Algebra e Matrizes   Hamilton[1]
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Algebra e Matrizes Hamilton[1]


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afirmada
no teorema. Como a base utilizada é formada por vetores reais, a representação de
N coincide com a de NC nessa base. 2
Note que a demonstração do Teorema 10.20 foi uma conseqüência imediata de
fatos mostrados anteriormente, que foram relembrados no decorrer de sua prova.
O seguinte corolário decorre dos Teoremas 10.12 e 10.20 (pois a
complexificação de um operador antiauto-adjunto é um operador antiauto-adjunto):
Corolário 10.21 Seja A : E \u2192 E um operador antisimétrico definido no espaço
euclidiano real E. Existe uma base ortonormal de E na qual A é representado por
uma matriz diagonal em blocos, com blocos diagonais A1, . . . , Ak, sendo
Aj = 0 \u2208 R ou Aj =
(
0 \u3b2j
\u2212\u3b2j 0
)
,
o último caso ocorrendo quando \u3bbj = 0+ i\u3b2j for um autovalor da complexificação
NC : EC \u2192 EC.
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§10.4 Operadores Normais em Espaços Reais 215
Teorema 10.22 Seja T : E \u2192 E um operador ortogonal definido no espaço
euclidiano real E. Então existe uma base ortonormal B na qual T é uma matriz
diagonal em blocos, com blocos diagonais iguais a 1, \u22121 e blocos 2× 2 da forma(
cos \u3b8 sen \u3b8
\u2212sen \u3b8 cos \u3b8
)
.
Demonstração: Como T é normal, o Teorema 10.20 mostra a existência de uma
base ortonormal com blocos de tamanho 1× 1 ou 2× 2.
O Teorema 10.14 garante que os autovalores de T têm valor absoluto igual a 1.
Como T é uma isometria, a imagem de uma base ortonormal é uma base ortonormal.
Isso mostra que cada coluna das matrizes diagonais 2× 2 devem ter norma 1. Mas,
de acordo como o Teorema 10.20, essa matriz tem a forma(
\u3b1 \u3b2
\u2212\u3b2 \u3b1
)
.
Como \u3b12 + \u3b22 = 1, podemos escrever essa matriz na forma(
cos \u3b8 sen \u3b8
\u2212sen \u3b8 cos \u3b8
)
.
2
Corolário 10.23 Todo operador ortogonal definido num espaço euclidiano de
dimensão ímpar possui um autovalor real.
Para interpretarmos geometricamente a imagem de operadores normais em
espaços euclidianos reais, começamos por considerar um dos bloco presentes na
representação matricial de um operador ortogonal:(
cos \u3b8 sen \u3b8
\u2212sen \u3b8 cos \u3b8
)
.
Quando submetidas a mudanças de bases ortonormais, matrizes desse tipo
preservam a sua forma ou são transformadas em matrizes(
cos \u3b8 \u2212sen \u3b8
sen \u3b8 cos \u3b8
)
=
(
cos(\u2212\u3b8) sen (\u2212\u3b8)
\u2212sen (\u2212\u3b8) cos(\u2212\u3b8)
)
.
(Veja o Exercício 31.)
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216 Teoria Espectral Euclidiana Cap. 10
Tais matrizes correspondem a rotações nos espaços bidimensionais associados
aos pares de autovalores complexos conjugados \u3bb, \u3bb¯. (Compare com o Exemplo
3.5.)
Nos espaços associados a autovalores reais, um operador ortogonal age como
a identidade I ou como \u2212I. A presença do autovalor \u22121 garante a existência de
uma reflexão com relação à direção do autovetor que satisfaz Tx = \u2212x. Matrizes
diagonais com todas as suas entradas diagonais iguais a 1, exceto uma, que é igual
a \u22121, são chamadas reflexões simples. Do mesmo modo, matrizes diagonais em
bloco com todos os blocos diagonais iguais a 1, exceto um bloco 2 × 2, que então
corresponde a uma rotação, são chamadas rotações simples. É fácil verificar que
todo operador ortogonal é o produto de rotações simples e reflexões simples.
Consideremos um operador anti-simétrico. Os autovetores correspondentes ao
autovalor 0 pertencem ao núcleo do operador. O bloco(
0 \u3b2
\u2212\u3b2 0
)
corresponde a uma rotação (no sentido anti-horário) de um ângulo \u3c0 seguida de uma
alteração de tamanho correspondente à multiplicação por \u3b2. (Se \u3b2 < 0, temos uma
reflexão.)
Uma vez que um operador simétrico é diagonalizável, ele produz alterações de
tamanho (correspondentes à multiplicação pelo autovalor \u3bb) em todas as direções
correspondentes aos seus autovetores.
Finalmente, consideremos um bloco(
\u3b1 \u3b2
\u2212\u3b2 \u3b1
)
de um operador normal. Uma vez que(
\u3b1 \u3b2
\u2212\u3b2 \u3b1
)
=
\u221a
\u3b12 + \u3b22
(
cos \u3b8 \u2212sen \u3b8
sen \u3b8 cos \u3b8
)
,
vemos que esse bloco é a combinação de uma rotação com uma alteração de
tamanho, correspondente à multiplicação pelo fator
\u221a
\u3b12 + \u3b22.
10.5 Valores Singulares
Dado um operador T : X \u2192 X definido no espaço de dimensão finita X ,
vimos que a sua representação matricial TB com relação a uma base B de X nem
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§10.5 Valores Singulares 217
sempre é diagonalizável, a forma canônica de Jordan nos indicando qual a forma
mais simples que esse operador pode assumir.
Se permitirmos a utilização de bases distintas no domínio e contradomínio, a
representação matricial T CB de todo operador T : X \u2192 X pode ser bem simples.
(Compare com o Exercício 39 do Capítulo 3.)
A utilização de bases distintas no domínio e contradomínio permite também
considerarmos aplicações lineares T : X \u2192 Y com domínio e contradomínio
distintos. Restringiremos a nossa apresentação ao caso em que X e Y são espaços
euclidianos. (O leitor interessado no caso geral pode consultar, por exemplo, [25].)
Para introduzirmos a decomposição de uma aplicação T : X \u2192 Y em valores
singulares, começamos com o seguinte exemplo:
Exemplo 10.24 A matriz
A =
(
2 0 0
0 1 0
)
leva S2 := {w \u2208 R3 | \u2016w\u2016 = 1} na elipse
x2
4
+ y2 = 1.
De fato, o ponto w = (x, y, z) \u2208 R3 é levado no ponto (2x, y) \u2208 R2. Esse último
claramente satisfaz a equação da elipse dada.
-
A
-
6
x
y
Figura 10.1:
A matriz A transforma a esfera S2 \u2282 R3 em uma elipse no R2.
\ufffd
Mostraremos que toda aplicação linear T : Rn \u2192 Rm tem comportamento
semelhante àquele apresentado no Exemplo 10.24: T transforma a esfera unitária
Sn\u22121 = {x \u2208 Rn | \u2016x\u2016 = 1} \u2282 Rn em um elipsóide k-dimensional no espaço Rm.
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218 Teoria Espectral Euclidiana Cap. 10
Teorema 10.25 (Decomposição de Aplicações em Valores Singulares)
Sejam E,F espaços euclidianos e T : E \u2192 F uma aplicação linear de posto
r. Então existem bases ortonormais B = {v1, . . . , vn} de E e C = {w1, . . . , wm}
de F tais que
Tvi = µiwi para i \u2208 {1, . . . , r}, com µi > 0 (10.9)
Tvi = 0 para i \u2208 {r + 1, . . . , n}, (10.10)
T \u2217wi = µivi para i \u2208 {1, . . . , r}, (10.11)
T \u2217wi = 0 para i \u2208 {r + 1, . . . ,m}. (10.12)
Denotando por D1 a matriz diagonal r × r
D1 =
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
µ1
µ2
.
.
.
µr
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8 ,
a representação T CB é, portanto, a matriz m× n
D = T CB =
(
D1 0
0 0
)
.
Os escalares µ1, . . . , µr são os valores singulares da aplicação linear T : E \u2192 F .
Demonstração: O Exemplo 10.8 mostra que T \u2217T : E \u2192 E é um operador positivo
semidefinido. Temos kerT = ker(T \u2217T ). De fato,
Tv = 0\u21d4 \u3008Tv, Tu\u3009 = 0 \u2200 u \u2208 E \u21d4 \u3008T \u2217Tv, u\u3009 \u2200 u \u2208 E \u21d4 T \u2217Tv = 0.
Isso mostra que posto(T \u2217T ) = n\u2212 dim(kerT \u2217T ) = n\u2212 dim(kerT ) = r.
Uma vez que T \u2217T é um operador auto-adjunto, o Teorema 10.2 (ou o Teorema
10.4) garante a existência de uma base ortonormal B = {v1, . . . , vn} de E formada
por autovetores de T \u2217T . Como os autovalores de T \u2217T são não-negativos, temos
assim que
T \u2217T (vi) = µ2i vi, i = 1, . . . , r e T
\u2217T (vi) = 0, i = r + 1, . . . , n.
Para obtemos uma base de F definimos, para i \u2208 {1, . . . , r},
wi =
1
µi
T (vi).
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§10.5 Valores Singulares 219
Para esses valores de i temos Tvi = µiwi, enquanto Tvi = 0 para i \u2208 {r+1, . . . , n},
pois kerT = kerT \u2217T . (Logo, os vetores vr+1, . . . , vn formam uma base ortonormal
de kerT , se esse subespaço for não-vazio.) As equações (10.9) e (10.10) estão
satisfeitas e obtivemos a matriz D1.
Precisamos mostrar que {w1, . . . , wr} é base ortonormal de imT . Se i, j \u2208
{1, . . . , r}, então
\u3008wi, wj\u3009 = 1
µiµj
\u3008Tvi, T vj\u3009 = 1
µiµj
\u3008T \u2217Tvi, vj\u3009
=
1
µiµj
\u3008µ2i vi, vj\u3009 =
µi
µj
\u3008vi, vj\u3009 = µi
µj
\u3b4ij,
em que \u3b4ij = 0 se i 6= j e \u3b4ii = 1. Como dim(imT