Algebra e Matrizes   Hamilton[1]
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Algebra e Matrizes Hamilton[1]


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feita por Tomei
diz respeito à tradição brasileira de tratar a Álgebra Linear (justamente uma das
áreas mais aplicadas da matemática) como uma disciplina quase que exclusivamente
teórica. Esse texto não rompe com essa tradição, em parte devido ao propósito de
integrá-lo a um texto de introdução à Análise Funcional, mas também por causa de
minha inexperiência em termos de aplicações da Álgebra Linear. Nesse sentido, a
crítica feita por Tomei só pode ser sanada por ele mesmo ou por outro matemático
que realmente entenda do assunto...
A todos, o meu muito obrigado.
Belo Horizonte, dezembro de 2005
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Sumário
Prefácio ix
Quadro de Dependências xv
1 Base e Dimensão 1
1.1 Espaços Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Somas Diretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Espaço Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Dualidade 15
2.1 O Espaço Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Aplicações Lineares 22
3.1 Aplicações Lineares e Matrizes - parte 1 . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 Multiplicação de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3 Espaço Linha e Espaço Coluna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4 Resolução de Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.5 O Teorema do Núcleo e da Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.6 Aplicações Lineares e Matrizes - parte 2 . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.7 A Transposta de uma Aplicação Linear . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4 Determinantes 55
4.1 Determinantes de Matrizes 2× 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2 Função Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3 Existência de uma Função Determinante . . . . . . . . . . . . . . . 60
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4.4 Unicidade da Função Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.5 Propriedades do Determinante de uma Matriz . . . . . . . . . . . . 67
4.5.1 O Determinante da Matriz Transposta . . . . . . . . . . . . 67
4.5.2 O Determinante do Produto de Matrizes Quadradas . . . . . 68
4.6 A Regra de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.7 Matrizes Semelhantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5 Operadores e Polinômios 78
5.1 Autovetores e Autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.2 Subespaços Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.3 O Polinômio Mínimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.4 O Teorema de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.5 A Complexificação de um Espaço Vetorial . . . . . . . . . . . . . . 87
5.6 Um Homomorfismo de Álgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6 O Cálculo Funcional 96
6.1 O Polinômio Interpolador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.2 Funções de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.3 Estendendo o Homomorfismo de Álgebras . . . . . . . . . . . . . . 103
6.4 Aplicações do Cálculo Funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.4.1 O Fluxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.4.2 Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.4.3 Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.4.4 Raiz Quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.4.5 A Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7 Teoria Espectral 114
7.1 Imagem do Espectro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.2 O Teorema Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.3 Decomposição Primária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.4 Forma Canônica de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.5 Forma de Jordan Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
7.6 Decomposição Racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
7.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
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8 Estrutura Euclidiana 152
8.1 Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
8.2 Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
8.3 Bases Ortonormais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
8.4 Projeções Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
8.5 A Adjunta de uma Aplicação Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
8.6 Isometrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
8.7 Operadores Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
8.8 Norma de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
8.9 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
9 Formas Sesquilineares e Quadráticas 186
9.1 Formas Sesquilineares e Bilineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
9.2 Diagonalização de Formas Quadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . 190
9.3 A Lei da Inércia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
9.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
10 Teoria Espectral Euclidiana 201
10.1 Operadores auto-adjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
10.2 Princípios de Minimax para os Autovalores . . . . . . . . . . . . . 206
10.3 Operadores Normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
10.4 Operadores Normais em Espaços Reais . . . . . . . . . . . . . . . 212
10.5 Valores Singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
10.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
11 Decomposições Matriciais 227
11.1 A Decomposição de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
11.2 A Decomposição de Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
11.3 A Decomposição QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
11.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
Apêndices
A Matrizes Elementares e a Decomposição LU 236
A.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
B Funções de Matrizes: Comparando Definições 242
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C Decomposição Primária 246
D Forma Canônica de Jordan 252
D.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
E Sistemas de Equações Diferenciais Lineares 264
E.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
F Espaços Normados 274
F.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
Lista de símbolos 280
Referências Bibliográficas 283
Índice Remissivo 287
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Quadro de Dependências
Capítulo 1
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\ufffd\ufffd\ufffd
Capítulo 2 - Capítulo 3 -\ufb00 Apêndice A
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Capítulo 4
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Capítulo 5
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
\ufffd\ufffd	 @@R?Apêndice B
Capítulo 6HHY
\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd\ufffd*
Apêndice D Apêndice