Algebra e Matrizes   Hamilton[1]
310 pág.

Algebra e Matrizes Hamilton[1]


DisciplinaÁlgebra Linear I19.356 materiais281.567 seguidores
Pré-visualização50 páginas
] com a topologia deKn2 , o homomorfismo \u3c6 é contínuo.
De fato, sejam p e q polinômios quaisquer. O polinômio (em T ) p(T ) \u2212 q(T )
tem coeficientes que dependem apenas dos valores assumidos pelos polinômios
p e q (e, conforme o caso, pelas suas derivadas até a ordem k) no espectro
\u3c3(T ) = {\u3bb1, . . . , \u3bb\u2113} do operador T , de acordo com a Definição 6.6. Segue-se
imediatamente daí que p(T ) estará perto de q(T ), se p e q estiverem suficientemente
próximos na norma \u2016 · \u2016Ck(K).
Entretanto, para garantir a continuidade de \u3a6 precisamos restringir a álgebra
J . Fazemos isso definindo Fk, a álgebra de todas as funções f definidas e de
classe Ck em todos os pontos do interior do compacto K. Claramente Fk \u2282 J .
Consideramos em Fk a mesma norma introduzida em K[z]. É claro que K[z]
também é uma subálgebra de Fk.
O mesmo argumento que prova a continuidade de \u3c6 continua válido. Assim,
\u3a6Fk = \u3a6|Fk é contínuo.
K[z] \u3c6
\u582 \u581
Fk \u2212\u2192 K[T ]
\u3a6Fk
A continuidade de \u3a6Fk é importante na Álgebra Linear Numérica. \ufffd
6.4 Aplicações do Cálculo Funcional
Esta seção dará especial atenção ao fluxo eAt e suas principais propriedades.
6.4.1 O Fluxo
Começamos com a definição usual do fluxo eAt. Essa depende da noção de
convergência uniforme e da noção de norma de uma matriz quadrada (veja a Seção
8.8). Essa primeira definição pode ser omitida, se o professor julgar desejável.
i
i
\u201cALinear\u201d \u2014 2005/12/19 \u2014 13:25 \u2014 page 105 \u2014 #121
i
i
i
i
i
i
§6.4 Aplicações do Cálculo Funcional 105
Partimos da função exponencial exp : C \u2192 C, cuja representação em série de
potências
exp(z\u3c4) = ez\u3c4 = 1 +
\u221e\u2211
n=1
zn\u3c4n
n!
,
converge uniformemente em conjuntos compactos. Se \u2016A\u2016 denotar a norma usual
no espaço L(Cn,Cn) das transformações lineares A : Cn \u2192 Cn, afirmamos que
I +
\u221e\u2211
n=1
An\u3c4n
n!
define um operador linear. De fato, a norma em L(Cn,Cn) tem a propriedade
\u2016AB\u2016 \u2264 \u2016A\u2016 \u2016B\u2016,
seguindo-se daí que \u2016Ai\u2016 \u2264 \u2016A\u2016i. Assim, para k \u2208 N, decorre que\u2225\u2225\u2225\u2225\u2225I +
k\u2211
n=1
An\u3c4n
n!
\u2225\u2225\u2225\u2225\u2225 \u2264 1 +
k\u2211
n=1
\u2016A\u2016n|\u3c4 |n
n!
. (6.5)
Para cada valor de \u3c4 fixo, a série à direita converge. Como o espaço L(Cn,Cn) é
completo, o M -teste de Weierstraß implica que
exp(A\u3c4) = eA\u3c4 := I +
\u221e\u2211
n=1
An\u3c4n
n!
é um operador linear. Tomando \u3c4 = t \u2208 R, definimos o fluxo eAt da matriz A.
Também notamos que (6.5) mostra que a convergência é uniforme, se \u3c4 pertencer a
um conjunto compacto. Logo, diferenciação termo a termo produz sua derivada e
d
dt
eAt = eAtA.
Além disso, quando t = 0, temos
eAt
\u2223\u2223
t=0
= e0 = I.
Essas são as propriedades principais do fluxo eAt. Em particular, vemos que eAt é
uma solução fundamental do sistema matricial X \u2032 = AX , X(0) = I .
i
i
\u201cALinear\u201d \u2014 2005/12/19 \u2014 13:25 \u2014 page 106 \u2014 #122
i
i
i
i
i
i
106 O Cálculo Funcional Cap. 6
Essa definição do fluxo eAt torna difícil o seu cálculo explícito: usualmente é
necessário obter a forma canônica de Jordan J = P\u22121AP da matriz A, então eJt
(veja o Apêndice B) e, finalmente, eAt = PeJtP\u22121. O cálculo funcional torna
possível obter eAt facilmente.
Apresentamos agora uma forma alternativa de introduzir o fluxo, sem apelar
para sua definição por meio de séries de potências. Seja A uma matriz quadrada.
Consideremos a função f : C \u2192 C (dependente do parâmetro real t) definida por
f(z) = ezt. Ela define a função de matriz eAt.
Exemplo 6.12 Seja
A =
\uf8eb\uf8ed 1 0 00 2 \u22125
0 1 \u22122
\uf8f6\uf8f8 .
Queremos calcular eAt. O polinômio característico de A (e também o seu polinômio
mínimo) é
p(z) = (z \u2212 1)(z + i)(z \u2212 i).
(Estamos considerando A como uma matriz no corpo C. Como mostraremos a
seguir, a utilização de raízes complexas é vantajosa.)
Para obtermos eAt, definimos a função f(z) = ezt. Basta, então, encontrar um
polinômio, de grau no máximo igual a 2, tal que r(1) = f(1) = et, r(i) = f(i) =
cos t + i sen t e r(\u2212i) = f(\u2212i) = cos t \u2212 i sen t. Substituindo essas relações no
polinômio r(z) = az2 + bz + c, achamos a = (et/2)\u2212 (cos t+ sen t)/2, b = sen t
e c = (et/2) + (cos t\u2212 sen t)/2. Assim,
eAt =
[
et
2
\u2212 cos t+ sen t
2
]
A2 + (sen t)A+
[
et
2
+
cos t\u2212 sen t
2
]
I,
que é, para cada t, uma matriz real (como não poderia deixar de ser), embora
tenhamos considerado a matriz A como uma matriz complexa. \ufffd
Exemplo 6.13 Seja
A =
\uf8eb\uf8ed 3 \u22124 \u22121\u22123 5 1
21 \u221232 \u22127
\uf8f6\uf8f8 .
O polinômio característico de A é
p(z) = (z \u2212 1)z2.
i
i
\u201cALinear\u201d \u2014 2005/12/19 \u2014 13:25 \u2014 page 107 \u2014 #123
i
i
i
i
i
i
§6.4 Aplicações do Cálculo Funcional 107
Para calcularmos eAt, obtemos os coeficientes de r(z) = az2 + bz + c de modo que
sejam satisfeitas as relações r(1) = e1t = et, r(0) = e0t = 1 e r\u2032(0) = te0t = t.
Assim, c = 1, b = t e a = et \u2212 t\u2212 1. Concluímos que
eAt = (et \u2212 t\u2212 1)A2 + tA+ 1I.
\ufffd
Para obtermos algumas propriedades do fluxo, definimos:
Definição 6.14 Seja I \u2282 R um intervalo fechado não-degenerado (isto é, I não se
reduz a um ponto). Uma aplicação contínua x : I \u2192 Kn é chamada de caminho.
O caminho x é diferenciável, se existir o vetor velocidade
x\u2032(t) = lim
h\u21920
x(t+ h)\u2212 x(t)
h
\u2208 Kn.
(Se t for um ponto de fronteira, o limite é o respectivo limite lateral. Também
chamamos o vetor velocidade de derivada de x(t)).
Em outras palavras, se x(t) = (x1(t), . . . , xn(t)) \u2208 Kn, então
x\u2032(t) = (x\u20321(t), . . . , x
\u2032
n(t)).
Identificando Mm×n(K) com Kmn, a mesma noção faz sentido para caminhos
que tomam valores no espaço Mm×n(K). Assim, se A(t) denotar um caminho em
Mm×n(K), sua derivada é obtida ao se derivar cada uma das entradas de A(t).
Também podemos considerar funções \u3c8 : U \u2282 C \u2192 Kn (ou Mm×n(K)) e
definir a derivada \u3c8\u2032(z) de maneira análoga.
Deduzimos imediatamente as seguintes propriedades do fluxo eAt:
(i) eAt
\u2223\u2223
t=0
= I;
(ii) d
dt
eAt = eAtA.
Da fato, a função de matriz eAt pode ser considerada oriunda da função g(z, t) =
ezt. Se fizermos t = 0 nessa função, obtemos g(z, 0) = e0, de onde segue-se (i).
Uma vez que
\u2202
\u2202t
g(z, t) = eztz = g(z, t)z,
o homomorfismo de álgebras 6.3 garante (ii).
i
i
\u201cALinear\u201d \u2014 2005/12/19 \u2014 13:25 \u2014 page 108 \u2014 #124
i
i
i
i
i
i
108 O Cálculo Funcional Cap. 6
Observação 6.15 Embora a função f(z) = ez satisfaça a equação
ez+w = ezew,
não podemos deduzir que eA+B = eAeB, uma vez que a substituição simultânea das
variáveis z por A e w por B não é permitida pelo cálculo funcional. Contudo, se
A e B comutarem, o simples conhecimento de que eA é um polinômio em A nos
permite concluir que eAB = BeA, que é uma parte importante da demonstração de
que eA+B = eAeB se, e somente se, AB = BA (veja o Exercício 13). \ufffd
6.4.2 Funções Trigonométricas
O estudo da subseção anterior permanece válido para o caso da exponencial eiAt
(ou seja, para a função g(z, it), com t \u2208 R, a qual gera as funções trigonométricas
senAt e cosAt. Essas funções também são fáceis de obter por meio do cálculo
funcional.
As mesmas observações também se aplicam a outras funções trigonométricas.
6.4.3 Logaritmo
Dada uma matriz quadrada A, com detA 6= 0, o cálculo funcional permite a
obtenção da matriz B = logA. Apenas temos que escolher um ramo da função
f(z) = log z que contenha o espectro \u3c3(A) e, então, obter B = logA por meio
do polinômio interpolador. Claro, a matriz B depende do ramo escolhido, mas a
relação eB = A segue-se sempre de elog z = z.
Se todos os autovalores da matriz real A forem positivos, podemos então
considerar a função real f(x) = lnx (logaritmo neperiano) e aplicar a mesma
técnica. A matriz B = lnA, assim obtida, é a única solução real da equação
eB = A.
6.4.4 Raiz Quadrada
Suponhamos que todos os autovalores da matriz real A sejam reais e não-
negativos. Adicionalmente, se 0 for um autovalor de A, supomos que ele seja uma
raiz simples do polinômio mínimo m de A. Nesse caso, podemos utilizar a função
f : (0,\u221e)\u2192 R, f(x) = \u221ax para