Algebra e Matrizes   Hamilton[1]
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Algebra e Matrizes Hamilton[1]


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elementos do que a dimensão de X . Obtemos assim uma
base {y1, . . . , yj} para Y .
Aplicando então o Teorema 1.14, essa base pode ser completada até obtermos
uma base {y1, . . . , yj, x1, . . . , xn\u2212j} para X . Defina Z como o espaço de todas as
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8 Base e Dimensão Cap. 1
combinações lineares dos elementos x1, . . . , xn\u2212j . Claramente Z é um subespaço
de X e Z \u2229 Y = {0}. Logo, pela Proposição 1.22, temos X = Y \u2295 Z. 2
1.4 Espaço Quociente
Definição 1.24 Seja Y um subespaço de X . Se x1, x2 \u2208 X , dizemos que x1 é
congruente a x2 módulo Y , escrito
x1 \u2261 x2 mod Y,
se x1 \u2212 x2 \u2208 Y .
Podemos dividir o espaço X em diferentes classes de equivalência módulo Y
(veja o Exercício 30). Denotaremos a classe contendo o elemento x por [x].
Definição 1.25 Se [x] e [z] forem classes de equivalência módulo Y e \u3bb \u2208 K,
definimos
[x] + [z] = [x+ z], \u3bb[x] = [\u3bbx].
Com essas operações, o conjunto de todas as classes de equivalência módulo Y
torna-se um espaço vetorial, denotado por
X
Y
ou X/Y
e denominado espaço quociente de X por Y .
A classe de equivalência [x] muitas vezes é representada por x+ Y .
A rigor, precisamos mostrar que as operações em X/Y estão bem definidas,
isto é, independem dos representantes de cada classe de equivalência. Portanto,
suponhamos que x1 \u2208 [x] e z1 \u2208 [z]. Então x1 = x + y1 e z1 = z + y2, com
y1, y2 \u2208 Y . Mas, então, x1 + z1 = x + y1 + z + y2 = x + z + (y1 + y2) e, assim,
x1 + z1 \u2261 x + z mod Y . Do mesmo modo, \u3bbx1 = \u3bbx + (\u3bby1) e \u3bbx1 \u2261 \u3bbx
mod Y .
Exemplo 1.26 Seja X um espaço vetorial qualquer. Se Y = X , então X/Y =
{[0]}, pois x \u2261 0 mod Y para todo x \u2208 X . Por outro lado, se Y = {0}, então
X/Y = X , pois x \u2261 y mod Y implica que x = y. \ufffd
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§1.4 Espaço Quociente 9
Exemplo 1.27 Seja Y \u2282 R2 o subespaço definido por Y = {(x, y) | y = 2x}.
(Em outras palavras, Y é a reta de equação y = 2x). Na Figura 1.2, os vetores
w1, . . . , w5 pertencem todos à mesma classe. Assim, o vetor [w1] + Y \u2208 R2/Y é
uma reta paralela à reta y = 2x. O espaço quociente R2/Y é formado por todas as
retas paralelas à reta y = 2x.
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XXX
XXXy
x
y
Y
[w]+Y
w1
w2
w3
w4
w5
Figura 1.2:
O subespaço Y é a reta y = 2x. Os vetoresw1, . . . , w5 pertencem todos à mesma classe.
O espaço R2/Y é formado por todas as retas paralelas à reta y = 2x.
Sem dificuldades, podemos estender a interpretação geométrica aqui apre-
sentada ao caso geral. \ufffd
Exemplo 1.28 Seja x \u2208 Kn e considere Y o subespaço de todos os vetores cujas
duas primeiras coordenadas são nulas. Então dois vetores são congruentes módulo
Y se, e somente se, suas duas primeiras coordenadas forem iguais. Isto é,
(x1, x2, x3, . . . , xn) \u2261 (y1, y2, y3, . . . , yn) mod Y \u21d4 x1 = y1 e x2 = y2.
A classe de equivalência de x \u2208 Kn pode ser vista como um vetor com duas
componentes, dadas pela primeira e segunda coordenadas de x. \ufffd
Teorema 1.29 Consideremos a decomposição
X = Y \u2295 Z.
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10 Base e Dimensão Cap. 1
Então a aplicação Q : Z \u2192 X/Y definida por Q(z) = [z] é um isomorfismo
canônico. (Um isomorfismo é canônico, se ele independer de escolhas de bases nos
espaços envolvidos).
Assim, se X tiver dimensão finita e {z1, . . . , zj} for uma base de Z, então
{[z1], . . . , [zj]} é uma base de X/Y . Portanto,
dimX/Y = dimZ = dimX \u2212 dimY.
Demonstração: Definimos Q : Z \u2282 X \u2192 X/Y por Q(z) = [z]. A aplicação Q é
claramente linear.
Cada classe [x] \u2208 X/Y tem como representante um elemento x \u2208 X . Mas,
existe uma única decomposição x = y + z, com y \u2208 Y e z \u2208 Z. Assim,
[x] = [y + z] = [z], mostrando que Q é sobrejetor.
Suponhamos que [z1] = [z2]. Então z1 = z2 + y, com y \u2208 Y . Mas, isso implica
que z1\u2212z2 = y \u2208 Y . Como z1\u2212z2 \u2208 Z, concluímos que z1\u2212z2 = 0, completando
a demonstração. 2
1.5 Exercícios
1. Se \u2212x for o inverso aditivo de x \u2208 X , mostre que \u2212x = (\u22121)x.
2. Mostre que o elemento neutro aditivo de um espaço vetorial é único. Mostre
que 0x = 0 para todo x \u2208 X e \u3bb0 = 0 para todo \u3bb \u2208 K, sendo 0 \u2208 X o
elemento neutro aditivo.
3. Seja X = {(x1, . . . , xn) | xi \u2208 K}. Defina a soma x + y da maneira usual e
\u3bbx = 0 para todo \u3bb \u2208 K e x \u2208 X . Verifique quais propriedades da definição
de espaço vetorial são satisfeitas.
4. Mostre que Y \u2282 X é um subespaço se, e somente se, \u3bbx + y \u2208 Y para
quaisquer x, y \u2208 Y e \u3bb \u2208 K.
5. Se X for um espaço vetorial, mostre que os conjuntos X e {0} (que
consiste apenas do elemento neutro aditivo) são subespaços de X , chamados
subespaços triviais.
6. Seja S 6= \u2205. Generalize o Exemplo 1.3 e mostre que {f : S \u2192 Kn} é um
espaço vetorial.
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§1.5 Exercícios 11
7. Seja V \u2282 Kn o conjunto de todas as n-uplas da forma (0, 0, x3, . . . , xn).
Mostre que V é um subespaço de Kn.
8. Seja U = {(x, y) \u2208 R2 | x > 0, y > 0}. Se z1 = (x1, y1) e z2 = (x2, y2)
forem elementos de U e \u3bb \u2208 R, defina
z1 + z2 = (x1x2, y1y2), \u3bbz1 = (x
\u3bb
1 , y
\u3bb
1 ).
(a) Mostre que U é um espaço vetorial com elemento neutro aditivo (1, 1);
(b) mostre que, se v1 = (e, 1) e v2 = (1, e), então B = {v1, v2} é uma base
de U (estamos denotando por e a base dos logaritmos naturais).
(c) Defina T : U \u2192 R2 por T (z) = [z]B, em que [z]B é a representação de
z na base B. Mostre que T é um isomorfismo.
9. Seja S \u2282 X um subconjunto arbitrário do espaço vetorial X . Mostre
que o conjunto de todas as combinações lineares dos elementos de S é
um subespaço de X , chamado (sub)espaço gerado por S e denotado por
< S >. Mostre que, se Y \u2282 X for um subespaço tal que S \u2282 Y ,
então < S > \u2282 Y . (Esse exercício generaliza o procedimento usado na
demonstração do Teorema 1.23).
10. Se S \u2282 X for linearmente independente, mostre que 0 6\u2208 S. Mostre que,
se um conjunto possuir um subconjunto linearmente dependente, então esse
conjunto é linearmente dependente.
11. Qual a razão, na demonstração do Lema 1.10, de substituirmos sempre
um dos elementos xj, . . . , xn do conjunto {xj, . . . , xn, y1, . . . , yj\u22121} pelo
elemento yj? Porque não podemos substituir yj por um dos elementos
y1, . . . , yj\u22121?
12. Seja S = {1, z, z2, . . . , zn, . . .}. Mostre que S é uma base de K[z].
13. Seja T : X \u2192 Y uma aplicação linear e defina kerT := {v \u2208 X | Tv = 0}.
Mostre que T é injetora se, e somente se, kerT = {0}.
14. Exiba um isomorfismo entre Kn e Kn[z].
15. Defina K\u221e como o espaço de todas as seqüências (z1, . . . , zn, . . .) com a
soma e multiplicação por escalar definidas de maneira natural. Mostre que
K\u221e é um espaço vetorial. Considere seu subespaço K\u221e0 , formado por todas
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12 Base e Dimensão Cap. 1
as seqüências satisfazendo zi = 0, exceto para um número finito de índices.
Mostre que K\u221e0 é isomorfo ao espaço K[t].
16. Sejam T : X \u2192 Y e S : Y \u2192 Z aplicações lineares. Mostre que a composta
S \u25e6 T = ST é uma aplicação linear.
17. Seja T : X \u2192 Y um isomorfismo entre os espaços X e Y . Mostre que a
inversa T\u22121 : Y \u2192 X é linear.
18. Mostre que todo espaço vetorial de dimensão n sobre o corpo K é isomorfo
a Kn. Esse isomorfismo é único? Conclua que quaisquer dois espaços de
dimensão n sobre o mesmo corpo K são sempre isomorfos. Os espaços Rn e
Cn são isomorfos?
19. Sejam X , Y espaços vetoriais de dimensão finita sobre o corpo K. Mostre
que, se T : X \u2192 Y for um isomorfismo, então a imagem por T de toda base
de X é uma base de Y . Em particular, dimX = dimY .
20. Seja B = {x1, . . . , xn} uma