Algebra e Matrizes   Hamilton[1]
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Algebra e Matrizes Hamilton[1]


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y = Tx por
yi =
n\u2211
j=1
aijxj, i = 1, . . . ,m. (3.1)
22
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§3.1 Aplicações Lineares e Matrizes - parte 1 23
-
6
\ufffd\ufffd
\ufffd\ufffd*
\ufffd
\ufffd
\ufffd
\ufffd\ufffd
\ufffd\ufffd
\ufffd\ufffd*
\ufffd
\ufffd
\ufffd
\ufffd\ufffd
A
A
A
AK
HH
HHY
A
A
A
AK
HH
HHY
a
b
a + b
R(a)
R(b)
R(a + b)
x
y
1
Figura 3.1:
A linearidade de R é geometricamente clara.
Afirmamos que T é linear. De fato, se w = (w1, . . . , wn) \u2208 Kn e \u3bb \u2208 K, temos
(T (x+ \u3bbw))i =
n\u2211
j=1
aij(xj + \u3bbwj) =
n\u2211
j=1
aijxj + \u3bb
n\u2211
j=1
aijwj = (Tx)i + \u3bb(Tw)i.
(Escolha i \u2208 {1, . . . ,m} e escreva explicitamente a soma efetuada.) \ufffd
Teorema 3.3 Toda aplicação linear T : Kn \u2192 Km é da forma (3.1).
Demonstração: Consideremos a base canônica {e1, . . . , en} do Kn. Temos, então,
que x = x1e1 + . . .+ xnen =
n\u2211
j=1
xjej . Como T é linear,
y = Tx = T
(
n\u2211
j=1
xjej
)
=
n\u2211
j=1
xjT (ej).
Denotemos a i-ésima coordenada do vetor T (ej) por aij , isto é, aij = (T (ej))i.
Assim, a i-ésima coordenada de y é
yi =
n\u2211
j=1
xjaij,
como queríamos provar. 2
Observação 3.4 Note que, para provarmos o Teorema 3.3, fizemos uso explícito da
base canônica do Rn. Ao denotar aij = (T (ej))i, estamos fazendo uso implícito da
base canônica do Rm. \ufffd
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24 Aplicações Lineares Cap. 3
É conveniente representar os coeficientes (aij) da expressão (3.1) como um
arranjo retangular:
A =
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am1 am2 · · · amn
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8 ;
denominamos tal arranjo matriz m× n, m sendo o número de linhas e n o número
de colunas. O elemento aij é a entrada correspondente à linha i e à coluna j. Se
m = n, dizemos que a matriz A é quadrada. Uma submatriz de A é uma matriz
obtida de A ao se omitir algumas de suas linhas e/ou colunas.
O Exemplo 3.2 e o Teorema 3.3 mostram que existe uma correspondência
bijetiva entre o conjunto de matrizes m × n e o espaço das aplicações lineares
de Kn para o Km. Denotaremos o elemento aij da matriz A, chamada matriz que
representa T (com relação às bases canônicas do Kn e Km) por
Tij = aij = (T (ej))i.
Exemplo 3.5 Seja R : R2 \u2192 R2 a rotação apresentada no Exemplo 3.1.
Escolhendo a base canônica E = {e1, e2}, encontramos a matriz A que representa
R (com relação à base canônica do R2 no domínio e na imagem). O nosso ponto de
partida, para isso, consiste na expressão (3.1). Para j = 1, 2, considerando o vetor
x = ej , vemos que o lado direito de (3.1) produz a j-ésima coluna da matriz (aij).
Assim, se Re1 = P , o ponto P tem coordenadas (cos \u3b8, sen \u3b8), de acordo com a
própria definição das funções seno e cosseno. Do mesmo modo, se Re2 = Q, as
coordenadas de Q são (cos(\u3b8 + \u3c0/2), sen (\u3b8 + \u3c0/2)) = (\u2212sen \u3b8, cos \u3b8). Logo, a
representação de R na base E é a matriz de rotação
A =
(
cos \u3b8 \u2212sen \u3b8
sen \u3b8 cos \u3b8
)
.
\ufffd
Observação 3.6 Comparando os Exemplos 3.1 e 3.5, notamos que o primeiro
independe da escolha de uma base nos espaços considerados. Por outro lado, ao
expressar R como uma matriz, o segundo faz uso de bases nos espaços Rn e Rm.
Em certo sentido, no caso de aplicações lineares entre espaços de dimensão
finita, essa é a diferença entre aplicações lineares e matrizes: a definição de uma
aplicação linear independe da escolha de bases nos espaços envolvidos. A matriz
que representa uma aplicação linear entre os espaços Kn e Km, por sua vez, faz uso
da representação dos vetores x e Tx em bases dos respectivos espaços. \ufffd
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§3.2 Multiplicação de Matrizes 25
Definição 3.7 Sejam T , S aplicações lineares de X para Y . Definimos
(T + S)(x) = Tx+ Sx, (\u3bbT )(x) = \u3bbTx.
Com essas operações, o conjunto de todas as aplicações lineares T : X \u2192 Y é um
espaço vetorial (algébrico1), denotado por L(X,Y ).
(Se você tiver lido o Capítulo 2, compare a definição anterior com a definição do
espaço dual.)
Verifique que L(X,Y ) é um espaço vetorial!
Lema 3.8 Sejam S, T : Kn \u2192 Km. Então (S + T )ij = Sij + Tij e (\u3bbT )ij = \u3bbTij .
Em outras palavras, estão assim definidas a soma de duas matrizes m × n
(como a matriz obtida ao se somar as entradas correspondentes de cada matriz)
e a multiplicação de uma matriz por um escalar (como a matriz obtida ao
se multiplicar cada entrada da matriz pelo escalar). As operações no espaço
L(Kn,Km) correspondem às operações no conjunto das matrizes m × n, fazendo
desse conjunto, denotado porMm×n(K), um espaço vetorial.
Demonstração: Utilizando a notação do Teorema 3.3, temos, por definição, que
aij e bij são as i-ésimas coordenadas dos vetores T (ej) e S(ej). Assim, se
somarmos as i-ésimas coordenadas desses vetores, obtemos bij + aij . Por outro
lado, S(ej) + T (ej) = (S + T )(ej), de modo que a i-ésima componente do vetor
(S + T )(ej) é bij + aij .
Do mesmo modo, a i-ésima componente do vetor (\u3bbT )(ej) é \u3bb multiplicado
pela i-ésima componente do vetor T (ej).
É fácil verificar que, com essas operações,Mm×n(K) é um espaço vetorial. 2
3.2 Multiplicação de Matrizes
Sejam X , Y e Z espaços vetoriais sobre o mesmo corpo K, e T : X \u2192 Y
e S : Y \u2192 Z aplicações lineares. Denotamos por S \u25e6 T : X \u2192 Z a aplicação
composta de T com S. Quer dizer,
(S \u25e6 T )x = S(Tx).
É fácil verificar que S \u25e6 T \u2208 L(X,Z). Além disso, vale:
1Em contraposição ao espaço das aplicações lineares definido em cursos de Análise Funcional.
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26 Aplicações Lineares Cap. 3
(i) R \u25e6 (S \u25e6 T ) = (R \u25e6 S) \u25e6 T, \u2200 R \u2208 L(Z,W );
(ii) (P + S) \u25e6 T = P \u25e6 T + S \u25e6 T, \u2200 P \u2208 L(Y, Z);
(iii) S \u25e6 (T +Q) = S \u25e6 T + S \u25e6Q, \u2200 Q \u2208 L(X,Y ).
(As propriedades (i) e (ii) independem das aplicações envolvidas serem lineares.)
Usualmente, no caso de aplicações lineares, denotamos S \u25e6T por ST , chamado
de produto das aplicações lineares S e T . Note que, em geral, ST 6= TS (na
verdade, os dois lados nem precisam estar simultaneamente definidos; mesmo
estando, não há razão para serem iguais).
Através do Lema 3.8 foram interpretadas as operações no espaço vetorial
L(Kn,Km) em termos de operações entre matrizes, introduzindo assim operações
em Mm×n(K) com as quais este é um espaço vetorial, isomorfo ao espaço
L(Kn,Km) (verifique que temos realmente um isomorfismo!). A composição das
aplicações lineares T : Kn \u2192 Km e S : Km \u2192 Kp pode ser interpretada
como operação entre matrizes. Isso introduz o produto de matrizes e justifica a
denominação de produto para a composição de aplicações lineares, bem como a
notação ST ao invés de S \u25e6 T . Vamos obter a expressão do produto de matrizes.
O nosso ponto de partida, para isso, consiste da expressão (3.1). Considerando
o vetor x = ej , vemos que o lado direito de (3.1) produz a j-ésima coluna da matriz
(aij). Mas, Tej é justamente um vetor do Km, cuja i-ésima coordenada é aij:
Tej = cj, em que cj é a j-ésima coluna da matriz que representa T. (3.2)
Assim, é natural interpretar os vetores em Km como "vetores coluna". Para
sermos consistentes, interpretaremos tanto os vetores do Kn como os vetores do
Km como vetores coluna.
Notamos assim, em termos dessa interpretação de vetores, que uma matriz A,
além de um arranjo retangular, pode ser concebida de duas maneiras diferentes:
como uma linha de vetores coluna ou como uma coluna de vetores linha:
A = (c1 c2 . . . cn) =
\uf8eb\uf8ec\uf8ed \u21131..
.
\u2113m
\uf8f6\uf8f7\uf8f8 , (3.3)
em que
cj =
\uf8eb\uf8ec\uf8ed a1j..
.
amj
\uf8f6\uf8f7\uf8f8 e \u2113i = (ai1 ai2 · · · ain).
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§3.2 Multiplicação de Matrizes 27
Utilizaremos as diversas concepções de uma matriz \u2013 arranjo de números ou
de vetores linha ou vetores coluna \u2013 para podermos interpretar a composição