Algebra e Matrizes   Hamilton[1]
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Algebra e Matrizes Hamilton[1]


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H : E \u2192 E
é positivo semidefinido se, e somente se, seus autovalores forem todos maiores do
que ou iguais a zero. O operador H é positivo definido se, e somente se, todos os
seus autovalores forem positivos.
Demonstração: Se H \u2265 0 e Hx = \u3bbx, então \u3bb\u3008x, x\u3009 = \u3008Hx, x\u3009 \u2265 0.
Reciprocamente, como H é auto-adjunto, existe uma base ortonormal formada por
autovetores: Hxi = \u3bbixi, para i = 1, . . . , n. Se x = \u3b11x1 + . . .+ \u3b1nxn, então
\u3008Hx, x\u3009 =
\u2329
n\u2211
i=1
\u3b1iHxi,
n\u2211
i=1
\u3b1ixi
\u232a
=
n\u2211
i=1
\u3bbi|\u3b1i|2 \u2265 0.
A segunda afirmação decorre da demonstração apresentada. 2
Já vimos que operadores cujos autovalores são maiores do que ou iguais a zero
possuem raiz quadrada real (isto é, existe um operador S tal que S2 = T ), desde que
0 compareça no polinômio mínimo com multiplicidade no máximo igual a 1 (veja
a Subseção 6.4.4). Agora apresentaremos uma situação em que podemos assegurar
a unicidade da raiz quadrada.
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206 Teoria Espectral Euclidiana Cap. 10
Teorema 10.10 (Unicidade da Raiz Quadrada)
Sejam E um espaço euclidiano e H : E \u2192 E um operador auto-adjunto
e positivo semidefinido. Então H possui uma única raiz quadrada positiva
semidefinida P : E \u2192 E.
Demonstração: Consideremos a decomposição de E como soma direta ortogonal
de autoespaços de H: E = E\u3bb1 \u2295 · · · \u2295 E\u3bbk , em que \u3bb1, . . . , \u3bbk são os autovalores
distintos de H . Se x = x1 + . . . + xk \u2208 E\u3bb1 \u2295 · · · \u2295 E\u3bbk , então Hx =
\u3bb1x1+ . . .+\u3bbkxk. Definimos Px =
\u221a
\u3bb1x1+ . . .+
\u221a
\u3bbkxk. Claramente P 2x = Hx,
mostrando que P é uma raiz quadrada de H . O Lema 10.9 garante que P é positivo
semidefinido. (Note que definimos diretamente a raiz quadrada de T , sem apelar
para os resultados de 6.4.4. O Exercício 15 pede que você faça isso usando o cálculo
funcional.)
Para mostrarmos a unicidade, notamos inicialmente que toda raiz quadrada Q
de H comuta com H: QH = QQ2 = Q2Q = HQ. Assim, cada auto-espaço de
H é invariante por Q (pelo Teorema 10.6) e o Teorema da Imagem do Espectro
7.1 garante que o único autovalor de Q em cada auto-espaço E\u3bbi é
\u221a
\u3bbi. (Estamos
usando apenas a versão polinomial daquele Teorema!) Assim, Q coincide com P
em cada subespaço E\u3bbi e, por conseguinte, no espaço inteiro E. 2
Demonstração alternativa do Teorema 10.10: De acordo com o Teorema 10.6, se
Q também satisfizer Q2 = H , então Q e H são simultaneamente diagonalizáveis
por base ortonormal formada por autovetores de H , como vimos no início da
demonstração anterior. Nessa base, se \u3bb1, . . . , \u3bbn forem os autovalores de H ,
H =
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\u3bb1 0 · · · 0
0 \u3bb2 · · · 0
.
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.
0 0 · · · \u3bbn
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8 e Q =
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
µ1 0 · · · 0
0 µ2 · · · 0
.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 · · · µn
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8 .
Como Q2 = H , devemos ter µi =
\u221a
\u3bbi. O mesmo argumento se aplica a P . Assim,
os autovalores de P e Q coincidem. Como os auto-espaços de H são invariantes
tanto por P quanto por Q, segue-se daí que Q = P . 2
10.2 Princípios de Minimax para os Autovalores
(Esta Seção pode ser omitida sem prejuízo para o restante do texto. Ela
apresenta ainda um outro método para se provar os Teoremas 10.2 e 10.4 que
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§10.2 Princípios de Minimax para os Autovalores 207
nos permite, em particular, provar a existência de autovalores e autovetores de
um operador auto-adjunto sem termos que apelar para o Teorema Fundamental da
Álgebra. Isso é fundamental em espaços de dimensão infinita.)
Demonstração alternativa dos Teoremas 10.2 e 10.4: A função contínua \u3c8 :
E \u2192 R definida por \u3c8(x) = \u3008Hx, x\u3009 assume um máximo no conjunto compacto3
K := {x \u2208 E | \u2016x\u2016 = 1}. Seja x1 esse ponto de máximo e \u3bb1 o valor de \u3c8 nesse
ponto. Então, para todo x \u2208 E, vale
\u3008(H \u2212 \u3bb1I)x, x\u3009 = \u2016x\u20162
\u2329
(H \u2212 \u3bb1I) x\u2016x\u2016 ,
x
\u2016x\u2016
\u232a
= \u2016x\u20162
(\u2329
H
x
\u2016x\u2016 ,
x
\u2016x\u2016
\u232a
\u2212 \u3bb1
)
\u2264 0,
mostrando que \u2329
(H \u2212 \u3bb1I)x, x
\u232a \u2264 0 \u2200 x \u2208 E. (10.5)
Decorre daí, ao escolhermos x = x1 + ty com t \u2208 R e y \u2208 E, que
t2
\u2329
(H \u2212 \u3bb1I)y, y
\u232a
+ 2t
\u2329
(H \u2212 \u3bb1I)x1, y
\u232a \u2264 0.
Verificamos assim que o discriminante dessa equação do segundo grau é menor do
que ou igual a zero. Quer dizer, \u2329(H \u2212 \u3bb1I)x1, y\u232a = 0 para todo y \u2208 E e, portanto,
(H \u2212 \u3bb1I)x1 = 0. Mostramos assim a existência de um autovalor \u3bb1 e de um
autovetor x1 de H .
Consideremos agora o complementar ortogonal E1 do espaço gerado por x1,
que tem dimensão n\u2212 1. Pela Proposição 8.31, E1 é invariante por H e a restrição
de H a este subespaço é auto-adjunta. Por indução, podemos supor que H|E1 possui
uma base ortonormal formada por autovetores de H . Isso completa a prova. 2
A expressão
\u3008Hx, x\u3009
\u2016x\u20162 =
\u2329
H
(
x
\u2016x\u2016
)
,
x
\u2016x\u2016
\u232a
é o quociente de Rayleigh.
Teorema 10.11 (Princípio do Minimax)
Sejam H : E \u2192 E um operador auto-adjunto definido no espaço euclidiano E
e \u3bb1 \u2264 \u3bb2 \u2264 · · · \u2264 \u3bbn os autovalores de H . Então
\u3bbj = min
dimS=j
(
max
x\u2208S, \u2016x\u2016=1
\u3008Hx, x\u3009
)
,
3Veja o Apêndice F.
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208 Teoria Espectral Euclidiana Cap. 10
em que S é um subespaço de E.
Demonstração: Consideremos um subespaço S \u2282 E arbitrário, com dimensão j.
Inicialmente vamos mostrar que
max
x\u2208S, \u2016x\u2016=1
\u3008Hx, x\u3009 \u2265 \u3bbj, (10.6)
de onde concluímos que min
dimS=j
(
max
x\u2208S, \u2016x\u2016=1
\u3008Hx, x\u3009
)
\u2265 \u3bbj .
Sejam {x1, . . . , xn} uma base ortonormal de autovetores de H correspondentes
aos autovalores \u3bb1, . . . , \u3bbn e U o espaço gerado pelos vetores x1, . . . , xj\u22121. Como
dim(S \u2229 U) \u2264 (j \u2212 1) e dim(S) = j, existe x \u2208 S que é perpendicular a todos
os vetores de U . Quer dizer, x = \u3b1jxj + . . . + \u3b1nxn para escalares \u3b1j, . . . , \u3b1n.
Podemos supor que 1 = \u2016x\u20162 =\u2211ni=j |\u3b1i|2 = 1. Assim,
\u3008Hx, x\u3009 =
n\u2211
i=j
\u3bbi|\u3b1i|2 \u2265 \u3bbj
n\u2211
i=j
|\u3b1i|2 = \u3bbj,
mostrando (10.6).
Para completarmos a prova, basta mostrarmos um subespaço S de dimensão
j no qual \u3bbj \u2265 \u3008Hx, x\u3009 para todo x \u2208 S com \u2016x\u2016 = 1. Seja S gerado por
x1, . . . , xj . Então x = \u3b11x1 + . . .+ \u3b1jxj para todo x \u2208 S e, portanto, supondo que
1 = \u2016x\u20162 =\u2211ji=1 |\u3b1i|2 = 1, vemos que
\u3008Hx, x\u3009 =
j\u2211
i=i
\u3bbi|\u3b1i|2 \u2264 \u3bbj
j\u2211
i=1
|\u3b1i|2 = \u3bbj.
A demonstração está completa. 2
10.3 Operadores Normais
Relembramos que um operador A : E \u2192 E é antiauto-adjunto, se A\u2217 = \u2212A.
De acordo com a Proposição 8.30, temos
(\u2212iA)\u2217 = iA\u2217 = \u2212iA,
mostrando que \u2212iA é um operador auto-adjunto. Decorre imediatamente do
Teorema 10.2:
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§10.3 Operadores Normais 209
Teorema 10.12 Seja A : E \u2192 E um operador antiauto-adjunto no espaço
euclidiano complexo E. Então:
(i) os autovalores de A são iguais a zero ou imaginários puros;
(ii) existe uma base ortonormal de E consistindo de autovetores de A.
Demonstração: Considere uma base ortonormal {x1, . . . , xn} formada por
autovetores de \u2212iA associados aos autovalores \u3bb1, . . . , \u3bbn. Então (\u2212iA)xj= \u3bbjxj ,
com \u3bbj \u2208 R. Se \u3bbj 6= 0, então
Axj = (i\u3bbj)xj,
mostrando que A tem os mesmos autovetores de \u2212iA e que a cada autovalor \u3bbj
não-nulo de \u2212iA está associado o autovalor imaginário (i\u3bbj) de A. 2
Agora mostramos a teoria espectral de operadores normais em espaços
euclidianos complexos.
Teorema 10.13 Um operador linear N : E \u2192 E definido no espaço euclidiano
complexo E possui uma base ortonormal consistindo de autovetores se, e somente
se, for normal.
Demonstração: Suponhamos que N seja normal. Uma vez que N e N\u2217 comutam,
o mesmo acontece com
H :=
N +N\u2217
2
e A :=
N \u2212N\u2217
2
.
Os operadores H e N são auto-adjunto e antiauto-adjunto, respectivamente.
Aplicamos então o Teorema 10.2 e a Proposição 10.6 aos operadores H e \u2212iA:
existe uma base ortonormal formada por autovetores tanto de H quanto de \u2212iA