Algebra e Matrizes   Hamilton[1]
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Algebra e Matrizes Hamilton[1]


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soluções de Ax = b e as de Ax = 0. Se
kerA = {0}, então existe A\u22121 e x = A\u22121b é a única solução de Ax = b.
Se kerA tiver dimensão k, existem k soluções linearmente independentes
x1, . . . , xk de Ax = 0. Se Ax = b tiver solução xp, então todas as suas soluções
serão xp+\u3b11x1+. . .+\u3b1kxk. MasAx = b pode não ter solução: basta que b 6\u2208 imA.
Considerada a decomposição ortogonal
Kn = kerA\u2217 \u2295 imA,
vemos que Ax = b tem solução se, e somente se, b \u2208 (kerA\u2217)\u22a5 = imA. \ufffd
O Exemplo 8.34 sugere uma relação entre kerA e kerA\u2217. Vamos explicitar essa
relação:
Corolário 8.35 (Alternativa de Fredholm)
Seja T : E \u2192 E um operador definido no espaço euclidiano E. Consideremos
as seguintes equações:
Tx = y, T \u2217u = v (8.4)
e
Tx = 0, T \u2217u = 0. (8.5)
Então
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168 Estrutura Euclidiana Cap. 8
(i) ou ambas as equações em (8.4) têm solução para quaisquer x, y \u2208 E e
u, v \u2208 E (Claro que então ambas as equações em (8.5) possuem apenas
a solução trivial.)
(ii) ou as equações em (8.4) possuem exatamente o mesmo número de soluções
linearmente independentes. Se x \u2208 kerT e u \u2208 kerT \u2217, então \u3008u, y\u3009 = 0 e
\u3008x, v\u3009 = 0.
Demonstração: Suponhamos que Tx = y tenha solução para qualquer x, y \u2208 E.
Isso que dizer que imT = E = ker(T \u2217)\u22a5 e, portanto, kerT \u2217 = {0}.
Do Teorema 8.32 (v) segue-se que dim(kerT ) = dim(kerT \u2217). O item (iv) nos
mostra que se y \u2208 imT , então \u3008u, y\u3009 = 0; e o item (iii) garante que \u3008x, v\u3009 = 0. 2
8.6 Isometrias
Definição 8.36 Sejam E,F espaços euclidianos e M : E \u2192 F uma aplicação
(não necessariamente linear). A aplicação M é uma isometria se, para quaisquer
x, y \u2208 E, tivermos
\u2016Mx\u2212My\u2016 = \u2016x\u2212 y\u2016. (8.6)
Decorre imediatamente da definição que a composta de duas isometrias é uma
isometria.
Um exemplo elementar de isometria é uma translação:
Tx = x+ a
para a \u2208 E fixo.
Dada uma isometria, podemos compô-la com uma translação e produzir assim
uma isometria que preserva a origem (isto é, leva 0 \u2208 E em 0 \u2208 F ). Recipro-
camente, toda isometria é a composta de uma isometria que preserva a origem com
uma translação.
Teorema 8.37 Sejam E,F espaços euclidianos e M : E \u2192 F uma isometria, com
M(0) = 0. Então
M(x+ y) = Mx+My.
Se E,F forem espaços reais, então M é linear.
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§8.6 Isometrias 169
Demonstração: Vamos denotar Mx = x\u2032, My = y\u2032 etc. Por definição vale
\u2016x\u2032 \u2212 y\u2032\u2016 = \u2016x\u2212 y\u2016. (8.7)
Tomando sucessivamente x = 0 e y = 0 em (8.7), obtemos também
\u2016x\u2032\u2016 = \u2016x\u2016, e \u2016y\u2032\u2016 = \u2016y\u2016. (8.8)
Uma vez que
\u3008x\u2032 \u2212 y\u2032, x\u2032 \u2212 y\u2032\u3009 = \u3008x\u2032, x\u2032\u3009 \u2212 \u3008x\u2032, y\u2032\u3009 \u2212 \u3008y\u2032, x\u2032\u3009+ \u3008y\u2032, y\u2032\u3009,
ao elevarmos ao quadrado (8.7) e (8.8), obtemos
\u3008x\u2032, y\u2032\u3009+ \u3008y\u2032, x\u2032\u3009 = \u3008x, y\u3009+ \u3008y, x\u3009. (8.9)
Do mesmo modo,
\u2016z\u2212x\u2212y\u20162 = \u2016z\u20162+\u2016y\u20162+\u2016x\u20162\u2212\u3008z, x\u3009\u2212\u3008x, z\u3009\u2212\u3008z, y\u3009\u2212\u3008y, z\u3009+\u3008x, y\u3009+\u3008y, x\u3009.
Segue-se de (8.7), (8.8) e (8.9) que
\u2016z\u2032 \u2212 x\u2032 \u2212 y\u2032\u20162 = \u2016z \u2212 x\u2212 y\u20162.
Escolhemos então z = x+ y. O lado direito dessa igualdade é, então, nulo. Assim,
temos z\u2032 \u2212 x\u2032 \u2212 y\u2032 = 0. Mas isso mostra que M(x+ y) = Mx+My.
Suponhamos agora que E,F sejam espaços reais. Então, (8.9) implica que
\u3008Mx,My\u3009 = \u3008x, y\u3009.
Agora completamos a prova da linearidade de M :
\u3008M(\u3bbx),My\u3009 = \u3008\u3bbx, y\u3009 = \u3bb\u3008x, y\u3009 = \u3bb\u3008Mx,My\u3009 = \u3008\u3bbMx,My\u3009.
Por conseguinte,
\u3008M(\u3bbx)\u2212 \u3bbMx,My\u3009 = 0.
Escolhendo sucessivamente y = \u3bbx e y = x, obtemos
\u3008M(\u3bbx)\u2212 \u3bbMx,M(\u3bbx)\u3009 = 0
e
\u3008M(\u3bbx)\u2212 \u3bbMx, \u3bbMx\u3009 = \u3bb\u3008M(\u3bbx)\u2212 \u3bbMx,Mx\u3009 = 0.
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170 Estrutura Euclidiana Cap. 8
Logo,
\u3008M(\u3bbx)\u2212 \u3bbMx,M(\u3bbx)\u2212 \u3bbMx\u3009 = 0,
mostrando a linearidade de M no caso real. (Veja o Exercício 38.) 2
Note que uma isometria linear entre espaços euclidianos E e F sempre é uma
aplicação injetora.
Teorema 8.38 Sejam E,F espaços euclidianos e M : E \u2192 F uma aplicação
linear. As seguintes afirmativas são equivalentes:
(i) M é uma isometria;
(ii) M preserva o produto interno: \u3008Mx,My\u3009 = \u3008x, y\u3009;
(iii) M\u2217M = I.
Se dimE = dimF , então essas condições são equivalentes a
(iv) M e M\u2217 são isometrias.
Demonstração: A identidade de polarização (Lema 8.9) adequada ao caso mostra
(i)\u21d2 (ii).
Para quaisquer x, y \u2208 E, vale
\u3008x, y\u3009 = \u3008Mx,My\u3009 = \u3008x,M\u2217My\u3009 \u21d2 \u3008x,M\u2217My \u2212 y\u3009 = 0.
Escolhendo x = M\u2217My \u2212 y, vemos que (ii)\u21d2 (iii).
Uma vez que
\u3008x, y\u3009 = \u3008M\u2217Mx, y\u3009 = \u3008Mx,My\u3009,
temos que (iii)\u21d2 (i).
Se dimE = dimF , de M\u2217M = I decorre que M\u22121 = M\u2217 e, portanto,
MM\u2217 = I. Como \u2016x\u20162 = \u3008x,MM\u2217x\u3009 = \u3008M\u2217x,M\u2217x\u3009 = \u2016M\u2217x\u20162, temos que
M\u2217 é uma isometria. O mesmo cálculo com M\u2217M ao invés de MM\u2217 garante que
M também é uma isometria. Assim, (iii)\u21d2 (iv).
É óbvio que (iv)\u21d2 (i). 2
Como uma isometria preserva a ortogonalidade, temos imediatamente:
Corolário 8.39 Sejam E,F espaços euclidianos e M : E \u2192 F uma isometria.
Então M transforma conjuntos ortogonais de E em conjuntos ortogonais de F .
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§8.7 Operadores Lineares 171
Proposição 8.40 Sejam E,F espaços euclidianos de mesma dimensão e M : E \u2192
F uma isometria linear. Se esses espaços forem reais, então detM = ±1. No caso
complexo, | detM | = 1.
Demonstração: No caso real, como M\u2217 = M t e detM t = detM , a igualdade
M\u2217M = I garante que (detM)2 = 1 e, portanto, detM = ±1. No caso complexo,
M\u2217 = M t. Decorre daí que detM\u2217 = detM t = detM = detM . Assim,
detMdetM = 1, provando o afirmado. 2
O significado geométrico da Proposição 8.40 é que uma aplicação que preserva
normas também preserva volumes. Veja o Exercício 53.
8.7 Operadores Lineares
Nosso objetivo nesta seção é iniciar o estudo de operadores lineares T : E \u2192 E,
em que E é um espaço euclidiano.
Definição 8.41 Sejam E um espaço euclidiano e T : E \u2192 E um operador linear.
Dizemos que
(i) T é unitário, se T \u2217T = TT \u2217 = I;
(ii) T é auto-adjunto, se T \u2217 = T ;
(iii) T é antiauto-adjunto, se T \u2217 = \u2212T ;
(iv) T é normal, se T \u2217T = TT \u2217.
A mesma denominação é utilizada para as matrizes que representam tais
operadores com relação a uma base ortogonal.
Operadores unitários também são chamados de ortogonais (especialmente se E
for um espaço real), enquanto operadores auto-adjuntos também são chamados de
hermitianos ou simétricos, essas denominações sendo empregadas para diferenciar
operadores auto-adjuntos em espaços complexos e reais, respectivamente.
Por esse motivo, as denominações anti-hermitiano (no caso complexo) e anti-
simétrico (no caso real) são também utilizadas para um operador antiauto-adjunto.
Operadores auto-adjuntos, antiauto-adjuntos e unitários são sempre normais, como
podemos verificar facilmente.
Como vimos na seção anterior, se o operador M : E \u2192 E for uma isometria,
então M\u2217 = M\u22121 e M é unitário.
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172 Estrutura Euclidiana Cap. 8
Proposição 8.42 Seja T : E \u2192 E um operador definido no espaço complexo com
produto interno E. Então
\u3008Tx, x\u3009 = 0 \u2200 x \u2208 E \u21d4 T = 0.
Demonstração: Escolhendo x = u + v, a relação \u3008Tx, x\u3009 = 0 nos mostra
que \u3008Tv, u\u3009 + \u3008Tu, v\u3009 = 0. Mas, se escolhermos x = u + iv, obtemos
i\u3008Tv, u\u3009 \u2212 i\u3008Tu, v\u3009 = 0. Assim,
\u3008Tv, u\u3009 = \u2212\u3008Tu, v\u3009 = \u2212\u3008Tv, u\u3009.
Assim, \u3008Tv, u\u3009 = 0 para qualquer escolha de u e v, de onde segue-se que T = 0. 2
Proposição 8.43 Seja H : E \u2192 E um operador definido no espaço euclidiano E.
Então vale:
(i) Se H = H\u2217, então \u3008Hx, x\u3009 \u2208 R para todo x \u2208 E;
(ii) Se \u3008Hx, x\u3009 \u2208 R para todo x \u2208 E e E for um espaço complexo, então
H = H\u2217.
Demonstração: Se H = H\u2217, então
\u3008Hx, x\u3009 = \u3008x,Hx\u3009 = \u3008Hx, x\u3009,
mostrando que \u3008Hx, x\u3009 \u2208 R. Reciprocamente, \u3008Hx, x\u3009 = \u3008Hx, x\u3009 = \u3008x,Hx\u3009 =
\u3008H\u2217x, x\u3009 implica \u3008(H \u2212 H\u2217)x, x\u3009 = 0 para todo x \u2208 E. Concluímos H = H\u2217
como conseqüência da Proposição 8.42. 2
A Proposição 8.42 é falsa em espaços reais com produto interno. Consideremos,
por exemplo, T : R2 \u2192 R2 dado por(
0 \u22121
1 0
)
.
Então \u3008Tw,w\u3009 = 0 para todo w \u2208 R2,