Algebra e Matrizes   Hamilton[1]
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Algebra e Matrizes Hamilton[1]


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a j-ésima coluna de A, podemos escrever Ax =
n\u2211
j=1
xjAej =
n\u2211
j=1
xjcj = b. Isso
quer dizer que
(c1 · · · cj · · · cn)
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
x1
.
.
.
xj
.
.
.
xn
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8 =
\uf8eb\uf8ec\uf8ed b1..
.
bn
\uf8f6\uf8f7\uf8f8 \u21d4 n\u2211
j=1
xjcj = b e bi =
n\u2211
j=1
xjaij. (4.7)
Definimos Ak como sendo a matriz obtida ao se substituir a k-ésima coluna de
A pelo vetor b. Descrevendo essa matriz em termos de suas colunas, obtemos
Ak = (c1 . . . ck\u22121 b ck+1 . . . cn) = (c1 . . . ck\u22121
n\u2211
j=1
xjcj ck+1 . . . cn), (4.8)
desde que x seja uma solução de Ax = b.
Assim, utilizando a notação de D para a função determinante,
detAk =
n\u2211
j=1
xjD(c1, . . . , ck\u22121, cj, ck+1, . . . , cn).
Logo, se x for solução de Ax = b, vale
detAk = xk detA, (4.9)
pois todos os outros termos se anulam no somatório. Portanto,
xk =
detAk
detA
, (4.10)
desde que detA 6= 0. Essa é a regra de Cramer para se obter a solução da equação
Ax = b, para um dado b. Ela garante que, se detA 6= 0, então a (única) solução x
de Ax = b tem coordenadas que satisfazem a igualdade xk = detAkdetA .
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§4.6 A Regra de Cramer 71
Teorema 4.27 Para k \u2208 {1, . . . , n}, seja
B =
(
(\u22121)1+k detA1k . . . (\u22121)i+k detAik . . . (\u22121)n+k detAnk
)
,
em que a matriz B está sendo descrita em termos de suas colunas. Então vale
BA = AB = (detA)I. (4.11)
Assim, A é invertível se, e somente se, detA 6= 0. Nesse caso, A\u22121 =
(1/ detA)B, ou seja,
(A\u22121)ki = (\u22121)i+kdetAik
detA
. (4.12)
A matriz B é chamada de adjunta clássica de A.
Demonstração: Tome x \u2208 Rn arbitrário e defina u = Ax. De acordo com a
equação (4.8), se expandirmos detAk com relação a sua k-ésima coluna, obtemos
detAk =
n\u2211
i=1
(\u22121)i+k detAik ui.
Decorre da equação (4.9), que
(detA)xk =
n\u2211
i=1
(\u22121)i+k detAik ui. (4.13)
A equação (4.7) nos mostra como se multiplica uma matriz descrita em termos
de suas colunas por um vetor (observe a inversão de índices na definição de B!):
detA
\uf8eb\uf8ec\uf8edx1..
.
xn
\uf8f6\uf8f7\uf8f8=((\u22121)1+k detA1k · · · (\u22121)i+k detAik · · · (\u22121)n+k detAnk)
\uf8eb\uf8ec\uf8edu1..
.
un
\uf8f6\uf8f7\uf8f8
Quer dizer, mostramos que, ao definir u = Ax, então vale
(detA)x = Bu. (4.14)
Como u = Ax, vem (detA)x = BAx para todo x e, portanto, BA = (detA) I.
Se detA 6= 0, então (1/ detA)B é a inversa de A (veja o Exercício 13 do
Capítulo 3). Se, por outro lado, A tiver inversa A\u22121, aplicando o determinante
em ambos os lados de AA\u22121 = I, obtemos detA detA\u22121 = det I = 1. Logo,
detA 6= 0.
Para AB \u2261 0 no caso em que detA = 0, veja o Exercício 19. 2
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72 Determinantes Cap. 4
4.7 Matrizes Semelhantes
Definição 4.28 Seja A = (aij) uma matriz quadrada. Definimos o traço da matriz
A, denotado por trA, por
trA =
n\u2211
i=1
aii.
Teorema 4.29 O traço é uma aplicação linear e tr (AB) = tr (BA).
Demonstração: A linearidade do traço é óbvia. Por definição, temos
(AB)ii =
n\u2211
k=1
aikbki e (BA)kk =
n\u2211
i=1
bkiaik.
Assim,
tr (AB) =
n\u2211
i=1
(
n\u2211
k=1
aikbki
)
=
n\u2211
k=1
(
n\u2211
i=1
bkiaik
)
= tr (BA).
2
Definição 4.30 Duas matrizes A e B são semelhantes, se existir uma matriz
invertível P tal que B = P\u22121AP .
Claramente, temos assim definida uma relação de equivalência2 no conjunto das
matrizes n× n.
Teorema 4.31 Matrizes semelhantes possuem o mesmo determinante e o mesmo
traço.
Demonstração: Temos
detB = det(P\u22121AP ) = detP\u22121 detA detP = detA det(P\u22121P ) = detA det I
= detA.
Também, pelo Teorema 4.29,
trB = tr (P\u22121AP ) = tr (APP\u22121) = tr (AI) = trA. 2
2Veja o Exercício 38 do Capítulo 3.
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§4.8 Exercícios 73
Como vimos anteriormente, dada uma aplicação linear T de um espaço X de
dimensão n nele mesmo, ao se escolher uma base de X , podemos representar T por
uma matriz. Duas representações de T , obtidas pela escolha de duas bases distintas,
são semelhantes. Aplicando o teorema anterior, vemos que faz sentido a seguinte
definição:
Definição 4.32 Seja T : V \u2192 V uma aplicação linear definida no espaço vetorial
de dimensão finita V . Definimos
trT = trTBB = trTB e detT = detT
B
B = detTB,
em que B é qualquer base de V .
4.8 Exercícios
1. Seja K = R ou K = C. Mostre que a propriedade (d4) da função
determinante implica a propriedade (d1). Assim, poderíamos ter definido a
função determinante como uma que satisfaz as propriedades (d2)\u2212(d3)\u2212(d4).
2. Sem calcular o determinante da matriz que a representa, obtenha \u1eb(p), sendo
p =
(
1 2 3 4 5 6
5 4 2 1 6 3
)
.
Escreva p como produto de transposições.
3. Seja A uma matriz de permutação. Mostre que A\u22121 = At e que \u1eb(A) =
\u1eb(A\u22121).
4. Repita o Exemplo 4.22 para três vetores genéricos doK3. Em outras palavras,
calcule o determinante de uma matriz 3× 3 utilizando a expressão (4.5).
5. Sejam c1, . . . , cn \u2208 Kn as colunas da matriz A. Mostre que detA = 0 implica
que os vetores c1, . . . , cn são linearmente dependentes.
6. Aplique as propriedades da função determinante para calcular o determinante
da matriz \uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ed
2 5 \u22123 \u22122
\u22122 \u22123 2 \u22125
1 3 \u22122 2
\u22121 \u22126 4 3
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f8 .
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74 Determinantes Cap. 4
7. Mostre o Corolário 4.25.
8. Seja A uma matriz n× n. Mostre que: det(tI\u2212 A) é um polinômio mônico3
de grau n na variável t.
9. Seja B(t) uma matriz n × n cujas entradas bij(t) dependem continuamente
da variável t. Mostre que detB(t) depende continuamente de t.
10. Suponha provado que det(AB) = detA detB, se detB 6= 0. Usando os
Exercícios 8 e 9, defina B(t) = B + tI e mostre a validade do resultado
também no caso em que detB = 0.
11. Representando permutações por matrizes, verifique que a Proposição
4.21(iii) é conseqüência imediata do Teorema 4.26.
12. Seja A \u2208 Mm×n(R) uma matriz de posto r. Mostre que r é o maior número
natural tal que A possui uma submatriz Ar, r × r, com detAr 6= 0.
13. Sejam x1, x2, x3 \u2208 K. Mostre que
det
\uf8eb\uf8ed 1 x1 x211 x2 x22
1 x3 x
2
3
\uf8f6\uf8f8 = (x2 \u2212 x1)(x3 \u2212 x1)(x3 \u2212 x2).
Se x1, . . . , xn \u2208 K, mostre então por indução que
Vn = det
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
1 x1 · · · xn\u221211
1 x2 · · · xn\u221212
.
.
.
.
.
.
1 xn · · · xn\u22121n
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8 =\u220f
i>j
(xi \u2212 xj)
em que o produtório é tomado sobre todos os termos (xj \u2212 xi) com i < j.
Esse determinante é o determinante de Vandermonde de ordem n.
14. Mostre que, se as funções f1, f2 forem de classe C2 e se
\u3c8(t) = det
(
f1(t) f2(t)
f \u20321(t) f
\u2032
2(t)
)
,
3Isto é, o coeficiente do termo de maior grau é igual a 1.
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§4.8 Exercícios 75
então
\u3c8\u2032(t) = det
(
f1(t) f2(t)
f \u2032\u20321 (t) f
\u2032\u2032
2 (t)
)
.
Generalize então para matrizes n× n:
\u3c8(t) = detA(t) = det
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
f1(t) f2(t) · · · fn(t)
f \u20321(t) f
\u2032
2(t) · · · f \u2032n(t)
.
.
.
.
.
.
f
(n\u22121)
1 (t) f
(n\u22121)
2 (t) · · · f (n\u22121)n (t)
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8 .
com fj(t) suficientemente suave para j = 1, . . . , n. A função \u3c8(t) é muitas
vezes denotada por W (f1, . . . , fn)(t) e chamada Wronskiano das funções
f1, . . . , fn.
15. Sejam f1, . . . , fn : I \u2282 R\u2192 R funções de classeCn\u22121. Mostre que, se existir
um ponto t0 \u2208 I tal que W (f1, . . . , fn)(t0) 6= 0, então essas funções são
linearmente independentes no espaço Cn\u22121(I) de todas as funções de classe
Cn\u22121 definidas no intervalo I . Generalize para funções analíticas definidas
num aberto U \u2282 C. Mostre então que, se \u3bb1, . . . , \u3bbn \u2208 C forem distintos e
não-nulos, as funções e\u3bb1t, . . . , e\u3bbnt são linearmente independentes.
16. Seja A uma matriz triangular superior, isto é, uma matriz da forma
A =
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
a11 a12 · · · a1n
0 a22 · · · a2n
.
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