Algebra e Matrizes   Hamilton[1]
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Algebra e Matrizes Hamilton[1]


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a definição dada no início do
Capítulo:
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§4.4 Unicidade da Função Determinante 65
Definição 4.18 Sejam D a função determinante e A = (c1 · · · cn) uma matriz
n× n denotada por meio de suas colunas. Definimos
detA = D(c1, . . . , cn).
Em outras palavras, passamos a utilizar a notação habitual detA para o
determinante da matriz A.
Agora vamos mostrar algumas propriedades de permutações que normalmente
são utilizadas na prova da unicidade do determinante.
A demonstração do Lema 4.15 nos garante que:
Corolário 4.19 Toda permutação é um produto de transposições. Além disso, se
p = \u3c4k · · · \u3c41 é uma decomposição de p como produto de transposições, então
D(cp1 , . . . , cpn) = (\u22121)kD(c1, . . . , cn).
Definição 4.20 Sejam p uma permutação e A a matriz que representa p. Definimos
o sinal da permutação p por
\u1eb(p) = \u1eb(A) := det(A).
Fazendo ci = ei no Corolário 4.19, temos que D(A) = (\u22121)k, se p = \u3c4k · · · \u3c41
for a decomposição de p como produto de k transposições. Mas, a definição do
sinal garante, em particular, que \u1eb(p) independe de como uma permutação pode ser
escrita como produto de transposições. Assim, o Corolário 4.19 pode ser escrito
como
D(cp1 , . . . , cpn) = \u1eb(p)D(c1, . . . , cn). (4.4)
Proposição 4.21 O sinal de uma permutação tem as seguintes propriedades:
(i) se id for a permutação identidade, então \u1eb(id) = 1;
(ii) se \u3c4 for uma transposição, \u1eb(\u3c4) = \u22121;
(iii) se p e p\u2032 forem permutações, então \u1eb(p\u2032p) = \u1eb(p\u2032)\u1eb(p).
Demonstração: (i) e (ii) decorrem das propriedades (d3) e (d4) da função
determinante. Como toda permutação é produto de transposições p = \u3c4k · · · \u3c41 e
p\u2032 = \u3c4 \u2032j · · · \u3c4 \u20321. Assim, p\u2032p = \u3c4 \u2032j · · · \u3c4 \u20321\u3c4k · · · \u3c41 e
\u1eb(p\u2032p) = (\u22121)j+k = (\u22121)j(\u22121)k = \u1eb(p\u2032)\u1eb(p). 2
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66 Determinantes Cap. 4
Tão logo verifiquemos que det(AB) = detA detB, será possível apresentar
uma prova muito mais elegante de 4.21(iii) (veja o Exercício 11).
Sabemos que basta considerarmos as permutações do conjunto {1, . . . , n} na
equação (4.3). Tendo em vista a definição do sinal de uma permutação, (4.3)
escreve-se como
D(c1, . . . , cn) =
\u2211
p
\u1eb(p)ap11ap22 · · · apnn, (4.5)
que é a expressão clássica do determinante em termos de permutações.
Exemplo 4.22 Sejam c1 = (a11, a21) e c2 = (a12, a22) vetores do K2. Calcule o
determinante D(c1, c2).
Precisamos, em primeiro lugar, determinar todas as permutações do conjunto
{1, 2}. Elas são a identidade e uma transposição. Assim, temos \u1eb(p1) = 1 e
\u1eb(p2) = \u22121. Então
D(c1, c2) =
\u2211
p
\u1eb(p)ap11ap22 = (1)a11a22 + (\u22121)a12a21 = a11a22 \u2212 a12a21.
\ufffd
O Exercício 4 deixa claro que o cálculo de determinantes por meio de
permutações é um processo enfadonho e pouco aplicável. O escalonamento de uma
matriz nos fornece um método muito mais eficaz:
Exemplo 4.23 Consideremos a matriz
A =
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ed
1 1 1 1
1 2 2 2
1 1 3 3
4 3 2 1
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f8 .
Multiplicando a primeira linha por \u22121 e somando à terceira e à quarta e, então,
multiplicando a primeira linha por \u22124 e somando à quarta linha, não alteramos o
valor do determinante:
detA = det
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ed
1 1 1 1
1 2 2 2
1 1 3 3
4 3 2 1
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f8 = det
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ed
1 1 1 1
0 1 1 1
0 0 2 2
0 \u22121 \u22122 \u22123
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f8 .
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§4.5 Propriedades do Determinante de uma Matriz 67
Continuando o escalonamento, obtemos (de acordo com as propriedades do
determinante)
detA = det
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ed
1 1 1 1
0 1 1 1
0 0 2 2
0 \u22121 \u22122 \u22123
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f8 = (2) det
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ed
1 1 1 1
0 1 1 1
0 0 1 1
0 0 \u22121 \u22122
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f8 .
Então,
detA = (2) det
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ed
1 1 1 1
0 1 1 1
0 0 1 1
0 0 \u22121 \u22122
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f8 = \u2212(2) det
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ed
1 1 1 1
0 1 1 1
0 0 1 1
0 0 0 1
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f8 .
É claro que, levando a última matriz à forma escalonada reduzida por linhas,
obteremos a matriz identidade. (Veja também o Exercício 16.) Assim,
detA = \u22122.
\ufffd
4.5 Propriedades do Determinante de uma Matriz
Nesta Seção mostraremos propriedades clássicas do determinante de uma
matriz.
4.5.1 O Determinante da Matriz Transposta
Teorema 4.24 Seja A uma matriz n× n e At a transposta da matriz A. Então
detA = detAt.
Demonstração: A equação (4.5) garante que
detA =
\u2211
p
\u1eb(p)ap11ap22 · · · apnn.
Mas, se p(i) = j, então i = p\u22121p(i) = p\u22121(j). Como pi denota p(i), p\u22121(j) será
denotado por p\u22121j , de modo que a última expressão pode ser escrita como i = p\u22121j .
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68 Determinantes Cap. 4
Assim, se p1 = j, então ap11 = ajp\u22121j . Da mesma forma para os outros índices, de
modo que \u2211
p
\u1eb(p)ap11ap22 · · · apnn =
\u2211
p
\u1eb(p)a1p\u221211a2p\u221212 · · · anp\u22121n .
Mas, se p percorrer todas as permutações de {1, . . . , n}, o mesmo acontece com
p\u22121. Uma vez que o sinal de p e o de p\u22121 é o mesmo, chegamos a
detA =
\u2211
p\u22121
\u1eb(p\u22121)a1p\u221211a2p\u221212 · · · anp\u22121n =
\u2211
p
\u1eb(p)a1p1a2p2 · · · anpn ,
que é o determinante da matriz transposta, pois cada uma de suas entradas aparece
na forma aji ao invés de aij . 2
Corolário 4.25 A expansão em cofatores pode ser feita também segundo qualquer
coluna da matriz quadrada A.
4.5.2 O Determinante do Produto de Matrizes Quadradas
Teorema 4.26 Sejam A = (aij) e B = (bij) matrizes n× n. Então
det(BA) = detB detA.
Demonstração: Sejam Aj , Bj e Dj as j-ésimas colunas de A, B e BA,
respectivamente. A equação (3.2) garante que a j-ésima coluna de uma matriz é
obtida ao se calcular o seu valor em ej . Assim,
(BA)ej = B(Aej) = BAj.
Por definição, Dj = a1jB1 + . . . + anjBn. Assim, se D denotar a função
determinante,
det(BA) = D(a11B1 + · · ·+ an1Bn, . . . , a1nB1 + · · ·+ annBn).
Expandindo essa última expressão como feito com a equação (4.3) e aplicando a
equação (4.4), encontramos
det(BA)=
\u2211
p
ap11 · · · apnnD(Bp1 , . . . , Bpn)=
\u2211
p
\u1eb(p)ap11 · · · apnnD(B1, . . . , Bn)
= detB
\u2211
p
\u1eb(p)ap11 · · · apnn = detB detA. 2
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§4.5 Propriedades do Determinante de uma Matriz 69
Demonstração alternativa do teorema 4.26: Como antes, temos que
det(BA) = D(BA1, . . . , BAn).
Suponhamos que detB 6= 0. Definimos então a função D por
D(A1, . . . , An) = D(A) := det(BA)
detB
.
Em virtude da expressão para det(BA) obtida, podemos escrever D como
D(A1, . . . , An) = D(BA1, . . . , BAn)
detB
. (4.6)
Vamos provar que a função D satisfaz as propriedades (d1) \u2212 (d3) da função
determinante detA. Temos
(d1) Se Ai = Aj , para i 6= j, então BAi = BAj . Como D satisfaz à propriedade
(d1), temos D = 0;
(d2) Como B(x + \u3bby) = Bx + \u3bbBy, cada BAi é uma função linear de Ai. Como
D é n-linear, o mesmo vale para D;
(d3) Para Ai = ei, temos
D(e1, . . . , en) = D(Be1, . . . , Ben)
detB
.
Mas, Bei = Bi, a i-ésima coluna de B. Logo
D(e1, . . . , en) = D(B1, . . . , Bn)
detB
=
detB
detB
= 1.
Uma vez que existe uma única função determinante, D(A1, . . . , An) = det(A).
Isso prova o afirmado, se detB 6= 0, pois D(A1, . . . , An) = det(BA)detB .
Suponhamos agora que detB = 0. Como vimos, a função
D(BA1, · · · , BAn) = det(BA) satisfaz as propriedades (d1) e (d2). Além disso,
quando Ai = ei, temos 0 = detB = D(Be1, · · · , Ben). O Teorema 4.16 garante
que D(BA1, · · · , BAn) = 0. Assim, det(BA) = 0 e o mesmo valor é assumido
por detA detB, como queríamos mostrar. (Demonstrações alternativas do caso em
que detB = 0 são apresentadas nos Exercícios 10 e 25 (c).) 2
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70 Determinantes Cap. 4
4.6 A Regra de Cramer
Sejam A = (aij) uma matriz n×n e b \u2208 Kn um vetor. Consideremos a equação
Ax = b.
Suponhamos que x =
n\u2211
j=1
xjej seja uma solução dessa equação. Denotando por
cj