Algebra e Matrizes   Hamilton[1]
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Algebra e Matrizes Hamilton[1]


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z) = 2w2\u2212 (2z \u2212 y)
2
2
\u22123y2+z2\u22124yz = 2w2\u22127
2
y2\u2212z2\u22122yz =: q1(w, y, z).
Separando os termos que envolvem y, repetimos o processo: \u22127y2/2 \u2212 2yz =
\u22127/2(y2 + (4/7)yz). Completando o quadrado, y2 + (4/7)yz = (y + (2/7)z)2 \u2212
(4/49)z2. Fazemos então a mudança de variável v = y + (2/7)z. Assim,
q1(w, y, z) = 2w
2 \u2212 7
2
v2 +
2
7
z2 \u2212 z2 = 2w2 \u2212 7
2
v2 \u2212 5
7
z2 =: q2(w, v, z).
Se quisermos, ainda podemos fazer a mudança de variável r = w/
\u221a
2, s =
(
\u221a
2/
\u221a
7)v e t = (
\u221a
7/
\u221a
5)z, assim obtendo
q3(r, s, t) = r
2 \u2212 s2 \u2212 t2.
Note que todas as mudanças de variável feitas são lineares e invertíveis. \ufffd
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§9.2 Diagonalização de Formas Quadráticas 193
A demonstração dada pode ser adaptada para se provar o Teorema de Lagrange
para formas quadráticas hermitianas (veja o Exercício 13). Apresentaremos, ao
invés, uma demonstração que enfatiza a geometria da situação:
Teorema 9.13 Dada uma forma quadrática hermitiana no espaço euclidiano
complexo E de dimensão n, é possível fazer uma mudança de coordenadas linear
Lx = z de modo que, na nova variável z, a forma quadrática q seja diagonal, isto
é,
q(L\u22121z) = d1z1z1 + . . .+ dnznzn = d1|z1|2 + . . .+ dn|zn|2, (9.4)
em que di \u2208 R para todo i = 1, . . . , n.
Demonstração: Suponhamos que q(x) = \u3008x,Ax\u3009, sendo A uma matriz hermitiana.
Escolha v1 tal que q(v1) = \u3008v1, Av1\u3009 6= 0. (Se q(x) 6\u2261 0, a existência de um tal v1
está garantida pela Proposição 8.42.)
Consideremos agora o conjunto W1, formado por todos os vetores x \u2208 E tais
que \u3008x,Av1\u3009 = 0. Claramente W1 é um subespaço de E. Como Av1 6= 0, temos
então que dimW1 = n \u2212 1. Se q|W1 6= 0, repetimos o processo e obtemos um
vetor v2 tal que \u3008v2, Av2\u3009 6= 0 e definimos o espaço W2 por W2 = \u3008x,Avi\u3009 = 0
para i = 1, 2. Se esse processo puder ser repetido n vezes, obtemos então uma base
{v1, . . . , vn} de E. Caso contrário, após um número r de passagens, teremos obtido
o conjunto linearmente independente {v1, . . . , vr} e encontraremos um subespaço
Wr, com dimensão n \u2212 r > 0, tal que q|Wr \u2261 0. Selecionamos, nesse caso, uma
base {vr+1, . . . , vn} desse subespaço. Claramente {v1, . . . , vn} é uma base de E.
Por construção temos \u3008vi, Avj\u3009 = 0 para i > j. Como A é auto-adjunta, segue-
se daí \u3008Avi, vj\u3009 = 0 = \u3008vj, Avi\u3009 e, portanto, \u3008vi, Avj\u3009 = 0 para j > i. Assim, se
x = z1v1 + . . .+ znvn for um vetor arbitrário,
\u3008x,Ax\u3009 = \u3008z1v1+. . .+znvn, z1v1+. . .+znvn\u3009 = z1z1\u3008v1, Av1\u3009+. . .+znzn\u3008vnAvn\u3009.
Definindo di = \u3008vi, Avi\u3009, obtemos o resultado. 2
Notamos que, por meio da identidade de polarização, podemos expressar o
Teorema de Lagrange como um resultado sobre formas auto-adjuntas. Veja o
Exercício 14.
Teorema 9.14 Dada uma matriz A \u2208Mn×n(K) hermitiana (simétrica), existe uma
matriz M \u2208Mn×n(K) tal que
M\u2217AM = D, (9.5)
sendo D uma matriz diagonal.
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194 Formas Sesquilineares e Quadráticas Cap. 9
Demonstração: Considerada a mudança de variável linear Lx = y que diagonaliza
a forma quadrática hermitiana (simétrica) q(x) = \u3008x,Ax\u3009, seja M = L\u22121. Então
x = My e
q(x) = \u3008x,Ax\u3009 = \u3008My,AMy\u3009 = \u3008y,M\u2217AMy\u3009.
Claramente, q tem a forma (9.4) (ou (9.3), respectivamente) se, e somente se,
M\u2217AM for uma matriz diagonal. Isso prova que os Teoremas 9.11 e 9.14 são
equivalentes. 2
Em muitas aplicações é importante utilizar mudanças de coordenadas tais que
os comprimentos euclidianos da velha variável e da nova sejam o mesmo, isto é,
\u2016v\u20162 = \u2016z\u20162.
Em termos da expressão matricial v = Mz, isso significa que M é uma
isometria. Assim, de acordo com o Teorema 8.38, M deve satisfazer M\u2217M = I.
Um dos resultados mais importantes da Matemática garante que, dada uma
forma quadrática q, é possível diagonalizá-la por meio de uma mudança isométrica
de coordenadas. Em outras palavras, de modo que tanto (9.5) como M\u2217M = I
sejam satisfeitas. Veremos isso no próximo capítulo!
9.3 A Lei da Inércia
Se q for uma forma quadrática hermitiana, notamos que a Proposição 8.43
garante que q(x) \u2208 R para todo x \u2208 E.
Definição 9.15 Dizemos que a forma quadrática hermitiana (simétrica) q é
positiva definida (respectivamente, positiva semidefinida) em um subespaço Y \u2282
E, se q(x) > 0 (resp., q(x) \u2265 0) para todo 0 6= x \u2208 Y . Se Y = E, dizemos apenas
que q é positiva definida (resp., positiva semidefinida).
De maneira análoga, definimos quando q é negativa definida, negativa
semidefinida etc.
Se existirem pontos x, y \u2208 E tais que q(x) > 0 e q(y) < 0, a forma q é
indefinida.
Note que, escolhida uma base ortonormal B para o espaço E, a forma q é
positiva definida se, e somente se, a matriz AB for uma matriz positiva definida,
tal qual definido no Exercício 19 do Capítulo 8. (Veja também o Exercício 20 deste
Capítulo.) Assim, podemos falar de matriz positiva semidefinida, negativa definida
etc.
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§9.3 A Lei da Inércia 195
Teorema 9.16 (Lei da Inércia \u2013 Sylvester)
Independente da escolha da mudança linear de variáveis que diagonaliza uma
forma quadrática simétrica (hermitiana) q, o número de termos positivos, negativos
e nulos entre os coeficientes di é sempre o mesmo.
Demonstração: Suponhamos que por meio da mudança linear de variáveis Lx = z,
a forma quadrática se escreva como
q(L\u22121z) = d1|z1|2 + . . .+ dn|zn|2. (9.6)
Denotamos por p+, p\u2212 e p0 o número de termos positivos, negativos e nulos em
(9.6), respectivamente.
Afirmamos que a dimensão do maior subespaço de Y \u2282 V no qual q é positiva
definida é p+:
p+ = maxdimY, q positiva em Y.
Similarmente, afirmamos que a dimensão do maior subespaço Z \u2282 V no qual q é
negativa-definida é p\u2212:
p\u2212 = maxdimZ, q negativa em Y.
Para mostrarmos as afirmações, reordenamos os termos di de (9.6) de modo que
os p primeiros sejam todos positivos, com p = p+.
q(y) = d1y
2
1 + . . .+ dpy
2
p + dp+1y
2
p+1 + . . .+ dny
2
n. (9.7)
Para y = (y1, . . . , yn) \u2208 V , seja S+ o subespaço dos vetores da forma
(y1, . . . , yp, 0, . . . , 0). Claramente q é positiva em S+. Isso mostra que p+ \u2264
maxdimY , com q positiva em Y . Suponhamos que exista algum subespaço
Y com q positiva em Y e dimY > p. Claramente S+ \u2282 Y . Considere a
aplicação \u3c0 : Y \u2192 S+, \u3c0(y) = \u3c0(y1, . . . , yn) = (y1, . . . , yp, 0, . . . , 0). Como
dimY > dimS+, existe y 6= 0 tal que \u3c0(y) = 0. Mas isso implica que as
primeiras p componentes de y são nulas. Mas então, de acordo com (9.7), q(y) \u2264 0,
contradição. Analogamente se mostra a afirmação sobre p\u2212.
Desse modo garantimos que os números p+, p\u2212 e p0 podem ser definidos em
termos de q, independente das coordenadas que colocam q na forma diagonal. Uma
vez que p+ + p\u2212 + p0 = n, isso completa a demonstração. 2
Observação 9.17 A Lei da Inércia tem uma conseqüência importante: ela implica
que a natureza de um ponto crítico não é alterada, se for feita uma mudança de
variável linear no problema considerado. Assim, um ponto de sela continua sendo
um ponto de sela após qualquer mudança de coordenadas linear. \ufffd
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196 Formas Sesquilineares e Quadráticas Cap. 9
9.4 Exercícios
1. Seja X um espaço vetorial. Mostre que o espaço das formas S(X) é um
espaço vetorial com as definições usuais de soma de funções e multiplicação
de função por escalar.
2. Seja B uma forma no espaço vetorial X . Mostre que vale a identidade
qB(x+ y) + qB(x\u2212 y) = 2
(
qB(x) + qB(y)
)
,
que generaliza a identidade do paralelogramo.
3. Sejam X um espaço vetorial real e B \u2208 S(X). Verifique a igualdade
B(x, y) +B(y, x) =
1
2
[
qB(x+ y)\u2212 qB(x\u2212 y)
]
. (9.8)
(Essa identidade nos mostra que, se a forma B : X ×X \u2192 R for simétrica,
então o lado esquerdo da equação nos fornece uma expressão