Algebra e Matrizes   Hamilton[1]
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Algebra e Matrizes Hamilton[1]


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de uma Aplicação Linear
Fixado y \u2208 E, a aplicação x 7\u2192 \u3008x, y\u3009 é uma aplicação linear. Reciprocamente,
temos o importante
Teorema 8.22 (de Representação de Riesz)
Todo funcional linear \u2113 : E \u2192 K num espaço euclidiano E pode ser escrito
como um produto interno. Mais precisamente, existe um único y \u2208 E tal que
\u2113(x) = \u3008x, y\u3009 \u2200 x \u2208 E.
Se você tiver lido o Capítulo 2, compare o enunciado anterior com o Teorema
2.4. Existe uma generalização desse resultado para certos espaços com produto
interno de dimensão infinita (os espaços de Hilbert), se supusermos \u2113 contínua.4
Veja, contudo, o Exercício 15.
Demonstração: Considere uma base ortonormal x1, . . . , xn \u2208 E. Se x \u2208 E, então
\u3008x, x1\u3009x1 + . . .+ \u3008x, xn\u3009xn e
\u2113(x) = \u3008x, x1\u3009 \u2113(x1) + . . .+ \u3008x, xn\u3009 \u2113(xn)
=
\u2329
x, \u2113(x1)x1
\u232a
+ . . .+
\u2329
x, \u2113(xn)xn
\u232a
=
\u2329
x, \u2113(x1)x1 + . . .+ \u2113(xn)xn
\u232a
.
Defina y = \u2113(x1)x1 + . . .+ \u2113(xn)xn. Como {x1, . . . , xn} é uma base, y é único. 2
3Na Estatística, os pesos geralmente satisfazem pi = 1/\u3c32i , em que \u3c3i é a variância. Assim,
menor é o peso do dado se a variância é maior.
4Sim! Em espaços de dimensão infinita aplicações lineares não são necessariamente contínuas.
Veja o apêndice F.
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§8.5 A Adjunta de uma Aplicação Linear 163
Corolário 8.23 Se E for um espaço euclidiano real, a aplicação \u2113 7\u2192 y é um
isomorfismo entre E \u2032 = {\u2113 : E \u2192 R} e E.
Em outras palavras, se E for um espaço euclidiano real, existe um isomorfismo
canônico entre E e E \u2032. (O espaço E \u2032 não tem, nesse contexto, qualquer produto
interno.)
O Teorema de Representação de Riesz tem muitas aplicações importantes (veja,
por exemplo, [6]). Utilizaremos esse resultado para mostrar a existência da adjunta
de uma aplicação linear.
Definição 8.24 Sejam E,F espaços com produto interno e T : E \u2192 F uma
aplicação (não necessariamente linear). Uma aplicação T \u2217 : F \u2192 E é adjunta de
T , se satisfizer
\u3008Tx, y\u3009 = \u3008x, T \u2217y\u3009 \u2200 x \u2208 E, y \u2208 F.
Lema 8.25 Sejam E,F espaços com produto interno e T : E \u2192 F uma aplicação
linear. Se existir a adjunta de T , então ela é única. Além disso, T \u2217 é linear.
Demonstração: Sejam y, z \u2208 F e \u3bb \u2208 K. Então,\u2329
x, T \u2217(y + \u3bbz)
\u232a
= \u3008Tx, y + \u3bbz\u3009 = \u3008Tx, y\u3009+ \u3bb¯\u3008Tx, z\u3009 = \u3008x, T \u2217y\u3009+ \u3008x, \u3bbT \u2217z\u3009.
Assim, \u2329
x, T \u2217(y + \u3bbz)\u2212 T \u2217y \u2212 \u3bbT \u2217z\u232a = 0.
Escolhendo x = T \u2217(y + \u3bbz) \u2212 T \u2217y \u2212 \u3bbT \u2217z, concluímos a linearidade de T \u2217. O
mesmo argumento prova sua unicidade. 2
Proposição 8.26 Sejam E,F espaços euclidianos. Então existe a adjunta de uma
aplicação linear T : E \u2192 F .
Demonstração: Para todo y \u2208 F fixo, a aplicação x 7\u2192 \u3008Tx, y\u3009 pertence ao dual
E \u2032 = {\u2113 : E \u2192 K | \u2113 é linear}. O Teorema de Representação de Riesz garante,
então, que existe um único w \u2208 E (dependendo de y \u2208 F ) tal que
\u3008Tx, y\u3009 = \u3008x,w\u3009
para todo x \u2208 E. Defina T \u2217y = w. Está assim definida, para cada y \u2208 F , uma
aplicação T \u2217 : F \u2192 E.
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164 Estrutura Euclidiana Cap. 8
A linearidade de T \u2217, bem como sua unicidade, foram demonstradas no Lema
8.25. 2
Em espaços de dimensão infinita E,F nem sempre existe a adjunta de uma
aplicação T : E \u2192 F (veja os Exercícios 17 e 18).
Exemplo 8.27 Seja T : R2 \u2192 R2 dada por T (x, y) = (ax+ by, cx + dy), com R2
considerado com o produto interno canônico. A base canônica é, então, ortonormal
e a representação de T nessa base é a matriz
TE =
(
a b
c d
)
.
Logo, \u2329
T (x1, y1), (x2, y2)
\u232a
= (ax1 + by1)x2 + (cx1 + dy1)y2
= (ax2 + cy2)x1 + (bx2 + dy2)y1
=
\u2329
(x1, y1), (ax2 + cy2, bx2 + dy2)
\u232a
,
de onde concluímos que
[T \u2217]E =
(
a c
b d
)
= (TE)t.
Se a, b, c, d \u2208 C, considerando C2 com o produto interno canônico e T : C2 \u2192
C2 dada por
T (x, y) = (ax+ by, cx+ dy),
então a representação de sua adjunta com relação à base canônica seria a conjugada
da transposta da representação de T com relação à base canônica (verifique!). \ufffd
Observação 8.28 O Exercício 20 generaliza o Exemplo 8.27. Note que, se C for
uma base arbitrária de E e T : E \u2192 E uma aplicação linear, a relação entre [T ]C
e [T \u2217]C é bem mais complicada do que a apresentada no exemplo anterior. Veja
também o Exercício 27. \ufffd
Exemplo 8.29 (O problema dos quadrados mínimos - 2a. parte)
Seja A \u2208 Mm×n(R). Como vimos no Exemplo 8.20, uma solução do problema
dos quadrados mínimos é obtida ao se resolver a equação (8.3):
\u3008b\u2212 Ax\u2c6,Ay\u3009 = 0 \u2200 y \u2208 Rn.
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§8.5 A Adjunta de uma Aplicação Linear 165
Ora,
\u3008b\u2212 Ax\u2c6,Ay\u3009 = 0 \u2200 y \u2208 Rn \u21d4 AtAx\u2c6 = Atb.
A equação AtAx\u2c6 = Atb é conhecida como equação normal para o problema
dos quadrados mínimos e nos fornece a solução desse problema. Veja também o
Exemplo 11.8. \ufffd
Proposição 8.30 SejamE,F,G espaços euclidianos e T, S : E \u2192 F eR : F \u2192 G
aplicações lineares e \u3bb \u2208 K. Então vale:
(i) I\u2217 = I;
(ii) (T + S)\u2217 = T \u2217 + S\u2217;
(iii) (\u3bbT )\u2217 = \u3bb¯T \u2217;
(iv) (RT )\u2217 = T \u2217R\u2217;
(v) (T \u2217)\u2217 = T ;
(vi) se F = E e T ou T \u2217 for invertível, então (T\u22121)\u2217 = (T \u2217)\u22121.
Demonstração: As provas dos resultados afirmados são muito semelhantes.
Faremos apenas algumas delas.
(ii) \u3008x, (S+T )\u2217y\u3009 = \u3008(S+T )x, y\u3009 = \u3008Sx, y\u3009+\u3008Tx, y\u3009 = \u3008x, S\u2217y\u3009+\u3008x, T \u2217y\u3009 =
\u3008x, (S\u2217 + T \u2217)y\u3009. A unicidade da adjunta garante então que (S + T )\u2217 = S\u2217 + T \u2217.
(v) \u3008x, T \u2217\u2217y\u3009 = \u3008T \u2217x, y\u3009 = \u3008y, T \u2217x\u3009 = \u3008Ty, x\u3009 = \u3008x, Ty\u3009. De novo, a
unicidade da adjunta garante o afirmado.
Suponhamos que exista T\u22121. Então, tomando a adjunta em TT\u22121 = I = T\u22121T
e, aplicando (v), obtemos (T\u22121)\u2217T \u2217 = I = T \u2217(T\u22121)\u2217. O caso em que existe (T \u2217)\u22121
é análogo. 2
Proposição 8.31 Seja W um subespaço invariante pelo operador T : X \u2192 X .
Então W\u22a5 é invariante por T \u2217.
Demonstração: Sejam x \u2208 W e y \u2208 W\u22a5. Então 0 = \u3008Tx, y\u3009 = \u3008x, T \u2217y\u3009. Assim,
T \u2217y é perpendicular a x para todo x \u2208W . Isso quer dizer que T \u2217y \u2208W\u22a5. 2
A demonstração simples do próximo resultado está em oposição à sua
importância...
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166 Estrutura Euclidiana Cap. 8
Teorema 8.32 Sejam E,F espaços euclidianos e T : E \u2192 F uma aplicação
linear. Então vale:
(i) kerT \u2217 = (imT )\u22a5;
(ii) kerT = (imT \u2217)\u22a5;
(iii) imT \u2217 = (kerT )\u22a5;
(iv) imT = (kerT \u2217)\u22a5;
(v) posto T = posto T \u2217.
Em particular, vale a decomposição ortogonal5
E = kerT \u2217 \u2295 imT.
\ufffd
\ufffd
\ufffd
\ufffd
\ufffd
\ufffd
\ufffd
\ufffd
\ufffd
\ufffd
\ufffd
\ufffd\ufffd
\ufffd
\ufffd
\ufffd
\ufffd
\ufffd
\ufffd
\ufffd
\ufffd
\ufffd
\ufffd
\ufffd
\ufffd\ufffd
E
·
kerT
imT \u2217
-
T
\ufb00
T \u2217
\ufffd
\ufffd
\ufffd
\ufffd
\ufffd
\ufffd
\ufffd
\ufffd
\ufffd
\ufffd
\ufffd
\ufffd\ufffd
\ufffd
\ufffd
\ufffd
\ufffd
\ufffd
\ufffd
\ufffd
\ufffd
\ufffd
\ufffd
\ufffd
\ufffd\ufffd
F
·
kerT \u2217
imT
Figura 8.3:
As aplicações T e T \u2217 decompõem ortogonalmente os espaços E e F .
Demonstração: Também nesse caso as demonstrações são muito semelhantes. A
afirmação (i) mostra-se assim:
y \u2208 kerT \u2217 \u21d4 T \u2217y = 0 \u21d4 \u3008x, T \u2217y\u3009 = 0 \u2200 x \u2208 E
\u21d4 \u3008Tx, y\u3009 = 0 \u2200 x \u2208 E \u21d4 y \u22a5 imT.
5Observe que, em E = kerT \u2217 \u2295 imT , a notação \u2295 é insatisfatória, uma vez que a
ortogonalidade entre os subespaços kerT \u2217 e imT é informação primordial da afirmação. Assim,
vamos salientar a ortogonalidade dos espaços envolvidos em uma soma direta dizendo que ela é
ortogonal.
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§8.5 A Adjunta de uma Aplicação Linear 167
Do mesmo modo mostra-se (ii). As relações (iii) e (iv) são obtidas passando-se ao
complementar ortogonal.
Finalmente, temos
posto T \u2217 = dim(imT \u2217) = dim(kerT )\u22a5 = dimE \u2212 dim(kerT ) = dim(imT )
= posto T,
mostrando (v). 2
Observação 8.33 Compare (iv) com a opção (b) do Exercício 22 do Capítulo 3. \ufffd
Exemplo 8.34 Seja A \u2208 Mm×n(K) uma matriz. Consideremos o sistema linear
não-homogêneo Ax = b. Suponhamos que xp seja uma solução desse sistema. Já
vimos que todas as soluções de Ax = b são da forma xp + z, em que z \u2208 kerA
(veja o Exemplo 3.19).
Agora, exploremos o vínculo entre as