Algebra e Matrizes   Hamilton[1]
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Algebra e Matrizes Hamilton[1]


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Daí decorre o afirmado. 2
Finalmente, enunciamos o resultado apresentado no Exemplo 3.19, que não
passa de uma caracterização do isomorfismo dado na primeira demonstração do
Teorema do Núcleo e da Imagem:
Proposição 3.26 Seja b \u2208 Km um elemento da imagem de T : Kn \u2192 Km. Então
existe um único elemento xp \u2208 Kn tal que toda solução de Tx = b é congruente a
xp módulo kerT , isto é, se Tx = b, então x = xp + z, para algum z \u2208 kerT .
Em outras palavras, se o sistema Ax = b possuir uma solução xp, então todas
as suas soluções são xp + z, em que z \u2208 kerA.
3.6 Aplicações Lineares e Matrizes - parte 2
Na primeira Seção deste Capítulo mostramos como associar a cada aplicação
linear T : Kn \u2192 Km uma matriz A = (aij), que representa T com relação
às bases canônicas do Kn e Km. Mostraremos agora que a mesma associação
entre aplicações lineares e matrizes é válida para o caso de uma aplicação linear
T : X \u2192 Y entre espaços vetoriais de dimensão finita X e Y .
A principal diferença, nesse caso, consiste em não termos uma escolha "natural"
para bases nos espaços X e Y . Suponhamos que dimX = n e dimY = m.
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§3.6 Aplicações Lineares e Matrizes - parte 2 41
Escolhendo uma base arbitrária B = {x1, . . . , xn} do espaço X e escrevendo
x = \u3bb1x1+ . . .+\u3bbnxn, a aplicação B : X \u2192 Kn definida por Bx = (\u3bb1, . . . , \u3bbn) =
\u3bb1e1 + . . . + \u3bbnen é um isomorfismo entre X e Kn. Da mesma forma, ao se
escolher uma base C = {y1, . . . , ym} no espaço Y , obtém-se um isomorfismo C
entre Y e Km. Temos assim o seguinte diagrama (as setas verticais sempre indicam
isomorfismos):
T
X \u2212\u2192 Y
B \u2193 \u2193 C
Kn \u2212\u2192 Km
TK
. (3.11)
A aplicação linear TK é definida como composta de aplicações lineares (estamos
usando a notação de composta para enfatizar)
TK = C \u25e6 T \u25e6B\u22121
e é representada por uma matriz A, de acordo como o que vimos na primeira seção
deste capítulo. É usual chamar a matriz A de representação da aplicação linear
T com respeito às bases B e C (dos espaços X e Y , respectivamente) e denotar
A = T CB . Temos, assim, uma identificação entre a aplicação linear T (com X e Y
considerados com as bases B e C, respectivamente) e a matriz A = T CB . Com essa
identificação, o diagrama (3.11) pode ser condensado:
T CB
X,B \u2212\u2192 Y, C (3.12)
(estamos enfatizando, na expressão dos espaços X e Y , as bases que produziram a
matriz T CB ). Note, entretanto, que X,B é uma notação para o espaçoKn, ressaltando
a base usada em X para torná-lo isomorfo a Kn.
Suponhamos que exista T\u22121. Essa aplicação linear terá uma representação
matricial [T\u22121]BC . É fácil verificar que A\u22121 = [T\u22121]BC (veja o Exercício 23).
Exemplo 3.27 Sejam X e Y espaços vetoriais com bases B = {x1, . . . , xn} e
C = {y1, . . . , ym}, respectivamente. Seja T : X \u2192 Y uma aplicação linear.
Vejamos como obter T CB . Para isso, usamos o diagrama
T
X \u2212\u2192 Y
B \u2193 \u2193 C
Kn \u2212\u2192 Km
T CB
.
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42 Aplicações Lineares Cap. 3
Como vimos, a i-ésima coluna da matriz procurada é obtida ao se calcular T CBe1 =
(CTB\u22121)ei. Mas, Bxi = ei, de modo que (CTB\u22121)ei = (CT )B\u22121ei = (CT )xi.
Como C é a aplicação que associa a T (xi) \u2208 Y as suas coordenadas na base C,
temos que a i-ésima coluna da matriz procurada é [Txi]C . \ufffd
Note que, em particular, teremos a representação matricial de uma aplicação
linear T : Kn \u2192 Km, se escolhermos bases arbitrárias em Kn e Km.
Associamos, assim, a cada aplicação linear T : X \u2192 Y uma matriz, cuja
expressão depende dos isomorfismos entre X e Kn e Y e Km. Esses, por sua vez,
dependem das bases consideradas nos espaços X e Y . Uma vez que cada escolha
de base em X produz um isomorfismo diferente entre X e Kn e o mesmo acontece
com Y e Km, vemos que existem muitas maneiras distintas de representar uma
transformação linear por meio de uma matriz. Como se relacionam essas diferentes
matrizes que representam a aplicação linear T ?
Para responder a essa pergunta, começamos estudando como se relacionam as
representações de x em bases B = {x1, . . . , xn} e B¯ = {x\u20321, . . . , x\u2032n} do espaço X .
O mesmo procedimento anterior pode ser utilizado:
I
X \u2212\u2192 X
B \u2193 \u2193 B¯
Kn \u2212\u2192 Kn
P B¯B
.
(Para sermos coerentes com a notação anterior, deveríamos escrever IB¯B ao invés de
P B¯B . Entretanto, é usual denotar esse tipo de matriz pela letra P .)
De acordo com o exemplo 3.27, a i-ésima coluna de P B¯B é obtida calculando-
se a expressão de B¯IB\u22121(e1) = B¯I(x1) = [xi]B¯. A matriz P B¯B é chamada matriz
mudança5 da base B para a base B¯. Dadas as coordenadas de x na base B, isto é,
[x]B, as coordenadas de x na base B¯ são dadas por P B¯B [x]B = [x]B¯. Claramente a
matriz P B¯B possui inversa P B¯B .
Consideremos agora uma outra representação T C¯¯B , relativa às bases B¯ de X e C¯
5Alguns autores preferem chamar essa matriz de "matriz de passagem" da base B¯ para a base B.
Assim, a terminologia utilizada por eles fica invertida com relação à nossa.
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§3.6 Aplicações Lineares e Matrizes - parte 2 43
de Y . Temos o diagrama
T CB
X,B \u2212\u2192 Y, C
P B¯B \u2193 \u2193 QC¯C
X, B¯ \u2212\u2192 Y, C¯
T C¯¯B
.
Esse diagrama, cujas componentes são matrizes, nos mostra que
T CB = [Q
C¯
C]
\u22121T C¯¯BP
B¯
B = Q
C¯
CT
C¯¯
BP
B¯
B .
O caso em que os espaços X e Y são iguais permite que se tome a mesma base
nos dois espaços. Nesse caso, denotamos TBB por TB, que é chamada representação
de T na base B. A relação entre TB e TB¯ é dada por
TB¯ = [P
B¯
B ]
\u22121TBP B¯B = P
B¯
B TBP
B¯
B ,
para qualquer outra base B¯ de X .
Observação 3.28 Dada uma aplicação linear T : X \u2192 X entre espaços de
dimensão n, a escolha de bases B e C em X pode fazer com que a representação
matricial de T assuma formas bem gerais. Por exemplo, se T for invertível, T CB
pode ser a matriz identidade! (Veja o Exercício 39.) Assim, a representação de T
em bases completamente arbitrárias quase não nos passa informação relevante sobre
a aplicação T . \ufffd
Exemplo 3.29 Considere a aplicação linear T : R2 \u2192 R2 definida por
T (x, y) = (4x\u2212 2y, 2x+ y).
Para simplificarmos a notação neste exemplo, escreveremos os nossos vetores
indiferentemente como linhas ou colunas.
Seja B a base do R2 formada pelos vetores v1 = (1, 1) e v2 = (\u22121, 0). Vamos
achar a matriz que representa T com relação à base B. (Quer dizer, estamos
utilizando a mesma base no domínio e na imagem e procuramos a matriz TB.) Para
isso, calculamos
T (v1) = (2, 3) = 3(1, 1) + (\u22121, 0) = 3v1 + v2.
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44 Aplicações Lineares Cap. 3
Note que escrevemos a imagem de T (v1) na base B, utilizada também no
contradomínio. De acordo com a notação introduzida na Definição 1.15, temos
[T (v1)]B =
(
3
1
)
.
Da mesma forma, T (v2) = (\u22124,\u22122) = \u22122(1, 1) + 2(\u22121, 0) = \u22122v1 + 2v2 e,
portanto,
[T (v2)]B =
( \u22122
2
)
.
Assim,
TB =
(
3 \u22122
1 2
)
.
As colunas de TB são as imagens dos vetores da base B, escritas na própria base B
utilizada, nesse caso, também no contradomínio.
Se quisermos calcular a imagem do vetor (1, 2) = 1e1 + 2e2 utilizando a matriz
TB, primeiro expressamos esse vetor na base B:
(1, 2) = 2(1, 1) + 1(\u22121, 0) = 2v1 + v2.
Calculando
TB
(
2
1
)
=
(
3 \u22122
1 2
)(
2
1
)
=
(
4
4
)
,
obtemos a "resposta" na base B. Se quisermos a resposta na base canônica,
precisamos escrever o resultado obtido nessa base:
4v1 + 4v2 = 4(1, 1) + 4(\u22121, 0) = (0, 4) = 0e1 + 4e2,
que é o mesmo resultado que obtemos ao calcular diretamente T (1, 2), utilizando a
expressão T (x, y) = (4x\u2212 2y, 2x+ y).
Para entendermos melhor a estrutura deste exemplo, temos o seguinte diagrama
TE
R2, E \u2212\u2192 R2, E