Algebra e Matrizes   Hamilton[1]
310 pág.

Algebra e Matrizes Hamilton[1]


DisciplinaÁlgebra Linear I19.337 materiais281.499 seguidores
Pré-visualização50 páginas
de como foi feito esse escalonamento. O
resultado está provado. 2
É claro que, numa matriz A \u2208 Mm×n(K), o número máximo possível de pivôs
é igual a n, um para cada coluna de A. Chamamos de variável livre do sistema
Ax = b a toda coordenada de x correspondente a uma coluna de A sem pivô.
Teorema 3.17 Matrizes escalonadas reduzidas por linha têm o mesmo espaço
linha se, e somente se, tiverem as mesmas linhas não-nulas. Em particular, cada
matriz é equivalente a uma única matriz na forma escalonada reduzida por linhas.
Demonstração: É claro que duas matrizes que possuem as mesmas linhas não-
nulas possuem o mesmo espaço linha.
Por outro lado, suponhamos que duas matrizes A e B, ambas na forma
escalonada reduzida por linhas, tenham o mesmo espaço linha. Seja \u2113 a última
linha não-nula de A. Suponhamos que essa seja a k-ésima linha de A. Como
os pivôs de duas formas escalonadas reduzidas por linhas ocorrem nas mesmas
posições, a matriz B possui exatamente k linhas não-nulas: \u21131, . . . , \u2113k. Denotemos
as coordenadas de \u2113 por (\u21131, . . . , \u2113n) e as de \u2113i por (\u21131i , . . . , \u2113ni ), para i = 1, . . . , k.
(Quer dizer, estamos supondo que A e B tenham n colunas.) Suponhamos que
o pivô da linha \u2113 ocorra na posição r. Como pivôs ocorrem na mesma posição,
concluímos que o pivô da linha \u2113k ocorre na posição r.
Como os espaços linhas de A e B são iguais, existem escalares \u3bb1, . . . , \u3bbk tais
que
\u2113 = \u3bb1\u21131 + . . .+ \u3bbk\u2113k. (3.9)
Como as coordenadas \u21131, . . . , \u2113r\u22121 de \u2113 são todas nulas e os pivôs de \u21131, . . . , \u2113k
devem ocorrer em posições anteriores à posição r, necessariamente \u3bbk = 1 e
\u3bb1 = . . . = \u3bbk\u22121 = 0. Quer dizer, a última linha não-nula de A é igual à última
linha não-nula de B. Repetindo sucessivamente esse argumento, concluímos que
todas linhas não-nulas de A e B são iguais. 2
Dois sistemas Ax = b e A\u2032x = b\u2032 são equivalentes se possuírem as mesmas
soluções. Isso quer dizer que as matrizes aumentadas desses sistemas têm o mesmo
espaço linha. Passando à forma escalonada reduzida por linhas, podemos aplicar
o Teorema 3.17 e concluir que as matrizes aumentadas desses sistemas possuem a
mesma forma escalonada reduzida por linhas.
i
i
\u201cALinear\u201d \u2014 2005/12/19 \u2014 13:25 \u2014 page 37 \u2014 #53
i
i
i
i
i
i
§3.5 O Teorema do Núcleo e da Imagem 37
3.5 O Teorema do Núcleo e da Imagem
Nesta Seção provaremos um dos resultados mais importantes da Álgebra Linear:
Teorema 3.18 (do Núcleo e da Imagem)
Seja T \u2208 L(X,Y ). Então os espaços vetoriais
X
kerT
e imT
são canonicamente isomorfos.
Em particular, se X e Y tiverem dimensão finita, então
dimX = dim(kerT ) + dim(imT ). (3.10)
Para motivar a demonstração que apresentaremos, cujo fundamento perpassa o
estudo de todas as estruturas algébricas, apresentamos o
Exemplo 3.19 Para A \u2208 Mm×n(K), considere o sistema linear não-homogêneo
Ax = b. Suponhamos que xp seja uma solução desse sistema. Claramente, xp + z
também é solução do sistema, qualquer que seja z \u2208 kerA. Mas, essas são as únicas
soluções. De fato, se x for outra solução, temos que A(x \u2212 xp) = 0, de modo que
x\u2212 xp = z \u2208 kerA.
A igualdade x = xp + z significa que x \u2261 xp mod kerA. Portanto, no espaço
quociente Kn/ kerA a equação Ax = b terá solução única [xp]! \ufffd
Demonstração: A prova do Teorema do Núcleo e da Imagem é sintetizada no
seguinte diagrama: (setas verticais sempre indicarão isomorfismos)
X
T
- imT
6
X
kerT
Tq
@
@
@
@@R
Vamos definir Tq : XkerT \u2192 imT por Tq([x]) = Tx e mostrar que Tq é um
isomorfismo canônico. Temos:
i
i
\u201cALinear\u201d \u2014 2005/12/19 \u2014 13:25 \u2014 page 38 \u2014 #54
i
i
i
i
i
i
38 Aplicações Lineares Cap. 3
1. Tq está bem definida: x \u2261 y mod kerT quer dizer que T (x \u2212 y) = 0, ou
seja, T (x) = T (y).
2. Tq é linear: Tq([x] + \u3bb[y]) = Tq([x + \u3bby]) = T (x + \u3bby) = Tx + \u3bbTy =
Tq([x]) + \u3bbTq([y]).
3. Tq é injetora: se Tq([x]) = Tq([y]), então Tx = Ty e T (x \u2212 y) = 0, donde
x \u2261 y mod kerT .
4. Tq é sobrejetora, por definição.
Logo, Tq é um isomorfismo canônico.
Se X e Y tiverem dimensão finita, deduzimos que
dim
(
X
kerT
)
= dim(imT ).
Mas, como já vimos, dim(X/ kerT ) = dimX \u2212 dim(kerT ), de onde segue-se a
afirmação sobre as dimensões, completando a prova do teorema. 2
A demonstração anterior nos mostra a utilidade essencial do espaço quociente:
mesmo se T não tiver inversa, podemos construir, de maneira natural, um isomor-
fismo a partir de T , no caso, a aplicação Tq.
Devido a sua importância, apresentaremos uma demonstração alternativa da
fórmula (3.10), sem fazer uso do conceito de espaço quociente.
Demonstração alternativa da fórmula (3.10): Seja {x1, . . . , xj} uma base de
kerT . Completamos esse conjunto até obter uma base
B = {x1, . . . , xj, wj+1, . . . , wn}
de X . Claramente X = kerT \u2295 W , em que W é o espaço gerado por
{wj+1, . . . , wn}.
Afirmamos que {Twj+1, . . . , Twn} é uma base de imT \u2282 Y . De fato,
suponhamos que
\u3b1j+1Twj+1 + . . .+ \u3b1nTwn = 0.
Então T (\u3b1j+1wj+1 + . . . + \u3b1nwn) = 0, mostrando que \u3b1j+1wj+1 + . . . + \u3b1nwn \u2208
kerT . Mas, então, \u3b1j+1 = . . . = \u3b1n = 0, pois X = kerT \u2295W . Isso mostra que os
vetores Twj+1, . . . , Twn são linearmente independentes.
i
i
\u201cALinear\u201d \u2014 2005/12/19 \u2014 13:25 \u2014 page 39 \u2014 #55
i
i
i
i
i
i
§3.5 O Teorema do Núcleo e da Imagem 39
Seja agora y \u2208 imT . Então existe x \u2208 X tal que Tx = y. Como B
é base de X , x = \u3b11x1 + . . . + \u3b1jxj + \u3b1j+1wj+1 + . . . + \u3b1nwn e, portanto,
y = Tx = \u3b1j+1Twj+1 + . . . + \u3b1nTwn, mostrando que esses vetores geram imT .
Isso conclui a prova. 2
Se você comparar essas duas demonstrações, perceberá que a essência da
segunda é o procedimento aplicado na primeira: mostramos que existe um
isomorfismo entre o espaço gerado por wj, . . . , wn, que denotaremos por W , e o
espaço imT , cuja base é {Twj, . . . , Twn}. Note que W é isomorfo a X/ kerT ,
segundo o Teorema 1.29.
Mostraremos agora algumas conseqüências do Teorema do Núcleo e da Imagem.
Nesses resultados, T : X \u2192 Y denota uma aplicação linear. As demonstrações
seguem-se imediatamente da fórmula
dimX = dim(imT ) + dim(kerT ).
Corolário 3.20 Suponhamos que dimY < dimX . Então dim(kerT ) \u2265 1.
Demonstração: Note que, em particular, dim(imT ) \u2264 dimY < dimX . 2
O Corolário 3.20 é muitas vezes formulado em termos de sistemas lineares:
Corolário 3.21 Seja A \u2208 Mm×n(K), com m < n. Então o subespaço de todas
as soluções do sistema linear homogêneo Ax = 0 têm dimensão maior do que ou
igual a 1.
Corolário 3.22 Se dimX = dimY , então T é injetora se, e somente se, for
sobrejetora.
Demonstração: Se T for injetora, Tx = 0 implica x = 0. Logo, dim(kerT ) = 0.
Assim, dim(imT ) = dimX = dimY e, portanto, imT = Y . Reciprocamente, se
T for sobrejetora, imT = Y e, portanto, dim(kerT ) = 0. 2
Em particular, se dimX = dimY , o Corolário 3.22 garante que T é injetora
se, e somente se, kerT = {0}. Esse resultado é válido, na verdade, para quaisquer
espaços vetoriais X e Y . De fato,4 se T for injetora, claramente kerT = {0}; se
existisse x1 6= x2 tal que T (x1) = T (x2), então T (x1 \u2212 x2) = 0, com x1 \u2212 x2 6= 0.
A formulação do Corolário 3.22 em termos de sistemas lineares é a seguinte:
4Veja o Exercício 13 do Capítulo 1.
i
i
\u201cALinear\u201d \u2014 2005/12/19 \u2014 13:25 \u2014 page 40 \u2014 #56
i
i
i
i
i
i
40 Aplicações Lineares Cap. 3
Corolário 3.23 Seja A \u2208 Mn×n(K). Então o sistema não-homogêneo Ax = b tem
solução única para todo b \u2208 Y se, e somente se, o sistema homogêneo Ax = 0 tiver
solução única.
O seguinte resultado decorre imediatamente do Teorema 3.13:
Corolário 3.24 Se A \u2208Mm×n(K), então dim(imA) = dim(imAt).
O próximo resultado vale apenas para matrizes quadradas:
Corolário 3.25 Seja A uma matriz n× n. Então
dim(kerA) = dim(kerAt).
Demonstração: De fato, se r := dim(imA) = dim(imAt), a aplicação do
Teorema do Núcleo e da Imagem garante que:
dim(kerA) = n\u2212 r e dim(kerAt) = m\u2212 r.