Algebra e Matrizes   Hamilton[1]
310 pág.

Algebra e Matrizes Hamilton[1]


DisciplinaÁlgebra Linear I19.337 materiais281.499 seguidores
Pré-visualização50 páginas
associados a essas raízes, então existem vetores
x0, x¯0 de ordem k determinados por bases de Jordan desses blocos, tais que x0+ x¯0
é um vetor real de ordem 2k, responsável pelo bloco de Frobenius\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
0 0 0 · · · 0 \u2212a0
1 0 0 · · · 0 \u2212a1
0 1 0 · · · 0 \u2212a2
0 0 1
.
.
. 0 \u2212a3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 0 · · · 1 \u2212a2k\u22121
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8
.
Demonstração: SejaW o subespaço de dimensão k, invariante por TC associado ao
autovalor complexo \u3bb. De acordo com o Lema 7.27, existe um vetor x0, de ordem
k, que gera W .
Sabemos que está relacionado ao subespaço W um subespaço invariante W\u2dc de
TC, cujos elementos são os conjugados dos elementos de W . Isso implica que x0 é
um vetor de ordem k que gera o espaço W\u2dc .
i
i
\u201cALinear\u201d \u2014 2005/12/19 \u2014 13:25 \u2014 page 143 \u2014 #159
i
i
i
i
i
i
§7.6 Decomposição Racional 143
Os polinômios mínimos m\u3bb(t) e m\u3bb¯(t) de W e W\u2dc são, respectivamente, (t\u2212\u3bb)k
e (t \u2212 \u3bb¯)k. Como esses polinômios são primos entre si, podemos aplicar o Lema
7.28 e concluir que x0+x0 tem T -anulador (t\u2212\u3bb)k(t\u2212\u3bb¯)k = [(t\u2212\u3bb)(t\u2212\u3bb¯)]k, que é
um polinômio real de grau 2k. A matriz de Frobenius dada é a matriz companheira
desse polinômio. Note que x0 + x0 é um vetor real, pois x0 é o conjugado do vetor
x0. 2
Demonstração do Teorema 7.26: Faremos indução sobre a dimensão n do espaço
X , incluindo a unicidade da decomposição. O caso n = 1 é trivial.
Suponhamos o resultado válido para qualquer operador T : Y \u2192 Y definido
num espaço Y de dimensão menor do que ou igual a k. Consideremos um espaço
X de dimensão k+1. Seja m o polinômio mínimo de T . Para cada fator irredutível
(t \u2212 \u3bb)\u2113 do polinômio mínimo está associado ao menos um bloco de Jordan de
tamanho \u2113× \u2113. Se conhecermos a base responsável por esse bloco, tomamos o vetor
x de ordem \u2113, de acordo com Lema 7.27. Se \u3bb for uma raiz complexa, tomamos
também o vetor x, que estará associado ao fator irredutível (t\u2212 \u3bb¯)\u2113.
Assim, se x1, . . . , xj forem os vetores assim escolhidos (associados às raízes do
polinômio mínimo), tome x0 = x1 + . . . + xj . Esse vetor é responsável pelo bloco
de Frobenius associado ao polinômio mínimo de T , de acordo com o Lema 7.28.
Note que, se X for um espaço real, a aplicação do Lema 7.29 garante que x0 será
um vetor real.
Consideremos então os blocos restantes na forma de Jordan de T . Eles geram
um espaço invariante W \u2032, que é a soma direta dos espaços invariantes gerados por
esses blocos. Aplicamos então a hipótese de indução ao operador T : W \u2032 \u2192 W \u2032 e
obtemos a (única) decomposição cíclica desse operador.
Note que o polinômio mínimo de T |W \u2032 divide o polinômio mínimo de T . Como,
por indução, essa hipótese também é satisfeita para a decomposição de T |W \u2032, a
prova está completa. 2
Note que, apesar de a demonstração do Teorema 7.26 ter sido feita por indução,
o processo descrito é construtivo e nos fornece a base na qual T : X \u2192 X assume
sua decomposição racional. Mostraremos isso nos próximos exemplos.
Exemplo 7.30 Elucidaremos aqui o processo construtivo da decomposição racional
de uma matriz à partir de sua forma de Jordan. Para isso, consideremos um operador
T : R11 \u2192 R11, cuja representação de sua complexificação numa base B assume a
i
i
\u201cALinear\u201d \u2014 2005/12/19 \u2014 13:25 \u2014 page 144 \u2014 #160
i
i
i
i
i
i
144 Teoria Espectral Cap. 7
forma de Jordan dada por
A =
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\u3bb1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 \u3bb1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 \u3bb1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 \u3bb¯1 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 \u3bb¯1 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 \u3bb¯1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 \u3bb2 1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 \u3bb2 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 \u3bb2 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 \u3bb2 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 \u3bb2
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8
.
Aqui, \u3bb1 e \u3bb¯1 são autovalores conjugados de TC, enquanto \u3bb2 \u2208 R (justifique!).
Os polinômios característico e mínimo de A são obtidos imediatamente:
p(t) = (t\u2212 \u3bb1)3(t\u2212 \u3bb¯1)3(t\u2212 \u3bb2)5 e m(t) = (t\u2212 \u3bb1)3(t\u2212 \u3bb¯1)3(t\u2212 \u3bb2)2.
O bloco de Frobenius associado ao polinômio mínimo é um bloco 8 × 8, que
tem como base
{x0, Ax0, . . . , A7x0},
em que o vetor x0 é obtido como soma de três vetores: o terceiro, o sexto e o oitavo
(ou então o décimo) vetores da base B. Note que o terceiro e o sexto vetores serão
vetores conjugados, de modo que o vetor x0 será um vetor real.
O segundo bloco de Frobenius é obtido ao se considerar os polinômios
característico e mínimo dos blocos restantes:
p1(t) = (t\u2212 \u3bb2)3 e m1(t) = (t\u2212 \u3bb2)2.
Assim, o segundo bloco de Frobenius será um bloco 2× 2 e terá como base
{x1, Ax1},
em que x1 é o décimo (respectivamente, o oitavo) vetor da base B. Finalmente,
existirá um terceiro bloco de Frobenius, relativo ao polinômio
p2(t) = (t\u2212 \u3bb2) = m2(t),
o qual será gerado pelo décimo primeiro vetor da base B. \ufffd
i
i
\u201cALinear\u201d \u2014 2005/12/19 \u2014 13:25 \u2014 page 145 \u2014 #161
i
i
i
i
i
i
§7.6 Decomposição Racional 145
Exemplo 7.31 Consideremos a matriz
A =
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
2 0 0 0 0 0
1 2 0 0 0 0
\u22121 0 2 0 0 0
0 1 0 2 0 0
1 1 1 1 2 0
0 0 0 0 1 \u22121
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8 ,
que já foi estudada no Exemplo 7.19. Nesse caso, os polinômios característico e
mínimo de A são
p(t) = (t+ 1)(t\u2212 2)5 e m(t) = (t+ 1)(t\u2212 2)4,
respectivamente. A decomposição racional de A é dada por\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
0 0 0 0 \u221216
1 0 0 0 16
0 1 0 0 8
0 0 1 0 \u221216
0 0 0 1 7
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8
0
0
0
0
0
0 0 0 0 0 (2)
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8 .
Para obtermos uma base C na qual A assume sua decomposição racional,
partimos da base B obtida no Exemplo 7.19. Se J denotar a forma de Jordan de
A, mostramos naquele exemplo que J = P\u22121AP , em que
P =
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
0 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 \u22121 0 1
0 0 1 0 0 \u22121
0 1 0 1 0 0
1 1
3
\u22121
9
10
27
\u221210
81
0
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8 .
O bloco de Frobenius 5× 5 associado ao polinômio mínimo tem como base
{x0, Ax0, . . . , A4x0},
em que o vetor x0 é a soma da primeira e quinta colunas da matriz P . O bloco de
Frobenius 1× 1 é gerado pela sexta coluna da matriz P . \ufffd
i
i
\u201cALinear\u201d \u2014 2005/12/19 \u2014 13:25 \u2014 page 146 \u2014 #162
i
i
i
i
i
i
146 Teoria Espectral Cap. 7
Exemplo 7.32 Consideremos a matriz real
A =
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
0 2 0 \u22126 2
1 \u22122 0 0 2
1 0 1 \u22123 2
1 \u22122 1 \u22121 2
1 \u22124 3 \u22123 4
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8 .
Calculando os polinômios característico p e mínimo m de A, obtemos
p(t) = (t\u2212 2)(t2 + 2)2 e m(t) = (t\u2212 2)(t2 + 2).
Assim, A é diagonalizável como matriz complexa, mas não como matriz real.
Uma base B na qual A assume sua forma de Jordan é dada por
B =
\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
0
1
1
1
2
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8 ,
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
3
\u221a
2i
2
\u22121+i\u221a2
2
1 + i
\u221a
2
2
0
\u22121\u2212 i
\u221a
2
2
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8 ,
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\u22123\u221a2i
2
\u22121\u2212i\u221a2
2
1\u2212 i
\u221a
2
2
0
\u22121 + i
\u221a
2
2
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8 ,
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
3
\u221a
2i
2
0
1 + i
\u221a
2
4
1
2
\u2212 i
\u221a
2
4
0
\u22123i\u221a2
4
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8
,
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\u22123\u221a2i
2
0
1\u2212 i
\u221a
2
4
1
2
+ i
\u221a
2
4
0
3i
\u221a
2
4
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8fc\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8fd\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8fe
.
Como matriz complexa, podemos escolher como vetores de ordem 1 responsáveis
pelos blocos associados aos autovalores 1, i
\u221a
2 e \u2212i\u221a2 tanto o primeiro, segundo
e terceiro vetores da base B, quanto o primeiro, quarto e quinto vetores da base B.
(Para cada vetor complexo, tomamos o vetor e seu conjugado.)
Se somarmos o primeiro, o segundo e o terceiro vetores de B, obtemos o vetor
x0 =
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
0
0
3
1
0
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8 ,
que é responsável pelo bloco de Frobenius associado ao polinômio mínimo de A.
Nesse caso, o segundo bloco de Frobenius é obtido ao se somar o quarto e quinto
vetores da base B:
x1 =
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
0
0
2
1
0
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8 .
i
i
\u201cALinear\u201d \u2014 2005/12/19 \u2014 13:25 \u2014 page 147 \u2014 #163
i
i
i
i
i
i
§7.7 Exercícios 147
Na base C = {x0, Ax0, A2x0, x1, Ax1} a matriz A assume a sua decomposição
racional: \uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb\uf8ed 0 0 41 0 \u22122
0 1 2
\uf8f6\uf8f8 0 00 0
0 0
0 0 0
0 0 0
(
0 \u22122
1 0
)
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8 .
A primeira submatriz diagonal está ligada ao polinômio