Algebra e Matrizes   Hamilton[1]
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Algebra e Matrizes Hamilton[1]


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\u201cALinear\u201d \u2014 2005/12/19 \u2014 13:25 \u2014 page 55 \u2014 #71
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Determinantes
Aqui é feita uma apresentação elementar da teoria de determinantes e suas
propriedades, incluindo a regra de Cramer. A relação entre determinantes e volumes
será apresentada nos exercícios do Capítulo 8.
4.1 Determinantes de Matrizes 2× 2
Consideremos inicialmente uma matriz
A =
(
a b
c d
)
= (c1 c2)
com entradas no corpo K e colunas c1, c2. Denota-se por detA o determinante de
A, que é definido por detA = ad\u2212 bc.
As seguintes propriedades são de verificação imediata:
(i) Se duas colunas forem iguais, então o determinante da matriz A é igual a
zero:
det
(
a a
c c
)
= 0;
(ii) O determinante é uma aplicação linear em cada uma de suas colunas. Mais
precisamente,
det(c1 + \u3b1c
\u2032
1 c2) = det
(
a+ \u3bba\u2032 b
c+ \u3bbc\u2032 d
)
= det
(
a b
c d
)
+ \u3bb det
(
a\u2032 b
c\u2032 d
)
= det(c1 c2) + \u3b1 det(c
\u2032
1 c2)
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56 Determinantes Cap. 4
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det(c1 c2 + \u3b1c
\u2032
2) = det
(
a b+ µb\u2032
c d+ µd\u2032
)
= det
(
a b
c d
)
+ µ det
(
a b\u2032
c d\u2032
)
= det(c1 c2) + \u3b1 det(c1 c
\u2032
2);
(iii) O determinante da matriz identidade (2× 2) é igual a 1.
Também temos:
(iv) Se trocarmos as colunas de A, o determinante muda de sinal
det(c2 c1) = det
(
b a
d c
)
= \u2212 det
(
a b
c d
)
= det(c1 c2);
(v) Se somarmos a uma coluna um múltiplo da outra, então o determinante de A
não se altera:
det
(
a+ \u3bbb b
c+ \u3bbd d
)
= det
(
a b
c d
)
e det
(
a b+ µa
c d+ µc
)
= det
(
a b
c d
)
;
(vi) Se c1 = \u3b1c2, então detA = 0:
det
(
\u3b1c c
\u3b1d d
)
= \u3b1 det
(
c c
d d
)
= 0;
(vii) detA = detAt:
det
(
a b
c d
)
= det
(
a c
b d
)
.
Consideremos agora um sistema linear com duas equações, nas incógnitas x1 e
x2:
ax1 + bx2 = y1
cx1 + dx2 = y2,
em que as constantes a, b, c, d, y1 e y2 são arbitrárias. Multiplicando a primeira
equação por d e a segunda por \u2212b e então somando, obtemos
x1(ad\u2212 bc) = y1d\u2212 y2b.
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§4.2 Função Determinante 57
Analogamente,
x2(ad\u2212 bc) = ay2 \u2212 cy1.
Escrevendo o sistema matricialmente na forma Ax = y,(
a b
c d
)(
x1
x2
)
=
(
y1
y2
)
,
vemos que sua solução, se detA 6= 0, pode ser escrita em termos de determinantes
x1 =
det
(
y1 b
y2 d
)
detA
e x1 =
det
(
a y1
c y2
)
detA
.
Essa é a regra de Cramer para a solução de um sistema de duas equações em duas
incógnitas.
4.2 Função Determinante
Definiremos uma função determinante a partir das propriedades satisfeitas pelo
determinante de uma matriz 2× 2.
Definição 4.1 Sejam c1, c2, . . . , cn \u2208 Kn. Uma função determinanteD(c1, . . . , cn)
é uma função
D : Kn × · · · × Kn \u2192 K
(c1 , . . . , cn) 7\u2192 D(c1, . . . , cn)
satisfazendo as seguintes propriedades:
(d1) D é uma função alternada, isto é, se ci = cj para i 6= j, i, j \u2208 {1, . . . , n},
então D(c1, . . . , cn) = 0;
(d2) D(c1, . . . , cn) é uma função n-linear, isto é, D é uma aplicação linear em
cada coordenada, as outras sendo mantidas fixas; mais precisamente, se
todos os cj com j 6= i estiverem fixos,
D(c1, . . . , \u3bbci+ c
\u2032
i, . . . , cn) = \u3bbD(c1, . . . , ci, . . . , cn)+D(c1, . . . , c
\u2032
i, . . . , cn).
(d3) D(e1, . . . , en) = 1, em que {e1, . . . , en} é a base canônica do Kn.
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58 Determinantes Cap. 4
Para melhor entendermos o significado da hipótese (d3), em muitos resultados
consideraremos apenas uma função satisfazendo as propriedades (d1) e (d2).
É claro que a definição de uma função satisfazendo as propriedades (d1) e (d2)
pode ser expressa em termos de matrizes: se A = (c1 c2 · · · cn) for uma matriz
n× n (com colunas c1, . . . , cn), então D(A) = D(c1, c2, . . . , cn).
Lema 4.2 Seja D uma função satisfazendo a propriedade (d2). Então, são
equivalentes as afirmações:
(d1) D é uma função alternada;
(d\u20321) Se os vetores consecutivos ci e ci+1 forem iguais, então
D(c1, · · · , ci, ci+1, · · · , cn) = 0.
Demonstração: (d\u20321) \u21d2 (d1) Faremos indução sobre as posições com colunas
iguais. Ou seja, para j = i+ k, faremos indução sobre k \u2208 N = {1, 2, . . .}.
Se k = 1, temos a própria afirmativa (d1). Suponhamos o resultado
verdadeiro para k: sempre que ci = ci+k então D(c1, . . . , ci, . . . , ci+k, . . . , cn) =
0. Simplificando a notação, escreveremos D(ci, . . . , ci+k, ci+k+1) ao invés de
D(c1, . . . , ci, . . . , ci+k, ci+k+1, . . . , cn). Suponhamos ci = ci+k+1. Então vale
(verifique cuidadosamente cada passagem):
D(ci, . . . , ci+k, ci+k+1) =
= D(ci, . . . , ci+k, ci+k + ci+k+1)
= D(ci, . . . , ci+k, ci+k + ci+k+1) +D(ci, . . . , ci+k+1, ci+k + ci+k+1)
= D(ci, . . . , ci+k + ci+k+1, ci+k + ci+k+1)
= 0.
A implicação (d1)\u21d2 (d\u20321) é imediata. 2
Não é óbvia a existência de uma função satisfazendo as propriedades (d1) e
(d2). Contudo, outras propriedades de uma tal função seguem-se imediatamente da
definição:
Lema 4.3 Uma função que satisfaz as propriedades (d1) e (d2) também satisfaz as
propriedades
(d4) D é uma função anti-simétrica,isto é, se trocarmos ci por cj , então o valor
de D é multiplicado por \u22121. Sendo mais preciso,
D(c1, . . . , ci, . . . , cj, . . . , cn) = \u2212D(c1, . . . , cj, . . . , ci, . . . , cn);
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§4.2 Função Determinante 59
(d5) Se somarmos a um vetor ci um múltiplo do vetor cj , o valor de D não se
altera;
(d6) Se c1, . . . , cn forem linearmente dependentes, então D(c1, . . . , cn) = 0.
Demonstração: Como vamos trocar apenas as colunas ci e cj , os outros vetores
permanecendo fixos, denotaremos D(c1, . . . , ci, . . . , cj, . . . , cn) simplesmente por
D(ci, cj). Temos
0 = D(ci + cj, ci + cj) = D(ci, ci + cj) +D(cj, ci + cj)
= D(ci, ci) +D(ci, cj) +D(cj, ci) +D(cj, cj)
= D(ci, cj) +D(cj, ci).
Logo D(ci, cj) = \u2212D(cj, ci), mostrando (d4).
As propriedades (d1) e (d2) implicam
D(ci + \u3bbcj, cj) = D(ci, cj) + \u3bbD(cj, cj) = D(ci, cj) + 0
= D(ci, cj).
Quanto a (d6), suponhamos que c1, . . . , cn sejam linearmente dependentes.
Então um desses elementos pode ser escrito como combinação linear dos restantes.
Vamos supor que c1 = \u3bb2c2 + . . .+ \u3bbncn. A propriedade (d2) nos garante que
D(c1, . . . , cn) = D(\u3bb2c2 + . . .+ \u3bbncn, c2, . . . , cn)
= \u3bb2D(c2, c2, . . . , cn) + . . .+ \u3bbnD(cn, c2, . . . , cn).
Por (d1), todos os termos na última linha são nulos; isso mostra (d6). 2
Observação 4.4 SejaA uma matriz real n×n. Nesse caso, D(A) pode ser positivo,
negativo ou nulo. Nos dois primeiros casos, a imagem da base canônica E do Rn é
uma base B desse espaço, cujos vetores correspondem às colunas de A.
Dizemos que a base B está positivamente orientada (ou que E e B têm a mesma
orientação), se D(A) > 0.
Se D(A) 6= 0, dizer que a função determinante é anti-simétrica é dizer
que, permutando duas colunas de A, alteramos a orientação da base B. (Veja a
Observação 8.52.) \ufffd
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60 Determinantes Cap. 4
4.3 Existência de uma Função Determinante
Precisamos, contudo, mostrar que existe alguma função satisfazendo as
propriedades da função determinante. É o que faremos agora.
Definição 4.5 Seja A uma matriz n×n. Para i, j \u2208 {1, . . . , n}, Aij denota a matriz
obtida ao se eliminar a i-ésima linha e a j-ésima coluna de A.
Exemplo 4.6 Seja
A =
\uf8eb\uf8ed 2 3 57 11 13
17 19 23
\uf8f6\uf8f8 .
Então
A11 =
(
11 13
19 23
)
, A12 =
(
7 13
17 23
)
, A13 =
(
7 11
17 19
)
e assim por diante. \ufffd
Teorema 4.7 Existe uma função determinante.
Demonstração: