Algebra e Matrizes   Hamilton[1]
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Algebra e Matrizes Hamilton[1]


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Lx(\u2113) = \u2113(x).
Quer dizer, Lx associa a cada funcional linear \u2113 \u2208 X \u2032 o valor que \u2113 assume no
ponto x. Então Lx \u2208 X \u2032\u2032.
Demonstração: Suponhamos que \u2113,m \u2208 X \u2032. Então, se \u3b1 \u2208 K,
Lx(\u2113+ \u3b1m) = (\u2113+ \u3b1m)(x) = \u2113(x) + \u3b1m(x) = Lx(\u2113) + \u3b1Lx(m).
(Compare essa demonstração com o Exemplo 2.2.) 2
Teorema 2.7 Os espaços X \u2032\u2032 e X são canonicamente isomorfos. Mais preci-
samente, todo elemento do espaço X \u2032\u2032 é da forma Lx, para algum x \u2208 X .
Demonstração: Apesar de ser constituída de etapas bastante simples, a idéia da
demonstração é relativamente elaborada. Definimos \u393 = {Lx | x \u2208 X}. Quer dizer,
os elementos de \u393 são as aplicações lineares definidas no lema anterior. Vamos
mostrar, em primeiro lugar, que \u393 é um subespaço de X \u2032\u2032. Depois, mostraremos
que X é isomorfo a \u393. Assim, dim\u393 = n = dimX \u2032\u2032. Isso quer dizer que \u393 = X \u2032\u2032.
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18 Dualidade Cap. 2
Sejam Lx, Ly \u2208 \u393 e \u3bb \u2208 K. Consideremos Lx + \u3bbLy. Queremos mostrar que
essa aplicação linear é um elemento de \u393, isto é, Lx+\u3bbLy = Lz para algum z \u2208 X .
Temos, para \u2113 \u2208 X \u2032,
(Lx + \u3bbLy)(\u2113) = Lx(\u2113) + \u3bbLy(\u2113) = \u2113(x) + \u3bb\u2113(y) = \u2113(x+ \u3bby) = Lx+\u3bby(\u2113).
Isso mostra que \u393 é um subespaço de X \u2032\u2032. Agora definimos:
T : X \u2192 \u393
x 7\u2192 Lx.
Vamos mostrar que T é um isomorfismo entre X e \u393. Temos que
T (x+ \u3bby) = Lx+\u3bby = Lx + \u3bbLy = T (x) + \u3bbT (y),
de acordo com o que mostramos na primeira parte. A aplicação T é sobrejetora
por definição. A injetividade também é clara: se T (x) = T (y), então Lx = Ly e,
portanto, Lx(\u2113) = Ly(\u2113) para todo \u2113 \u2208 X \u2032. Mas, então, \u2113(x) = \u2113(y) e \u2113(x\u2212 y) = 0
para todo \u2113 \u2208 X \u2032. Mas, isto implica que x\u2212 y = 0, de acordo com o Teorema 2.4,
(iv). Isto mostra a injetividade e completa a demonstração. 2
Concluímos este capítulo com a seguinte aplicação dada por Lax [20], sur-
preendente à primeira vista:
Teorema 2.8 Sejam t1, . . . , tn pontos distintos do intervalo I . Então existem
constantes \u3b11, . . . , \u3b1n tais que\u222b
I
p(t)dt = \u3b11p(t1) + . . .+ \u3b1np(tn)
para todo polinômio p de grau menor do que n.
Demonstração: O espaço Kn[t] de todos os polinômios p(t) = a0 + a1t + . . . +
an\u22121tn\u22121 de grau menor do que n é isomorfo a Kn e, portanto, tem dimensão n.
Definimos \u2113j(p) = p(tj). Então \u2113j \u2208 (Kn[t])\u2032. Afirmamos que {\u21131, . . . , \u2113n} é
linearmente independente. De fato, suponhamos que
\u3bb1\u21131 + . . .+ \u3bbn\u2113n = 0 \u2208 (Kn[t])\u2032.
Isso implica que
\u3bb1p(t1) + . . .+ \u3bbnp(tn) = 0, \u2200 p \u2208 Kn[t]. (2.1)
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§2.2 Exercícios 19
Considere os polinômios
q1(t)=(t\u2212t2)· · ·(t\u2212tn), q2(t)=(t\u2212t1)(t\u2212t3) · · · (t\u2212tn),. . ., qn(t)=(t\u2212t1). . .(t\u2212tn\u22121).
Cada polinômio qi possui exatamente n \u2212 1 raízes nos pontos tj , com j 6= i.
Substituindo sucessivamente os polinômios qi na relação (2.1), obtemos \u3bbiq(ti) =
0, o que implica \u3bbi = 0. Isso mostra que {\u21131, . . . , \u2113n} é linearmente independente
em (Kn[t])
\u2032 e, portanto, uma base desse espaço.
Assim, todo funcional linear \u2113 : Kn[t] \u2192 R é uma combinação linear dos
funcionais \u21131, . . . , \u2113n e, portanto,
\u2113 = \u3b11\u21131 + . . .+ \u3b1n\u2113n
para escalares \u3b11, . . . , \u3b1n \u2208 K. O resultado segue-se daí ao considerarmos o
funcional linear
p 7\u2192
\u222b
I
p(t)dt. 2
2.2 Exercícios
1. Considere a base B := {v1, v2} doR2, em que v1 = (2, 1) e v2 = (3, 1). Ache
a base dual de B.
2. Seja Rn[t] o espaço de todos os polinômios (com coeficientes em R) de
grau menor do que n (na incógnita t). Mostre que as seguintes aplicações
pertencem ao dual de Rn[t]:
(a) \u3c0i(p(t)) = ai para todo i = 0, 1, . . . , n\u2212 1, se p(t) \u2208 Rn[t] for dado por
p(t) = a0 + a1t+ . . .+ an\u22121tn\u22121;
(b) J(p(t)) =
\u222b 1
0
p(t)dt, para todo p(t) \u2208 Rn[t].
3. Considere o espaçoR2[t], como antes. Sejam \u21131 : R2[t]\u2192 R e \u21132 : R2[t]\u2192 R
dadas por \u21131(p(t)) =
\u222b 1
0
p(t)dt e \u21132(p(t)) =
\u222b 2
0
p(t)dt. Mostre que B\u2032 =
{\u21131, \u21132} é uma base de (R2[t])\u2032. Ache a base {v1, v2} de R2[t] da qual B\u2032 é
dual.
4. Considere a demonstração do Teorema 2.7. Se X tiver dimensão infinita, o
que podemos concluir?
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20 Dualidade Cap. 2
5. Sejam X um espaço vetorial arbitrário e f : X \u2192 K um funcional linear
não-nulo.
(a) Mostre que ker f tem codimensão 1, isto é, existe w \u2208 X tal que
X = ker f \u2295 < w > .
(< w > denota o espaço gerado por w \u2208 X).
(b) Se g : X \u2192 K for outro funcional linear, então g é um múltiplo escalar
de f se, e somente se, o núcleo de g contiver o núcleo de f .
(c) Sejam \u3d5, f1, . . . , fr funcionais lineares no espaço X . Mostre que \u3d5 é
combinação linear de f1, . . . , fr se, e somente se, ker f1\u2229 · · ·\u2229ker fr \u2282
ker\u3d5.
6. Sejam X um espaço vetorial e S \u2282 X um subconjunto arbitrário. O anulador
de S é o conjunto S0 = {f \u2208 X \u2032 | f(s) = 0 \u2200 s \u2208 S}. Mostre que S0 é
subespaço de X \u2032.
7. Seja Y \u2282 X um subespaço do espaço vetorial de dimensão finita X . Mostre
que dimX = dimY + dimY 0. Identificando X e X \u2032\u2032 (de acordo com o
Teorema 2.7), mostre que Y 00 := (Y 0)0 = Y .
8. Seja S = {(2,\u22122, 3, 4,\u22121), (\u22121, 1, 2, 5, 2), (0, 0,\u22121,\u22122, 3), (1,\u22121, 2, 3, 0)}
um subconjunto do R5. Obtenha o anulador de < S >.
9. Seja W \u2282 X um subespaço e f : W \u2192 K linear. Mostre que existe um
funcional linear \u3d5 : X \u2192 K que estende f , isto é, \u3d5(w) = f(w) para todo
w \u2208W .
10. Seja T : X \u2192 Y uma aplicação linear. A aplicação T induz uma aplicação
linear T \u2032 : Y \u2032 \u2192 X \u2032 da seguinte maneira: para cada funcional \u2113 : Y \u2192 K,
definimos
T \u2032 : Y \u2032 \u2192 X \u2032 por T \u2032(\u2113) = \u2113T = \u2113 \u25e6 T.
Y
X
\ufffd
\ufffd\ufffd @
@R
K-
T \u2113
\u2113 \u25e6 T
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§2.2 Exercícios 21
(A aplicação T \u2032 é a transposta de T . Alguns autores a chamam de adjunta de
T , mas ela não coincide com a aplicação adjunta que será definida no Capítulo
8.)
(a) Mostre que T \u2032 é uma aplicação linear;
(b) se S, T : X \u2192 Y forem aplicações lineares, mostre que (S + \u3b1T )\u2032 =
S \u2032 + \u3b1T \u2032;
(c) se S : X \u2192 Y e T : Y \u2192 Z forem aplicações lineares, mostre que
(ST )\u2032 = T \u2032S \u2032;
(d) se T : X \u2192 Y tiver inversa, mostre que (T\u22121)\u2032 = (T \u2032)\u22121;
(e) se X e Y tiverem dimensão finita, identificando X \u2032\u2032 com X e Y \u2032\u2032 com
Y , mostre que T \u2032\u2032 := (T \u2032)\u2032 é então identificado com T ;
(f) se X e Y tiverem dimensão finita, qual a relação entre os núcleos e
imagens de T e T \u2032? (Observação: o núcleo e a imagem de uma aplicação
linear estão definidos em 3.10.)
11. Seja X um espaço de dimensão finita, com X = M \u2295 N . Considere a
projeção \u3c0 : X \u2192 M definida por \u3c0(x) = m, se x = m + n. Obtenha
\u3c0\u2032.
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Aplicações Lineares
Este Capítulo introduz aplicações lineares e suas representações matriciais, os
espaços linha e coluna de uma matriz, demonstra o Teorema do Núcleo e da Imagem
e estuda detalhadamente a relação entre diferentes representações matriciais de um
mesmo operador.
3.1 Aplicações Lineares e Matrizes - parte 1
Sejam X e Y espaços vetoriais sobre o mesmo corpo K. Como sabemos, uma
aplicação linear (ou transformação linear) é uma aplicação T : X \u2192 Y tal que
T (x+ \u3bby) = Tx+ \u3bbTy, \u2200 x, y \u2208 X e \u3bb \u2208 K.
Exemplo 3.1 Se K[z] for o espaço vetorial de polinômios (com coeficientes em
K, na incógnita z), T : K[z] \u2192 K[z] definida por T (p) = p\u2032 (derivação) é uma
transformação linear, bem como S(p) =
\u222b
p (integração; na família de primitivas
escolhemos sempre a constante de integração como nula). Se X = Y = R2,
definimos a rotação R : R2 \u2192 R2 como a aplicação que roda em torno da origem
por um ângulo 0 < \u3b8 < 2\u3c0 um ponto do R2 \ {0}, no sentido anti-horário, e
R(0) = 0. (Veja a Figura 3.1.) É claro que o único ponto fixo por R é a origem. \ufffd
Exemplo 3.2 Sejam X = Kn, Y = Km e aij \u2208 K, para j = 1, . . . , n e
i = 1, . . . ,m. Se x = (x1, . . . , xn) \u2208 Kn e y = (y1, . . . , ym) \u2208 Kn, definimos