do Km. Se C = {c1, . . . , cn},
chamamos de espaço coluna o espaço gerado por C, isto é, < C > \u2282 Km.
Por outro lado, podemos interpretar as linhas de A como elementos do
próprio espaço Kn (ou como elementos do dual (Kn)\u2032). Se escrevermos L =
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30 Aplicações Lineares Cap. 3
{\u21131, . . . , \u2113m} \u2282 Kn, chamamos de espaço linha o espaço gerado por L, isto é,
< L > \u2282 Kn.
Começamos interpretando o espaço coluna de uma matriz. Para isso, definimos:
Definição 3.10 Seja T : X \u2192 Y uma aplicação linear. Definimos a imagem de T ,
denotada por imT , por
imT = {y \u2208 Y | y = Tx}.
Definimos o núcleo de T , denotado por kerT , por
kerT = {x \u2208 X | Tx = 0}.
O núcleo e a imagem de T são subespaços vetoriais de X e Y , respectivamente.
De fato, se x1, x2 \u2208 kerT e \u3bb \u2208 K, então T (x1 + \u3bbx2) = T (x1) + \u3bbT (x2) =
0 + \u3bb0 = 0, provando que x1 + \u3bbx2 \u2208 kerT . Se y1, y2 \u2208 imT , então
existem x1, x2 \u2208 X tais que y1 = T (x1) e y2 = T (x2). Logo, se \u3bb \u2208 K,
y1 + \u3bby2 = T (x1) + \u3bbT (x2) = T (x1 + \u3bbx2), o que mostra que y1 + \u3bby2 \u2208 imT .
Lema 3.11 Considere o sistema linear não-homogêneo Ax = b, em que A =
(aij) \u2208Mm×n(K). Então são equivalentes:
(i) Existe solução x para Ax = b;
(ii) O vetor b é combinação linear das colunas de A.
Demonstração: Basta notar que o sistema Ax = b é equivalente à equação
x1
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
a11
a21
.
.
.
am1
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8+ x2
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
a12
a22
.
.
.
am2
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8+ . . .+ xn
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
a1n
a2n
.
.
.
amn
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8 =
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
b1
b2
.
.
.
bm
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8 .
2
Em outras palavras, acabamos de mostrar que < C > é o subespaço imA.
Definição 3.12 Se A = (aij) \u2208 Mm×n(K) for uma matriz m × n, definimos a
transposta de A como a matriz At = (atij) \u2208Mn×m(K), com atij = aji.
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§3.3 Espaço Linha e Espaço Coluna 31
Assim, se A for a matriz dada por (3.7), então
At =
\uf8eb\uf8ec\uf8ed a11 . . . am1..
.
.
.
.
.
.
.
a1n . . . amn
\uf8f6\uf8f7\uf8f8 .
Assim, as colunas da matriz At são justamente as linhas da matriz A. Como
conseqüência imediata do Lema 3.11, temos que
< L > = imAt. (3.8)
Se S for a aplicação linear representada pela matriz A (com relação às bases
canônicas do Kn e Km), então < L > é a imagem da aplicação linear St (que é
chamada transposta da aplicação linear S e representada pela matriz At).
Vamos agora relacionar as dimensões dos espaços < C > e < L > de uma
matriz A. Mostraremos que esses espaços têm a mesma dimensão; isso é um fato
notável, pois eles são subespaços de espaços vetoriais diferentes!
Teorema 3.13 Dada uma matriz m × n, seu espaço linha tem a mesma dimensão
de seu espaço coluna.
Demonstração: Suponhamos que os vetores
b1 = (b11, b12, . . . , b1n), b2 = (b21, b22, . . . , b2n), . . . , br = (br1, br2, . . . , brn)
formem uma base do espaço linha da matriz A. Então cada linha \u2113i de A é
combinação linear desses elementos:
\u21131 = \u3bb11b1 + . . .+ \u3bb1rbr
\u21132 = \u3bb21b1 + . . .+ \u3bb2rbr
.
.
. =
.
.
.
\u2113m = \u3bbm1b1 +