Algebra e Matrizes   Hamilton[1]
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Algebra e Matrizes Hamilton[1]


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o polinômio mínimo de T \u2217 é m. Se r for o polinômio interpolador de T com
respeito a uma função f , conclua que o polinômio interpolador de T \u2217 com
respeito a f¯ é r.
42. Seja T : E \u2192 E um operador linear no espaço euclidiano E. Mostre que
nem sempre existe um polinômio p tal que T \u2217 = p(T ).
43. Seja A \u2208 Mn×n(K). Suponha que A\u2217 = \u2212A. Mostre que eA é ortogonal (ou
unitária).
44. Sejam E,F dois espaços com produto interno. Considere a soma direta
E \u2295 F definida no Exercício 37 do Capítulo 1. Mostre que E \u2295 F é um
espaço com produto interno se definirmos\u2329
(x1, y1), (x2, y2)
\u232a
= \u3008x1, x2\u3009+ \u3008y1, y2\u3009.
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§8.9 Exercícios 183
Mostre também que o gráfico de uma aplicação linear T : E \u2192 F é um
subespaço de E \u2295 F .
45. Considere o espaço com produto interno E \u2295 F , tal qual no Exercício 44.
(a) Defina U : E \u2295 F \u2192 F \u2295 E por U(x, y) = (y,\u2212x). Mostre que U\u2217
existe e obtenha sua expressão. Obtenha também U\u2217U e UU\u2217.
(b) Se T : E \u2192 E possuir adjunta T \u2217 : E \u2192 E, qual é a relação entre os
gráficos de T e T \u2217?
46. Considere z = (z1, . . . , zn) \u2208 Kn e defina
\u2016z\u2016\u221e = max
1\u2264i\u2264n
|zi|,
\u2016z\u2016sum = \u2016z1\u2016+ . . .+ \u2016zn\u2016
\u2016z\u2016 = \u221az1z¯1 + . . .+ znz¯n.
Mostre que \u2016 · \u2016\u221e, \u2016 · \u2016sum e \u2016 · \u2016 são normas em Kn. Mostre também que
\u2016z\u2016\u221e \u2264 \u2016z\u2016 \u2264 \u2016z\u2016sum \u2264 n\u2016z\u2016\u221e.
47. Seja A \u2208Mn×n(K). Mostre que \u2016A\u2016 = \u2016A\u2217\u2016 e \u2016A\u2217A\u2016 = \u2016A\u20162.
48. Seja A \u2208Mn×n(K). Se A for normal, mostre que \u2016A2\u2016 = \u2016A\u20162.
49. Considere que E = Kn e resolva os Exercícios 7 e 8 do Apêndice F.
50. Aceite o fato que todo espaço vetorial possui uma base (um resultado que é
demonstrado utilizando-se o lema de Zorn). Mostre então que todo espaço
vetorial possui um produto interno e, portanto, uma norma.
Definição 8.51 Sejam v1, . . . , vr vetores em Kn. O conjunto
x1v1 + . . .+ xrvr com 0 \u2264 xi \u2264 1 \u2200 i = 1, . . . , r
é o paralelepípedo P = P(v1, . . . , vr) gerado por {v1, . . . , vr}. Definimos
indutivamente o volume (r-dimensional) do paralelepípedo por vol(P(v1)) =
\u2016v1\u2016 e, supondo definido o volume do paralelepípedo gerado por k \u2212 1 vetores,
definimos vol (P(v1, . . . , vk)) = \u2016h\u2016 vol(P(v2, . . . , vk)), em que \u2016h\u2016 é a altura
do paralelepípedo, isto é, se w for a projeção de v1 sobre o espaço gerado por
{v2, . . . , vk}, então h = v1 \u2212 w.
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184 Estrutura Euclidiana Cap. 8
51. Dado um conjunto arbitrário {v1, . . . , vk} do espaço euclidiano E de
dimensão n, considere a matriz A, k × n, cujas linhas são as coordenadas
de vi com relação a uma base ortogonal B de E:
A =
\uf8eb\uf8ec\uf8ed [v1]
t
B
.
.
.
[vk]
t
B
\uf8f6\uf8f7\uf8f8 .
(a) Mostre que AA\u2217 é a matriz de Gram G(v1, . . . , vk) = (\u3008vi, vj\u3009);
conclua então que detG(v1, . . . , vk) é diferente de zero se os vetores
v1, . . . , vk forem linearmente independentes e nulo se esses vetores
forem linearmente dependentes;7
(b) mostre que
detG(v1, . . . , vk) = \u2016h\u20162 detG(v2, . . . , vk),
em que v1 = h+w, sendo h ortogonal ao espaço gerado por v2, . . . , vk;
conclua a desigualdade de Hadamard:
0 \u2264 detG \u2264 \u2016v1\u20162 . . . \u2016vk\u20162;
(c) Mostre que
[vol(P(v1, . . . , vk))]2 = detG(v1, . . . , vk).
52. Seja v1, . . . , vn \u2208 Kn vetores linearmente independentes. Conclua que
vol(P(v1, . . . , vn)) = |D(v1, . . . , vn)|,
em que D é a função determinante.
53. Seja T : Kn \u2192 Kn um operador linear e P um paralelepípedo n-
dimensional em Kn. Mostre que T (P) é um paralelepípedo e vol(T (P)) =
| detT | vol(P).
Observação 8.52 Uma vez estabelecida a relação entre determinantes e volumes,
estamos em condições de interpretar o significado geométrico das outras duas
7O item (b) garante que detG(v1, . . . , vk) \u2265 0.
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§8.9 Exercícios 185
operações elementares sobre as linhas de uma matrizA (compare com a Observação
4.4). A multiplicação de uma linha por uma constante positiva cmultiplica o volume
do paralelepípedo formado pelas linhas de A também por c. (Isso é evidente quando
c é inteiro ou mesmo uma fração.) A substituição de uma linha de A por sua
soma com outra linha certamente não altera o determinante de A, pois a altura
do paralelepípedo (gerado pelas linhas de A) não é modificada: a projeção do vetor
altura sobre o espaço gerado pelos demais vetores permanece a mesma. Isto também
pode ser visto de outra maneira: se a linha a ser alterada corresponder a um vetor
vertical (o que podemos obter por uma mudança de base), adicionar a essa uma outra
linha de A corresponde a inclinar o paralelepípedo. Pelo Princípio de Cavalieri, o
volume não se altera.
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Formas Sesquilineares e
Quadráticas
Neste Capítulo estudamos formas sesquilineares e bilineares. Apresentaremos
o Teorema de Lagrange e a Lei da Inércia.
9.1 Formas Sesquilineares e Bilineares
Definição 9.1 Seja X um espaço vetorial. Uma forma sesquilinear em X é uma
função B : X ×X \u2192 K tal que, para quaisquer \u3b1 \u2208 K e x1, x2, y1, y2 \u2208 X ,
(i) B(\u3b1x1 + x2, y1) = \u3b1B(x1, y1) +B(x2, y1):
(ii) B(x1, \u3b1y1 + y2) = \u3b1B(x1, y1) +B(x1, y2).
Se X for um espaço real, é usual dizer que B é uma forma bilinear.
Uma forma sesquilinear é hermitiana, se B(x, y) = B(y, x) para quaisquer
x, y \u2208 X . No caso real, dizemos que a forma bilinear é simétrica. A denominação
auto-adjunta é empregada em ambos os casos. Se B(x, y) = \u2212B(y, x), dizemos
que a forma é antiauto-adjunta.
Ao utilizarmos a denominação forma estaremos nos referindo a uma forma
sesquilinear ou bilinear.
Exemplo 9.2 Em um espaço com produto interno E, \u3008 ·, ·\u3009 é uma forma autoadjun-
ta. \ufffd
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§9.1 Formas Sesquilineares e Bilineares 187
Exemplo 9.3 Seja A \u2208Mn×n(K) uma matriz . Definindo B : Kn ×Kn \u2192 K por
B(x, y) = xtAy = (x1 x2 . . . xn)
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
an1 an2 · · · ann
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
y1
y2
.
.
.
yn
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8 ,
obtemos uma forma em Kn. Mais geralmente, dado um operador T : E \u2192 E no
espaço euclidiano E, B(x, y) = \u3008Tx, y\u3009 = \u3008x, T \u2217y\u3009 define um forma em E. \ufffd
Denotaremos por S(X) o conjunto das formas em X . (No caso real, esse espaço
é usualmente denotado por L2(X).) O espaço S(X) é um espaço vetorial com as
definições usuais de soma de funções e multiplicação de função por escalar (veja o
Exercício 1).
Concentraremos nossa atenção no caso em que X é um espaço euclidiano.
Nesses espaços, formas estão intrinsecamente ligadas a operadores, relação já
sugerida pelo Exemplo 9.3:
Teorema 9.4 Sejam E um espaço euclidiano e B uma forma em E. Então, existe
um único operador linear S : E \u2192 E tal que, para quaisquer x, y \u2208 E,
B(x, y) = \u3008x, S\u2217y\u3009 = \u3008Sx, y\u3009.
A forma B é auto-adjunta (respectivamente, antiauto-adjunta) se, e somente se,
S\u2217 = S (resp., S\u2217 = \u2212S).
Demonstração: Fixado y \u2208 E, a aplicação \u3a8y : E \u2192 K definida por \u3a8y(x) =
B(x, y) é um funcional linear em E. Pelo Teorema de Representação de Riesz 8.22,
existe um único vetor wy \u2208 E tal que B(x, y) = \u3a8y(x) = \u3008x,wy\u3009 para todo x \u2208 E.
Definimos, então, S\u2217 : E \u2192 E por S\u2217y = wy, ou seja, B(x, y) = \u3008x, S\u2217y\u3009.
Afirmamos que S\u2217 é linear. De fato,
\u3008x, S\u2217(\u3b1y1 + y2)\u3009 = B(x, \u3b1y1 + y2) = \u3b1¯B(x, y1) +B(x, y2)
= \u3b1¯\u3008x, S\u2217y1\u3009+ \u3008x, S\u2217y2\u3009 = \u3008x, \u3b1S\u2217y1 + S\u2217y2\u3009.
A unicidade de S\u2217 é clara: se \u3008x, S\u2217y\u3009 = B(x, y) = \u3008x,R\u2217y\u3009, então, para quaisquer
x, y \u2208 E, vale \u3008x, (S\u2217 \u2212R\u2217)y\u3009 = 0, de onde segue-se que S\u2217 = R\u2217.
Para x, y \u2208 E arbitrários, temos
B(x, y) = B(y, x) \u21d4 \u3008Sx, y\u3009 = \u3008Sy, x\u3009 \u21d4 \u3008Sx, y\u3009 = \u3008x, Sy\u3009
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188 Formas Sesquilineares e Quadráticas Cap. 9
e
B(x, y) = \u2212B(y, x) \u21d4 \u3008Sx, y\u3009 = \u2212\u3008Sy, x\u3009