Algebra e Matrizes   Hamilton[1]
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Algebra e Matrizes Hamilton[1]


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mínimo de A. A segunda
submatriz diagonal está ligada ao quociente p
m
. (Note que o polinômio característico
dessa submatriz multiplicado pelo polinômio mínimo m de A produz o polinômio
característico p de A.)
Se tivéssemos escolhido os vetores x0 como a soma do primeiro, quarto e quinto
vetores da base B e x1 como a soma do segundo e terceiro vetores de B, obteríamos
uma outra base na qual A assume sua decomposição racional. \ufffd
7.7 Exercícios
1. Suponha que a matriz A seja diagonalizável. Mostre o Teorema de Cayley-
Hamilton como conseqüência do Teorema da Imagem do Espectro.
2. Seja T : X \u2192 X um operador definido no espaço de dimensão finita X .
Suponha que T k = 0 para algum inteiro k. Obtenha os autovalores de T .
3. Seja
A =
(
1 2
2 1
)
.
Calcule os autovalores de senA.
4. Na demonstração do Teorema Espectral 7.3, reduzimos as vizinhanças Ui \u220b
\u3bbi para mostrar que o único autovalor da aplicação T restrita a Wi é \u3bbi. Essa
redução não é necessária. Justifique.
5. Seja N : X \u2192 X um operador nilpotente, com Nk = 0 e Nk\u22121 6= 0.
Seja x \u2208 X tal que Nkx = 0 mas Nk\u22121x 6= 0. Mostre que os vetores
{x,Nx, . . . , Nk\u22121x} são linearmente independentes. Conclua as inclusões
estritas na equação (7.2):
ker(T\u2212\u3bbiI)( · · ·(ker(T\u2212\u3bbiI)di= ker(T\u2212\u3bbiI)di+1= · · · = ker(T\u2212\u3bbiI)si .
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148 Teoria Espectral Cap. 7
Você percebeu que essas inclusões estritas já haviam sido provadas na
demonstração do Teorema de Jordan 7.17?
6. Seja A uma matriz tal que Ak = 0. Mostre que Bk = 0 para qualquer matriz
B semelhante a A.
7. Seja N uma matriz n× n, com n \u2265 2. Se N for nilpontente, mostre que não
existe uma matriz A tal que A2 = N .
8. Dê exemplos de operadores N,M : X \u2192 X , ambos nilpotentes, tais que
NM e N +M não sejam nilpotentes.
9. Seja A uma matriz diagonalizável e W um subespaço invariante por A.
Mostre que A|W é diagonalizável.
10. (Diagonalização simultânea de operadores) SejamX um espaço vetorial de
dimensão finita n e S, T : X \u2192 X operadores diagonalizáveis. Se ST = TS,
mostre que T e S são simultaneamente diagonalizáveis, isto é, que existe uma
base B de X formada por elementos que são ao mesmo tempo autovetores de
S e T .
11. Se dimX = n, sejam S, T : X \u2192 X sejam operadores diagonalizáveis.
Suponha que ST = TS. Mostre que S + T é diagonalizável. Descreva o
espectro de S + T .
12. Sejam N,M : X \u2192 X operadores nilpotentes, com NM = MN . Mostre
que M +N é nilpotente.
13. O Teorema 7.3 garante a existência de uma decomposição T = D + N ,
com DN = ND, sendo D diagonalizável e N nilpotente. Mostre que as
aplicações lineares D e N são únicas.
14. Sejam X um espaço complexo de dimensão finita e T : X \u2192 X um operador
linear invertível. Mostre que T = DN , com D diagonalizável e N nilpotente.
Mostre também que essa decomposição é única.
15. Seja x \u2208 X arbitrário. Demonstre, por indução, que (T \u2212 \u3bbiI)kx = 0
implica que x \u2208 Wi e obtenha, assim, uma outra demonstração de que
ker(T \u2212 \u3bbiI)di = Wi.
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§7.7 Exercícios 149
16. Encontre a decomposição dada pelo Teorema 7.3 para a matriz
A =
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
1 1 1 1 1
0 1 1 1 1
0 0 1 1 1
0 0 0 2 1
0 0 0 0 2
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8 .
17. Obtenha a decomposição primária do operador T do Exemplo 7.10 utilizando
o cálculo funcional.
18. Seja A \u2208 Mn×n(K) uma matriz tal que A2 = 2A + I. A matriz A é
diagonalizável?
19. Dê uma demonstração direta do Lema 7.15. Mostre, portanto, que a aplicação
A\u2212 \u3bbiI está bem definida e tem as propriedades descritas no lema.
20. Demonstre a Proposição 7.13.
21. Sejam A e B matrizes reais tais que A = P\u22121BP para alguma matriz
complexa P . Mostre que A = Q\u22121BQ para alguma matriz real Q.
22. Obtenha bases B na quais as seguintes matrizes estejam na forma canônica de
Jordan:
(a)
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
2 5 0 0 0
0 2 0 0 0
0 0 \u22121 0 \u22121
0 0 0 \u22121 0
0 0 0 0 \u22121
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8.
(b)
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
1 1 0 0 \u22121 0 4 0
0 1 1 \u22121 \u22121 \u22123 3 \u22124
0 0 1 0 1 1 \u22122 1
0 0 0 1 1 1 \u22124 \u22125
0 0 0 0 1 0 \u22121 \u22125
0 0 0 0 0 1 1 \u22121
0 0 0 0 0 0 1 \u22122
0 0 0 0 0 0 0 3
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8
.
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150 Teoria Espectral Cap. 7
23. Sejam
m(t) = (t\u2212 \u3bb1)d1 . . . (t\u2212 \u3bbr)dr e p(t) = (t\u2212 \u3bb1)s1 . . . (t\u2212 \u3bbr)sr
os polinômios mínimo e característico do operador T : X \u2192 X definido no
espaço complexo X . Mostre que
(a) existe ao menos um bloco di × di associado ao autovalor \u3bbi;
(b) o número de blocos associados ao autovalor \u3bbi é igual à multiplicidade
geométrica de \u3bbi (isto é, à dimensão do auto-espaço X\u3bbi associado ao
autovalor \u3bbi). do autovalor \u3bbi.)
24. A menos de ordenamento dos blocos, determine todas as possíveis formas
canônicas de Jordan para uma matriz complexa
(a) cujo polinômio característico é p(t) = (t\u2212 2)3(t\u2212 5)2;
(b) cujos polinômios mínimo é m(t) = (t \u2212 2)2, sabendo que A é uma
matriz 7× 7;
(c) cujo polinômio característico é p(t) = (t\u2212 3)4(t\u2212 5)4 e cujo polinômio
mínimo é m(t) = (t\u2212 3)2(t\u2212 5)2.
25. Suponha que sejam reais os autovalores de A \u2208 Mn×n(R) e que A2 seja
semelhante a A. Quais são os possíveis autovalores de A?
26. Seja T : X \u2192 X um operador no espaço complexo X . Suponha que T k = I
para algum inteiro positivo k. Mostre que T é diagonalizável.
27. Seja A \u2208Mn×n(C) uma matriz invertível e J a sua forma canônica de Jordan.
Qual é a forma canônica de Jordan de A\u22121?
28. Verifique que a demonstração do Teorema 7.22 garante, em particular, que os
subespaços W\u3bb e W\u3bb¯ associados aos autovalores conjugados \u3bb, \u3bb¯ possuem a
mesma dimensão. Você é capaz de dar uma outra demonstração desse fato?
29. Seja T : X \u2192 X um operador no espaço de dimensão finita X . Mostre que
existe um espaço invariante W \u2282 X com dimW = 1 ou dimW = 2.
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§7.7 Exercícios 151
30. Considere a matriz \uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ed
i 1 0 0
0 i 0 0
0 0 \u2212i 0
0 0 0 \u2212i
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f8 .
Essa matriz é a forma de Jordan de alguma aplicação T : R4 \u2192 R4? E de
uma aplicação S : C4 \u2192 C4?
31. Seja T : R4 \u2192 R4 um operador que tem a forma de Jordan complexa dada
por \uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ed
i 1 0 0
0 i 0 0
0 0 \u2212i 1
0 0 0 \u2212i
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f8 .
Ache a sua forma de Jordan real.
Definição 7.33 Um operador T : X \u2192 X definido no espaço real X é semi-
simples se sua complexificação TC : XC \u2192 XC for diagonalizável.
32. Sejam X um espaço real de dimensão finita e T : X \u2192 X um operador.
Mostre que T = D + N , com D semi-simples e N nilpotente, sendo que
DN = ND.
33. Verifique que, na base C descrita no Exemplo 7.31, a matriz A assume sua
decomposição racional.
34. Verifique que a matriz A do Exemplo 7.32 assume sua forma de Jordan na
base B ali descrita. Verifique também que, na base C daquele exemplo, A
assume sua decomposição racional.
35. Seja que, na base B, a matriz A assume sua forma racional. Obtenha uma
base C na qual A assume a forma de Jordan.
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8
Estrutura Euclidiana
Neste Capítulo estudamos as propriedades básicas de espaços com produto
interno, projeções ortogonais, o Teorema de Representação de Riesz e algumas
propriedades geométricas relacionadas com a adjunta de uma aplicação linear T .
8.1 Produto Interno
Definição 8.1 Seja E um espaço vetorial sobre o corpoK. Um produto interno em
E é uma aplicação \u3008· , ·\u3009 : E × E \u2192 K satisfazendo as seguintes propriedades:
(i) \u3008x, y\u3009 = \u3008y, x\u3009;
(ii) \u3008x+ \u3bby, z\u3009 = \u3008x, z\u3009+ \u3bb\u3008y, z\u3009;
(iii) \u3008x, x\u3009 \u2265 0 e \u3008x, x\u3009 = 0 se, e somente se, x = 0.
Um espaço E com produto interno é euclidiano se tiver dimensão finita.1 Se
E for um espaço vetorial sobre os complexos, E e o produto interno também
são chamados, respectivamente, de espaço hermitiano ou unitário e produto
hermitiano.
Exemplo 8.2 Se E = Rn,