Algebra e Matrizes   Hamilton[1]
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Algebra e Matrizes Hamilton[1]


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base de X e Y um espaço vetorial. Escolha
arbitrariamente y1, . . . , yn \u2208 Y . Mostre que existe uma única aplicação
linear T : X \u2192 Y tal que T (xi) = yi para i = 1, . . . , n. Conclua que,
se {y1, . . . , yn} for uma base de Y , então T é um isomorfismo.
21. Mostre que S é uma base de X se, e somente se, todo elemento x \u2208 X puder
ser escrito de maneira única como combinação linear dos elementos de S.
22. Seja X um espaço vetorial de dimensão n. Se S = {y1, . . . , yn} \u2282 X for um
conjunto linearmente independente, mostre que S é uma base de X .
23. Sejam X um espaço vetorial de dimensão n e S = {y1, . . . , yn} um conjunto
que gera X . Mostre que S é uma base de X .
24. Seja X um espaço vetorial e S = {x1, . . . , xk} um subconjunto linearmente
dependentes formado por vetores não-nulos do espaço X . Mostre que um
deles é combinação linear dos vetores precedentes.
25. Seja X um espaço de dimensão n e V1 \u2295 · · · \u2295 Vk uma soma direta de
subespaços deX . Mostre que dim(V1\u2295· · ·\u2295Vk) = dimV1+. . .+dimVk \u2264 n.
26. Sejam X um espaço de dimensão finita e U, V subespaços de X . Mostre que
dim(U + V ) = dimU + dimV \u2212 dim(U \u2229 V ).
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§1.5 Exercícios 13
27. Denotaremos por Mn×n(K) o conjunto das matrizes n × n com entradas
no corpo K. Defina o conjunto das matrizes simétricas S = {A \u2208
Mn×n(K) |At = A}, em que At denota a transposta da matriz A (veja
3.12 para a definição da transposta de uma matriz); defina o conjunto das
matrizes anti-simétricas A = {A \u2208 Mn×n(K) |At = \u2212A}. Mostre que
Mn×n(K) = S \u2295A.
28. Mostre que U \u2229 V é um subespaço de X , se U e V forem subespaços de X .
O subespaço U \u2229 V é a interseção dos subespaços U e V .
29. Seja X um espaço vetorial e W1,W2 subespaços. Mostre que, se X =
W1 \u222aW2, então X = Wi para pelo menos algum i \u2208 {1, 2}.
30. Seja \u223c uma relação de equivalência2 num conjunto A. Dado x \u2208 A, denote
cl(x) := {y \u2208 A | y \u223c x}
a classe de equivalência do elemento x. Mostre que A pode ser escrito como
uma união disjunta de suas classes de equivalência.
31. Mostre que a congruência módulo Y é uma relação de equivalência.
32. Seja Y um subespaço de X com dimY = dimX . Mostre que Y = X .
33. Seja W \u2282 R3 o subespaço (verifique!) formado por todas as soluções da
equação linear homogênea 2x + 3y + 4z = 0. Descreva as classes de
equivalência da congruência módulo W .
34. SejamX um espaço vetorial eM,N subespaços. Dê exemplo desses espaços,
de modo que
(a) nem M , nem X/M tenha dimensão finita;
(b) X/M tenha dimensão finita, mas X/N não tenha.
35. Seja T : X \u2192 X um operador linear e W um subespaço invariante por T ,
isto é, T (W ) \u2282 W . Considere a aplicação T¯ : X \u2192 X/W definida por
T¯ (x) = [Tx]. Mostre que T¯ é linear e que, se q \u2208 K[z] satisfizer q(T ) = 0,
então q(T¯ ) = 0.
2Quer dizer, se x, y, z \u2208 A, então: (i) x \u223c x; (ii) se x \u223c y, então y \u223c x; (iii) se x \u223c y e y \u223c z,
então x \u223c z.
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14 Base e Dimensão Cap. 1
36. Seja W \u2282 X um subespaço e Q : X \u2192 X/W a aplicação quociente definida
por Q(x) = [x]. Seja Y \u2282 X outro subespaço de X . Mostre que X = W\u2295Y
se, e somente se, a restrição Q|Y : Y \u2192 X/W for um isomorfismo.
37. A soma direta de espaços vetoriais X1, X2 é o conjunto X1 \u2295X2 de todos os
pares (x1, x2) com x1 \u2208 X1 e x2 \u2208 X2. Definindo adição e multiplicação por
escalar coordenada a coordenada, mostre que X1 \u2295X2 é um espaço vetorial.
SeX1 eX2 tiverem dimensão finita, então dim(X1\u2295X2) = dimX1+dimX2.
38. Seja Y um subespaço de X . Mostre que X é isomorfo a Y \u2295X/Y .
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Dualidade
Este Capítulo apresenta uma primeira versão do Teorema de Representação de
Riesz e também do isomorfismo canônico entre o espaço X e o bidual X \u2032\u2032. Ele pode
ser suprimido numa primeira leitura ou a critério do instrutor.
2.1 O Espaço Dual
Existem muitas maneiras de produzir espaços vetoriais a partir de espaços ou
subespaços conhecidos. Por exemplo, se M for um subespaço de X , então X/M
é um novo espaço vetorial. Ou, dados os espaços vetoriais X e Y , podemos
considerar o espaço X \u2295 Y , apresentado no Exercício 37 do Capítulo 1.
Apresentaremos agora uma forma importante de obter um novo espaço vetorial,
partindo do espaço X:
Definição 2.1 Se X for um espaço vetorial sobre K, consideremos o conjunto
X \u2032 = {\u2113 : X \u2192 K | \u2113 é linear}.
De maneira natural vemos que X \u2032 tem uma estrutura de espaço vetorial, se
definirmos, para \u2113,m \u2208 X \u2032 e \u3bb \u2208 K,
(\u2113+m)(x) = \u2113(x) +m(x), (\u3bb\u2113)(x) = \u3bb\u2113(x).
Com essas operações, X \u2032 = {\u2113 : X \u2192 K | \u2113 é linear} denota o espaço dual1 de X .
Os elementos de X \u2032 são chamados de funcionais lineares.
1Também chamado espaço dual algébrico do espaço X , em contraposição ao espaço dual
topológico definido em textos de Análise Funcional. Em espaços de dimensão finita as definições
coincidem.
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16 Dualidade Cap. 2
Exemplo 2.2 Seja X = {f : [0, 1] \u2192 R | f é contínua}. Defina \u2113(f) = \u222b 1
0
f(s)ds
e, para s0 \u2208 [0, 1] fixo, m(f) = f(s0). É fácil verificar que \u2113 \u2208 X \u2032 e m \u2208 X \u2032. \ufffd
Exemplo 2.3 Defina \u3c01 : Kn \u2192 K por \u3c01(x1, . . . , xn) = x1. Então \u3c01 \u2208 (Kn)\u2032. \ufffd
Seja {x1, . . . , xn} uma base do espaço vetorial X . Então, para todo x \u2208 X , existem
escalares \u21131(x), . . . , \u2113n(x) tais que
x = \u21131(x)x1 + . . .+ \u2113n(x)xn.
Os escalares \u2113i(x) são justamente as coordenadas de x na base {x1, . . . , xn}.
(Quer dizer, se x = \u3b11x1 + . . .+ \u3b1nxn, \u2113i(x) denota \u3b1i.)
Teorema 2.4 Seja B = {x1, . . . , xn} uma base de X e
x = \u21131(x)x1 + . . .+ \u2113n(x)xn.
Então, se \u3b4ij denotar 0, se i 6= j, e 1, se i = j, temos:
(i) \u2113i : X \u2192 K é um funcional linear e \u2113i(xj) = \u3b4ij , para i, j \u2208 {1, . . . , n};
(ii) o conjunto {\u21131, . . . , \u2113n} é uma base de X \u2032, chamada de base dual da base B;
(iii) se m \u2208 X \u2032, então
m(x) = \u21131(x)m(x1) + . . .+ \u2113n(x)m(xn).
(iv) para todo 0 6= x \u2208 X , existe m \u2208 X \u2032 tal que m(x) 6= 0.
Demonstração: (i) Suponhamos que x = \u3b11x1+. . .+\u3b1nxn e y = \u3b21x1+. . .+\u3b2nxn
(quer dizer, \u2113i(x) = \u3b1i e \u2113i(y) = \u3b2i). Então x+ \u3bby = (\u3b11 + \u3bb\u3b21)x1 + . . .+ (\u3b1n +
\u3bb\u3b2n)xn e, portanto, \u2113i(x+ \u3bby) = \u3b1i + \u3bb\u3b2i = \u2113i(x) + \u3bb\u2113i(y).
(ii) Suponhamos que \u3bb1\u21131 + . . . + \u3bbn\u2113n = 0 \u2208 X \u2032. Avaliando esse funcional
sucessivamente nos vetores x1, . . . , xn, concluímos que \u3bb1 = . . . = \u3bbn = 0. Seja
agora m \u2208 X \u2032. Então
m(x) = m(\u3b11x1 + . . .+ \u3b1nxn) = \u3b11m(x1) + . . .+ \u3b1nm(xn)
= \u21131(x)m(x1) + . . .+ \u2113n(x)m(xn),
provando não apenas que \u21131, . . . , \u2113n geram X \u2032, mas também a afirmação (iii).
(iv) Se 0 6= x, então alguma coordenada \u2113i(x) na expressão x = \u21131(x)x1+ . . .+
\u2113n(x)xn não é nula. Considere m = \u2113i. 2
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§2.1 O Espaço Dual 17
Observação 2.5 A parte (iii) do Teorema 2.4 é uma versão do Teorema de
Representação de Riesz; veja o Teorema 8.22. \ufffd
Uma vez que X \u2032 é um espaço vetorial de dimensão n, esse espaço tem o seu
dual, que será denotado por X \u2032\u2032 e chamado de bidual de X . O teorema anterior
garante então que dimX \u2032\u2032 = n, pois já vimos que dimX \u2032 = n.
Note que X \u2032\u2032 é, por definição, o espaço vetorial de aplicações lineares
X \u2032\u2032 = {L : X \u2032 \u2192 K | L é linear}.
Quer dizer, L é uma transformação linear que associa, a cada funcional linear
\u2113 : X \u2192 K, o número L(\u2113) \u2208 K. Os elementos de X \u2032\u2032 são, aparentemente,
complicados. Mostraremos que as aplicações lineares em X \u2032\u2032 estão canonicamente
associadas aos vetores do espaço X . Quer dizer, existe um isomorfismo entre X
e X \u2032\u2032 que independe da utilização de qualquer base nesses espaços vetoriais. (A
existência de um isomorfismo entre esses espaços é trivial: veja o Exercício 18 do
Capítulo 1.)
Lema 2.6 Para cada x \u2208 X fixo, considere a aplicação Lx : X \u2032 \u2192 K definida por