Algebra e Matrizes   Hamilton[1]
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Algebra e Matrizes Hamilton[1]


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PBE \u2193 \u2193 PBE
R2,B \u2212\u2192 R2,B
TB
.
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§3.7 A Transposta de uma Aplicação Linear 45
Aqui, TE é a representação "natural" da transformação T (x, y) = (4x\u22122y, 2x+
y). Isso é, a matriz cujas colunas são, respectivamente, T (1, 0) = (4 2)t e
T (0, 1) = (\u22122 1)t.
A matriz TB é a matriz obtida no exemplo. A matriz PBE é a matriz mudança da
base E para a base B. Ela é obtida pelo mesmo método: escrevemos a imagem dos
vetores e1, e2 pela aplicação identidade na base B. Temos
(1, 0) = 0(1, 1)\u22121(\u22121, 0) = 0v1\u2212v2 e (0, 1) = 1(1, 1)+1(\u22121, 0) = 1v1+1v2.
A matriz PBE é, então,
PBE =
(
0 1
\u22121 1
)
.
O diagrama anterior garante que
TE = [PBE ]
\u22121TBPBE ,
ou seja, (
4 \u22122
2 1
)
=
(
0 1
\u22121 1
)\u22121(
3 \u22122
1 2
)(
0 1
\u22121 1
)
Se calcularmos a inversa da matriz PBE , verificaremos esse fato. Entretanto, é fácil
obter P EB . Essa matriz tem como colunas a expressão dos vetores v1 e v2 na base
canônica. Assim, é claro que
P EB =
(
1 \u22121
1 0
)
.
Verifique que P EB = [PBE ]\u22121. \ufffd
3.7 A Transposta de uma Aplicação Linear
(Esta Seção é mais avançada e pode ser omitida sem prejuízo para o restante do
texto.)
Existe uma maneira intrínseca de se definir a aplicação transposta T t de um
operador linear T . (No caso de aplicações lineares denota-se a transposta T t
também por T \u2032, o que faremos a seguir. Veja o Exercício 10 do Capítulo 2.)
Para isso, sejam T : X \u2192 Y uma aplicação linear entre os espaços X e Y .
Considere \u2113 \u2208 Y \u2032, isto é, \u2113 : Y \u2192 K é linear. Então o produto dessas aplicações
(isto é, a composta) \u2113T : X \u2192 K é um elemento do dual X \u2032.
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46 Aplicações Lineares Cap. 3
Y
X
\ufffd
\ufffd\ufffd @
@R
K-
T \u2113
m\u2113
Nossa notação provisória é m\u2113(x) = \u2113(Tx). Note que, variando \u2113 \u2208 Y \u2032,
obtemos diferentes aplicações m \u2208 X \u2032. Consideremos então T \u2032 : Y \u2032 \u2192 X \u2032 definida
por
T \u2032(\u2113) = \u2113T = m\u2113.
Desse modo, a aplicação T \u2032 é uma aplicação definida no espaço dual Y \u2032 e tomando
valores no espaço dual X \u2032. Afirmamos que T \u2032 é linear. De fato,
T \u2032(\u21131 + \u3bb\u21132) = (\u21131 + \u3bb\u21132)T = \u21131T + \u3bb\u21132T = T \u2032(\u21131) + \u3bbT \u2032(\u21132),
para quaisquer \u21131, \u21132 \u2208 Y \u2032 e \u3bb \u2208 K.
Vamos agora introduzir uma nova notação para a avaliação de um elemento do
dual em um ponto do espaço: até agora \u2113(z) denota a avaliação de \u2113 : Z \u2032 \u2192 K no
ponto z \u2208 Z. É usual denotar \u2113(z) por
\u3008\u2113, z\u3009.
Abandonaremos a notação provisória m\u2113 e usaremos a notação T \u2032\u2113. Assim, por
definição,
\u3008T \u2032\u2113, x\u3009 = \u3008\u2113, Tx\u3009
ou, o que é o mesmo,
T \u2032\u2113 = \u2113T. (3.13)
Nosso próximo objetivo é caracterizar a aplicação T \u2032 para o caso de T : Rn \u2192
Rm. Veremos que podemos representar T \u2032 (a aplicação transposta) por uma matriz,
que é justamente a transposta da matriz que representa T com relação às bases
canônicas do Rn e Rm.
O lado direito de (3.13) tem interpretação imediata: como \u2113 \u2208 (Rm)\u2032, \u2113 é dada
por uma matriz linha, de modo que
\u2113T = (c1 . . . cm)
\uf8eb\uf8ec\uf8ed a11 . . . a1n..
.
.
.
.
.
.
.
am1 . . . amn
\uf8f6\uf8f7\uf8f8 .
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§3.8 Exercícios 47
Se quisermos interpretar T \u2032 como uma matriz, então devemos identificar (Km)\u2032 com
Km e (Kn)\u2032 com Kn. Assim T \u2032 : (Km)\u2032 \u2192 (Kn)\u2032 passa a ser vista como uma
aplicação T : Km \u2192 Kn. O vetor coluna \u2113 \u2208 Km, quando aplicado a T \u2032, satisfaz a
igualdade T \u2032\u2113 = \u2113T , ou seja, se B = (bij) for a representação matricial de T \u2032 (com
relação às bases canônicas do Km e Kn), então
T \u2032
\uf8eb\uf8ec\uf8ed c1..
.
cm
\uf8f6\uf8f7\uf8f8 =
\uf8eb\uf8ec\uf8ed b11 . . . b1m..
.
.
.
.
.
.
.
bn1 . . . anm
\uf8f6\uf8f7\uf8f8
\uf8eb\uf8ec\uf8ed c1..
.
cm
\uf8f6\uf8f7\uf8f8 = (c1 . . . cm)
\uf8eb\uf8ec\uf8ed a11 . . . a1n..
.
.
.
.
.
.
.
am1 . . . amn
\uf8f6\uf8f7\uf8f8 .
A segunda igualdade mostra que B = (bij) deve satisfazer bij = aji, como se
verifica mediante escolha adequada de c1, . . . , cm. Mas, então, B = At, como antes
definido.
3.8 Exercícios
1. SejaA = (c1 · · · ck · · · cn) uma matriz descrita por meio de suas colunas. Se
x = x1e1+ . . .+xnen, interprete Ax como uma multiplicação das colunas de
A pelo vetor x. Em seguida, interprete a multiplicação AB de duas matrizes
como uma operação envolvendo as colunas dessas matrizes.
2. Considere os polinômios p1(t) = 7t5 + 6t2, p2(t) = 1 + t no espaço K6[t] de
todos os polinômios de grau menor que 6.
(a) Se S = {p1, p2}, descreva < S >;
(b) ache uma base B de K6[t] que completa o conjunto linearmente
independente S;
(c) determine a representação de cada um dos vetores de B nessa base;
(d) determine a representação de q \u2208 K6[t] em termos da base B.
3. Mostre que L(X,Y ) (introduzido na Definição 3.7) é um espaço vetorial.
4. Se você tiver lido o Capítulo 2, represente em matrizes a base dual da base
canônica {e1, . . . , en} do Rn.
5. Dada uma matriz A, n × n, mostre que existe no máximo uma matriz B tal
que AB = BA = I, em que I \u2208Mn×n(K).
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48 Aplicações Lineares Cap. 3
6. Mostre que uma matriz quadrada A tem inversa se, e somente se, o sistema
Ax = 0 só possuir a solução trivial.
7. Seja A \u2208 Mn×n(K) uma matriz diagonal, com todos os elementos diagonais
distintos. Se B comutar com A, mostre que B é diagonal.
8. Quais matrizes A \u2208 Mn×n(K) comutam com todas as matrizes B \u2208
Mn×n(K)?
9. Exiba uma base deMn×n(K) formada apenas por matrizes invertíveis.
10. Seja K[t] o espaço de todos os polinômios na incógnita t. Considere T :
K[t] \u2192 K6[t] definida da seguinte maneira: se p \u2208 K[t], então Tp é o
polinômio em K6[t] cujos coeficientes de grau menor que 6 são iguais aos
coeficientes de p. Mostre que T é linear. Ache uma base para imT e kerT .
O Teorema do Núcleo e da Imagem pode ser aplicado? Justifique.
11. Mostre que o escalonamento do mesmo sistema pode produzir duas formas
escalonadas distintas.
12. Mostre que a equivalência por linhas, tal qual definida na página 34, é uma
relação de equivalência.
13. Seja A uma matriz n × n. Mostre que são equivalentes as seguintes
afirmações:
(a) existe uma matriz B, n× n, tal que BA = I;
(b) a matriz A é equivalente por linhas à matriz identidade I;
(c) a matriz A é invertível.
14. Sejam A e B matrizes m×n equivalentes por linhas, com colunas a1, . . . , an
e b1, . . . , bn, respectivamente.
(a) As colunas aj1 , . . . , ajk de A são linearmente independentes se, e
somente se, as colunas correspondentes bj1 , . . . , bjk de B forem linear-
mente independentes;
(b) se existirem escalares tais que a\u2113 = \u3b1j1aj1 + . . . \u3b1jkajk , então existem
escalares tais que b\u2113 = \u3b2j1bj1 + . . . \u3b2jkbjk ;
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§3.8 Exercícios 49
(c) o espaço gerado pelas linhas de A é igual ao espaço gerado pelas linhas
de B.
15. Mostre a Proposição 3.26 utilizando o isomorfismo Tq definido na primeira
demonstração do Teorema do Núcleo e da Imagem.
16. Enuncie e demonstre o Teorema do Núcleo e da Imagem substituindo
X/ kerT por um espaço Z tal que X = kerT \u2295 Z. Você deve dar uma
demonstração direta, isto é, sem apelar para o próprio Teorema do Núcleo e
da Imagem.
17. Uma projeção é uma aplicação linear \u3c0 : X \u2192 X tal que \u3c02 = \u3c0. Mostre
que toda projeção \u3c0 : X \u2192 X satisfaz X = ker \u3c0 \u2295 im\u3c0 (compare com o
Exercício 28). Seja X = W1 \u2295W2 e x = w1 + w2, com wi \u2208 Wi. Mostre
que \u3a0 : X \u2192 W1, definida por \u3a0x = w1, é uma projeção.
18. Sejam \u3c01, \u3c02 : X \u2192 X projeções. Mostre que são equivalentes:
(a) \u3c01 + \u3c02 é uma projeção;
(b) \u3c01\u3c02 + \u3c02\u3c01 = 0;
(c) \u3c01\u3c02 = \u3c02\u3c01 = 0.
19. Sejam X e Y espaços vetoriais e B uma base de X (mesmo que X tenha
dimensão infinita). Faça corresponder, de maneira arbitrária, um vetor yx \u2208 Y
a cada elemento x \u2208 B. Mostre que existe uma única transformação linear
T : X \u2192 Y tal que Tx = yx para