Algebra e Matrizes   Hamilton[1]
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Algebra e Matrizes Hamilton[1]


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base de X .)
Nosso objetivo é generalizar esse procedimento, de modo a averiguarmos em
qual situação é possível obter f(T ), mesmo que f não seja um polinômio. (Esse
é o objetivo do Capítulo 6.) Começamos, contudo, estudando funções polinomiais.
Lembramos que um polinômio é mônico, se o coeficiente de seu termo de maior
grau for igual a 1.
Definição 5.12 Um polinômio mínimo m \u2208 K[z] de uma aplicação T : X \u2192 X é
um polinômio mônico de menor grau tal que m(T ) = 0.
Lema 5.13 Todo operador linear T : X \u2192 X , definido em um espaço X de
dimensão n, possui um polinômio mínimo.
Demonstração: O espaço L(X,X) de todas as aplicações lineares T : X \u2192 X é
um espaço vetorial de dimensão n2. (Esse espaço é isomorfo ao espaço Mn×n(K)
de todas as matrizes n × n com entradas em K). Assim, as aplicações lineares I,
T, T 2, . . . , T n
2
são, necessariamente, linearmente dependentes. Quer dizer, existem
escalares \u3b10, \u3b11, . . . , \u3b1n2 \u2208 K, nem todos nulos, tais que
\u3b10I + \u3b11T + . . .+ \u3b1n2T
n2 = 0.
Definindo p(z) = \u3b10 +\u3b11z+ . . .+\u3b1n2zn
2
, temos 0 6= p e p(T ) = 0. Dividindo
pelo coeficiente do termo de maior grau, obtemos um polinômio mônico p. O
polinômio mínimo então existe, como decorrência da aplicação do Princípio da Boa
Ordenação ao conjunto de todos os polinômios mônicos que anulam T . 2
Lema 5.14 Se p(T ) = 0 para um polinômio p \u2208 K[z] e m um polinômio mínimo
de T , então p é um múltiplo de m.
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86 Operadores e Polinômios Cap. 5
Demonstração: Se I denotar o conjunto de todos os polinômios com coeficientes
em K[z] que anulam T , claramente a soma de dois polinômios em I, bem como
a multiplicação de p por qualquer polinômio (com coeficientes em K) estão em I.
(Quer dizer, I é um ideal.) A divisão euclidiana de p por m nos dá p = qm + r.
Como r = p\u2212 qm pertence a I e o grau de m é mínimo, concluímos que r = 0. 2
Note que, em particular, esse resultado implica a unicidade do polinômio
mínimo de T .
5.4 O Teorema de Cayley-Hamilton
Apresentamos agora um dos resultados mais importantes da Álgebra Linear. Ele
também é válido para operadores definidos em espaços reais de dimensão finita,
como mostraremos posteriormente (veja o Corolário 5.22):
Teorema 5.15 (Cayley-Hamilton)
Seja X um espaço complexo de dimensão finita. Se p \u2208 K[z] for o polinômio
característico de T : X \u2192 X , então p(T ) = 0.
Demonstração: Faremos indução sobre n = dimX ou, o que é o mesmo, sobre
o tamanho da matriz que representa o operador T . Se n = 1, o resultado é óbvio.
Suponhamos que ele seja válido para qualquer espaço complexo de dimensão n\u2212 1
e consideremos T : X \u2192 X , com dimX = n. Seja \u3bb \u2208 C uma raiz do polinômio
característico p de T e tome x1 tal que Tx1 = \u3bbx1. Considere então uma base
{x1, x2, . . . , xn} de X , cujo primeiro elemento é x1. Nessa base, T é representado
por uma matriz com a forma
A =
(
\u3bb \u2217
0 A1
)
, (5.7)
em que A1 denota uma matriz quadrada e \u2217 representa n\u22121 entradas sobre as quais
não temos controle. Claramente,
p(t) = det(tI\u2212 A) = (t\u2212 \u3bb) det(tI\u2212 A1) = (t\u2212 \u3bb)p1(t),
em que p1(t) é o polinômio característico de A1. Assim (veja o Exercício 14),
p(A) = (A\u2212 \u3bbI)p1(A).
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§5.5 A Complexificação de um Espaço Vetorial 87
Para obtermos p1(A), decorre de (5.7) que Ak tem a forma (veja o Exercício 15)(
\u3bbk \u2217
0 Ak1
)
e, portanto,
p1(A) =
(
p1(\u3bb) \u2217
0 p1(A1)
)
=
(
p1(\u3bb) \u2217
0 0
)
,
de acordo com nossa hipótese de indução.
Assim, (os tamanhos das matrizes I são diferentes em cada expressão)
p(A) = (A\u2212 \u3bbI)p1(A) =
(
0 \u2217
0 (A1 \u2212 \u3bbI)
)(
p1(\u3bb) \u2217
0 0
)
=
(
0 0
0 0
)
,
completando a demonstração. 2
Uma demonstração alternativa do Teorema de Cayley-Hamilton, válida para R
ou C, é sugerida no Exercício 16.
O próximo resultado é conseqüência imediata do Lema 5.14.
Corolário 5.16 Seja T : X \u2192 X um operador no espaço complexo de dimensão
finita X . O polinômio mínimo de T é um divisor do polinômio característico de T .
Como mostraremos na próxima Seção, esse mesmo resultado vale sem a
hipótese de X ser um espaço complexo.
5.5 A Complexificação de um Espaço Vetorial
Definição 5.17 Sejam A \u2208 Mn×n(K) e z \u2208 Kn um vetor qualquer. Definimos a
matriz conjugada A¯ \u2208 Mn×n(K) como a matriz obtida ao se tomar o conjugado
em cada uma das entradas de A e o vetor conjugado z¯ \u2208 Kn como o vetor obtido
ao se tomar o conjugado em cada uma das coordenadas de z.
É de verificação imediata que A+ \u3bbB = A¯ + \u3bb¯B¯, AB = A¯ B¯ para quaisquer
matrizes A,B \u2208 Mn×n(K) e \u3bb \u2208 K. Além disso, também vale Az = A¯z¯ para
qualquer z \u2208 Kn.
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88 Operadores e Polinômios Cap. 5
Definição 5.18 Definimos a complexificação de um espaço vetorial real X como
sendo o conjunto
XC = {u+ iv; u, v \u2208 X}.
Em XC, definimos a soma de vetores e a multiplicação por um número complexo
de maneira "natural". É fácil verificar que XC torna-se, assim, um espaço vetorial
sobre os complexos.
Definição 5.19 Sejam X um espaço real e T : X \u2192 X uma aplicação linear.
Definimos a complexificação de T como sendo a aplicação TC : XC \u2192 XC, dada
por TC(u+ iv) = Tu+ iTv.
Proposição 5.20 Sejam X um espaço vetorial real de dimensão finita e T : X \u2192
X uma aplicação linear. As seguintes afirmativas são válidas:
(i) toda base de X sobre R é uma base de XC sobre C;
(ii) os polinômios característicos de T e TC são iguais;
(iii) se \u3bb for um autovalor de TC, então \u3bb¯ também é um autovalor de TC; as
multiplicidades algébricas dos autovalores \u3bb e \u3bb¯ são iguais;
(iv) seja W\u2dc \u2282 XC um subespaço tal que
w = u+ iv \u2208 W\u2dc \u21d2 w¯ = u\u2212 iv \u2208 W\u2dc .
Então W\u2dc possui uma base formada por vetores reais.
Demonstração: (i) Basta notar que as partes real u e imaginária v de qualquer
vetor u + iv podem ser escritas como combinação linear dos elementos da base de
X .
(ii) Escolhida uma base de X sobre os reais, decorre imediatamente de (i), pois
as representações de T e TC nessa base são iguais.
(iii) Sejam \u3bb um autovalor de TC e p(z) o polinômio característico de TC.
Como p(z) também é o polinômio característico de T , os coeficientes de p(z)
são reais. Tomando o conjugado na equação p(\u3bb) = 0, obtemos p(\u3bb¯) = 0,
o que mostra que \u3bb¯ também é uma raiz do polinômio característico de TC. Se
p\u2032(\u3bb) = . . . = p(d\u22121)(\u3bb) = 0 e p(d)(\u3bb) 6= 0 (isto é, se \u3bb for raiz de multiplicidade d
do polinômio característico), tomando o conjugado em cada uma dessas equações
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§5.5 A Complexificação de um Espaço Vetorial 89
obtemos p\u2032(\u3bb¯) = . . . = p(d\u22121)(\u3bb¯) = 0 e p(d)(\u3bb¯) 6= 0, o que garante que \u3bb¯ também
tem multiplicidade d.
(iv) Seja {w1, . . . , wk} uma base de W\u2dc , com wj = uj + ivj , j = 1, . . . , k.
Somando e subtraindo os vetores wj e w¯j , obtemos que uj = uj + i0 e vj = vj + i0
estão em W\u2dc . Assim, o conjunto S = {u1, v1, . . . , uk, vk} é um conjunto de vetores
reais que gera W\u2dc . Uma base formada de vetores reais é obtida ao se tomar um
subconjunto de S com k elementos que seja linearmente independente em X . (Veja
o Exercício 19.) 2
Exemplo 5.21 Consideremos o operador T : R2 \u2192 R2 definido por T (x, y) =
(\u2212y, x). Sua representação matricial na base canônica do R2 é a matriz
A =
(
0 \u22121
1 0
)
.
A complexificação TC do operador T é definida por
TC
(
(x1, y1) + i(x2, y2)
)
= T (x1, y1) + iT (x2, y2) = (\u2212y1, x1) + i(\u2212y2, x2).
A representação matricial de TC com relação à base canônica de C2 também é dada
pela matriz A. \ufffd
Decorre de (i) que XC é um espaço vetorial de dimensão n sobre os complexos.
Entretanto, ele é um espaço vetorial de dimensão 2n sobre os reais. Se os escalares
forem reais, X \u2282 XC é um subespaço. (Veja o