Algebra e Matrizes   Hamilton[1]
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Algebra e Matrizes Hamilton[1]


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multiplicação de matrizes
é uma conseqüência natural da composição de aplicações lineares. Nesse capítulo
também são tratados outros tópicos fundamentais de um curso de Álgebra Linear:
matrizes e representações de aplicações lineares, sistemas lineares, espaço linha e
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espaço coluna, núcleo e imagem de uma aplicação linear etc. Grande ênfase é dada
às matrizes de mudança de base (a rigor, mudança de coordenadas), pois entendo
que o tratamento clássico \u2013 por meio da matriz de passagem \u2013 mais confunde do
que esclarece. Se o professor optar por evitar a introdução do espaço quociente,
o Teorema do Núcleo e da Imagem pode, ainda assim, ser enunciado como um
teorema de isomorfismo, por meio da utilização do Exercício 16 do Capítulo 3.
O Capítulo 4 aborda a teoria de determinantes. Os textos de Álgebra Linear
normalmente enfrentam um dilema ao tratá-los: ou apresentam a "teoria completa"
de permutações e do sinal de uma permutação, segundo métodos que, stricto sensu,
fogem ao escopo da Álgebra Linear, ou preferem introduzir brevemente esses
tópicos, remetendo aos textos de Álgebra a demonstração dos resultados utilizados.
Isso causa um certo desconforto, evidenciado na observação feita por Lang na seção
sobre permutações da primeira edição de seu texto de Álgebra Linear [19]: "Ao
leitor que for alérgico a argumentos combinatórios, aconselhamos assimilar apenas
o enunciado das propriedades e omitir as demonstrações." A apresentação escolhida
para determinantes supera esse dilema: a teoria de permutações e do sinal de uma
permutação é apresentada segundo métodos da Álgebra Linear, como conseqüência
do material exposto.
No Capítulo 5 são introduzidos os autovalores e autovetores de um operador,
bem como o polinômio mínimo e o Teorema de Cayley-Hamilton, aqui demons-
trado de um modo bastante simples. Também é estudada a complexificação de um
espaço vetorial.
Apesar de incluírem a apresentação do espaço quociente e da complexificação
de um espaço vetorial \u2013 tópicos que, normalmente, não são vistos em um primeiro
curso de Álgebra Linear \u2013, os Capítulos 1-5 formam a parte básica do curso.
O Capítulo 6 introduz o cálculo funcional. (Se o professor julgar que seus alunos
não possuem os conhecimentos necessários para a leitura desse Capítulo, ele pode
optar entre uma apresentação "operacional" do mesmo ou seguir algum dos roteiros
alternativos, que serão descritos posteriormente.) A Seção 6.3 é relativamente
mais avançada, consideradas as noções de topologia empregadas para se mostrar
a "estabilidade" do método que fundamenta o cálculo funcional. Entretanto, essas
preocupações não são essenciais, e o professor pode apenas mostrar o isomorfismo
de álgebras, sem preocupações com a estabilidade do método. A Seção 6.4
dá exemplos do emprego do cálculo funcional: o fluxo de uma matriz, funções
trigonométricas etc.
O Capítulo 7 apresenta a decomposição primária, a forma canônica de Jordan
e a decomposição racional. O cálculo funcional mostra o Teorema da Imagem do
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Espectro ("Spectral Mapping Theorem") e o Teorema da Decomposição Primária no
caso complexo \u2013 denominado Teorema Espectral. (A demonstração desse resultado
é um pouco abstrata). A forma de Jordan é demonstrada a partir do Teorema
Espectral 7.2. A construção é muito simples e descrita minuciosamente por meio
de vários exemplos. Minha experiência didática mostra que esse trajeto é preferível
a uma abordagem direta da forma de Jordan, como aquela presente no Apêndice
D. Em primeiro lugar, porque o Teorema Espectral é suficiente para grande parte
das necessidades teóricas da Álgebra Linear; mas também porque o problema de se
obter uma base na qual um operador assume uma forma simples é introduzido aos
poucos, dando tempo para o aluno maturar essa questão. A versão real do Teorema
Espectral \u2013 isto é, a decomposição primária \u2013 e a forma de Jordan real são obtidas
estudando a complexificação de um espaço real. Utilizando a forma canônica de
Jordan, obtemos, de maneira incomum, a decomposição racional.
Os Capítulos 6 e 7 \u2013 conjuntamente com os diversos Apêndices com eles
relacionados \u2013 apresentam o cálculo funcional e as decomposições fundamentais
válidas em espaços vetoriais arbitrários.
O Capítulo 8 introduz os espaços com produto interno. Mantenho a tradição
bourbakista de apresentá-los apenas após o estudo de espaços vetoriais gerais.
Acho que o professor deve ressaltar o aspecto geométrico introduzido com o
produto interno. Por exemplo, o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt
pode ser justificado em casos bi- e tridimensionais. Mais do que isso, no caso de
espaços de dimensão n, uma representação decompondo-o em um eixo vertical e
seu complementar ortogonal é adequada: muitas demonstrações podem ser, assim,
geometricamente justificadas. Em coerência com o caminho voltado para a Análise,
algumas propriedades da norma de uma matriz quadrada são apresentadas. Também
são estudadas as relações entre o núcleo e a imagem de uma aplicação linear e de
sua adjunta, bem como algumas propriedades básicas de isometrias.
O Capítulo 9 apresenta formas quadráticas e a Lei da Inércia. De certa forma, ele
constitui uma unidade com o Capítulo 10, que trata das principais formas canônicas
em espaço com produto interno: o Teorema Espectral para operadores normais, o
estudo de classes de operadores normais no caso de espaços reais e a decomposição
de um operador em valores singulares. Decidi dividir o material em dois capítulos
para tornar claro que o Capítulo 9 pode ser omitido, a critério do instrutor.
Contudo, apresentar o Teorema de Lagrange e então passar à diagonalização
de matrizes simétricas é uma forma de unificar conceitos que usualmente são
tratados separadamente: formas bilineares simétricas e diagonalização de matrizes
simétricas. No Capítulo 10 também se demonstra que operadores auto-adjuntos são
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diagonalizáveis por meio de técnicas de minimax.
Algumas seções do Capítulo 11 \u2013 que apresenta as decomposições matriciais
de Cholesky, Schur e QR\u2013, oferecem abordagem alternativa ou complementar a
resultados apresentados nos Capítulos 8 e 10.
Agradecimentos. A lista de agradecimento é enorme e comporta grande parte de
meus amigos. Para não correr o risco de esquecer alguns, destaco apenas aqueles
que estiveram mais diretamente envolvidos na redação deste livro.
Ana Cristina Vieira e Paulo Antônio Fonseca Machado adotaram, em cursos
que ministraram, a primeira versão deste trabalho (a adaptação do texto de Lax)
e contribuíram com várias sugestões e correções. O enfoque utilizado para a
apresentação de determinantes foi escolhido após várias discussões com Helder
Candido Rodrigues e P. A. F. Machado. A abordagem do cálculo funcional é
baseada num texto apresentado na I Bienal da Matemática e muito deve a Carlos
Tomei, George Svetlichny, Eliana Farias Bueno e H. C. Rodrigues. A participação
de H. C. Rodrigues na redação da Seção 7.6 foi decisiva. No Apêndice E segui
sugestões de Mário Jorge Dias Carneiro.
O texto foi inteiramente revisto por Leopoldo Grajeda Fernandes, que contribuiu
com inúmeras sugestões, abordando tanto o enfoque adotado quanto o estilo
de redação. Marcelo Domingues Marchesin e Carlos Henrique Costa Moreira
utilizaram o texto atual em seus cursos de Álgebra Linear e sugeriram modificações
pertinentes.
Agradeço também a vários leitores e meus alunos, em especial a Leandro
Martins Cioletti, que apresentaram sugestões e críticas, todas elas bem-vindas.
Finalmente, C. Tomei é responsável por uma leitura minuciosa, sugestões
valiosas \u2013 que procurei seguir de acordo com minha capacidade \u2013 e inúmeras
críticas, todas elas muito bem fundamentadas. A principal crítica