Topicos de Algebra Linear (Sistemas Lineares)   Paulo Agozzini Martin e Maria Lucia Singer
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Topicos de Algebra Linear (Sistemas Lineares) Paulo Agozzini Martin e Maria Lucia Singer


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TO´PICOS DE A´LGEBRA
LINEAR:
SISTEMAS LINEARES
Paulo Agozzini Martin
&
Maria Lu´cia Singer
Suma´rio
Cap´\u131tulo 1. SISTEMAS LINEARES 5
1. Sistemas lineares 5
2. Sistemas equivalentes. 6
Cap´\u131tulo 2. O ME´TODO DE GAUSS 13
1. Escalonamento 13
2. Sistemas homoge\u2c6neos e sistemas na\u2dco-homoge\u2c6neos 16
Cap´\u131tulo 3. MATRIZES 19
1. Operac¸o\u2dces com sistemas lineares 19
2. Matrizes Invers´\u131veis 24
Cap´\u131tulo 4. DETERMINANTES 29
1. Motivac¸a\u2dco 29
2. De\ufb01nic¸a\u2dco e propriedades 33
3. Determinantes e matrizes invers´\u131veis 43
Cap´\u131tulo 5. MATRIZES ELEMENTARES 49
1. Escalonamento revisitado 49
2. Matrizes elementares e determinantes 53
Cap´\u131tulo 6. EXERCI´CIOS 55
1. Exerc´\u131cios Propostos. 55
2. Respostas aos exerc´\u131cios 65
3
CAP´\u131TULO 1
SISTEMAS LINEARES
1. Sistemas lineares
Neste cap´\u131tulo vamos estudar os sistemas lineares, ou seja, sistemas
de m equac¸o\u2dces em n inco´gnitas, da forma
a11x1 + · · ·+ a1nxn = b1
a21x1 + · · ·+ a2nxn = b2
...............................
am1x1 + · · ·+ amnxn = bm
onde os coe\ufb01cientes aij e os bj sa\u2dco nu´meros reais. Se algum dos bi for
diferente de zero dizemos que o sistema e´ um sistema na\u2dco-homoge\u2c6neo;
caso contra´rio, dizemos que e´ um sistema homoge\u2c6neo. Uma soluc¸a\u2dco do
sistema acima e´ um conjunto ordenado de n nu´meros reais u1, . . . , un,
que, quando colocados respectivamente no lugar das inco´gnitas, veri\ufb01-
cam as m identidades:
n\u2211
j=1
aijuj = bi, 1 \u2264 i \u2264 m.
Denotaremos um conjunto ordenado de n nu´meros reais por
(u1, u2, . . . , un),
e o chamaremos de uma n-upla de nu´meros reais. O conjunto de todas
as poss´\u131veis n-uplas de nu´meros reais sera´ denotado por Rn. Assim:
Rn = {(u1, . . . , un) : u1, . . . , un \u2208 R}.
Nosso problema inicial consiste em saber se um dado sistema pos-
sui alguma soluc¸a\u2dco e em encontra´-las todas, caso existam. Como na\u2dco
\ufb01zemos nenhuma restric¸a\u2dco aos inteiros m e n, temos sistemas com mais
equac¸o\u2dces do que inco´gnitas, com menos equac¸o\u2dces do que inco´gnitas ou
sistemas onde o nu´meros de equac¸o\u2dces e´ igual ao nu´mero de inco´gnitas.
5
6 1. SISTEMAS LINEARES
Intuitivamente, um sistema com mais inco´gnitas do que equac¸o\u2dces,
como por exemplo:
2x1 + x2 \u2212 x3 = 5,
tem uma in\ufb01nidade de soluc¸o\u2dces. Nesse exemplo, podemos deixar livres
x2 e x3, e determinar x1:
x1 =
5\u2212 x2 + x3
2
,
de modo que as 3-uplas
(
5\u2212 u2 + u3
2
, u2, u3), u2, u3 \u2208 R
sa\u2dco todas as soluc¸o\u2dces. Podemos tambe´m deixar livres as varia´veis x1 e
x3, de modo que as soluc¸o\u2dces sejam representadas pelas 3-uplas:
(x1, 5 + x3 \u2212 2x1, x3).
Tambe´m intuitivamente percebemos que um sistema com mais equa-
c¸o\u2dces do que inco´gnitas na\u2dco tem muita chance de ter soluc¸a\u2dco, por exem-
plo:
2x1 + x2 = 2
3x1 = 1
3x2 = 1
Note que se a primeira equac¸a\u2dco do sistema acima fosse 2x1+x2 = 1,
enta\u2dco a 2-upla (1/3, 1/3) seria soluc¸a\u2dco!
Assim como a relac¸a\u2dco entre o nu´mero de equac¸o\u2dces e o nu´mero de
inco´gnitas in\ufb02uencia na existe\u2c6ncia de soluc¸o\u2dces, destacamos tambe´m um
caso digno de considerac¸a\u2dco: todo sistema homoge\u2c6neo possui pelo menos
uma soluc¸a\u2dco, a saber (0, 0, . . . , 0), chamada de soluc¸a\u2dco trivial.
Vimos acima exemplos de sistemas com uma in\ufb01nidade de soluc¸o\u2dces,
com uma u´nica soluc¸a\u2dco e com nenhuma soluc¸a\u2dco. Veremos adiante que
na\u2dco existem outras possibilidades!
2. Sistemas equivalentes.
Uma primeira observac¸a\u2dco importante, embora muito simples, e´ a
seguinte: dado um sistema linear, o seu conjunto soluc¸a\u2dco pode ser
igualmente determinado (ou descrito) por inu´meros outros sistemas de
equac¸o\u2dces. Por exemplo o sistema:
2. SISTEMAS EQUIVALENTES. 7
x1 \u2212 x2 = 0
x1 + x2 = 2
determina o conjunto soluc¸a\u2dco S = {(1, 1)}. Esse mesmo conjunto so-
luc¸a\u2dco e´ determinado pelo sistema:
x1 \u2212 x2 = 0
3x1 + x2 = 4
ou pelo sistema
7x1 + x2 = 8
3x1 + x2 = 4.
Assim, podemos nos fazer uma pegunta: \ufb01xado um sistema, existem
transformac¸o\u2dces que podemos realizar nele de modo a simpli\ufb01car as suas
equac¸o\u2dces e, ao mesmo tempo, na\u2dco alterar o seu conjunto soluc¸a\u2dco?
Vamos comec¸ar a responder essa questa\u2dco por meio de um sistema
simples
x1 + x2 \u2212 2x3 = 1
3x1 \u2212 x2 + x3 = 2
x1 \u2212 x2 + 3x3 = 4,
composto de tre\u2c6s equac¸o\u2dces a tre\u2c6s inco´gnitas. Denotaremos cada equa-
c¸a\u2dco acima por Ei(x1, x2, x3) = bi, (i = 1, 2, 3) ou, mais abreviadamente,
Ei = bi. Apresentaremos a seguir tre\u2c6s operac¸o\u2dces muito simples que na\u2dco
alteram o conjunto soluc¸a\u2dco do sistema:
1. Permutac¸a\u2dco. Trocar de lugar duas equac¸o\u2dces do sistema:
E1 = 1
E2 = 2
E3 = 4
\u21d0\u21d2
E3 = 4
E2 = 2
E1 = 1
2. Multiplicac¸a\u2dco. Substituir uma das equac¸o\u2dces por um mu´ltiplo
na\u2dco nulo dela mesma:
8 1. SISTEMAS LINEARES
E1 = 1
E2 = 2
E3 = 4
\u21d0\u21d2
\u3bb · E1 = \u3bb · 1
E2 = 2
E3 = 4
onde \u3bb \ufffd= 0.
3. Adic¸a\u2dco. Substituir a equac¸a\u2dco Ei = bi pela sua soma com um
mu´ltiplo de uma outra equac¸a\u2dco, ou seja Ei + µ · Ej = bi + µbj (onde
j \ufffd= i) tambe´m na\u2dco alteramos o conjunto soluc¸a\u2dco:
E1 = b1
E2 = b2
E3 = b3
\u21d0\u21d2
E1 + µ · E3 = b1 + µ · b3
E2 = b2
E3 = b3
Cada uma das tre\u2c6s operac¸o\u2dces acima e´ chamada de operac¸a\u2dco elemen-
tar. Veremos que, aplicadas em seque\u2c6ncia, elas sa\u2dco extremamente u´teis
para simpli\ufb01car as equac¸o\u2dces que descrevem um dado conjunto soluc¸a\u2dco.
Dado um sistema linear, todo sistema obtido a partir dele, por meio
de uma seque\u2c6ncia \ufb01nita de operac¸o\u2dces elementares, e´ dito um sistema
equivalente ao sistema dado. Vimos acima que sistemas equivalentes
possuem o mesmo conjunto soluc¸a\u2dco. Usualmente escrevemos
Ei = bi \u223c E \u2032i = b\u2032i
para denotar que os sistemas sa\u2dco equivalentes.
E´ muito fa´cil de se perceber que se o sistema E \u2032i = b
\u2032
i pode ser
obtido do sistema Ei = bi por meio de uma seque\u2c6ncia de operac¸o\u2dces
elementares, enta\u2dco Ei = bi tambe´m pode ser obtido do sistema E
\u2032
i = b
\u2032
i
por meio de uma seque\u2c6ncia de operac¸o\u2dces elementares. Isso porque cada
operac¸a\u2dco elementar pode ser desfeita ou invertida por outra operac¸a\u2dco
elementar. De fato: consideremos o sistema S de equac¸o\u2dces
E1(x1, . . . , xn) = b1
E2(x1, . . . , xn) = b2
E3(x1, . . . , xn) = b3
........................
Em(x1, . . . , xn) = bm
onde Ei(x1, . . . , xn) = bj representa a i-e´sima equac¸a\u2dco ai1x1 + · · · +
ainxn = bi do sistema S. Se S1 e´ o sistema obtido a partir de S
2. SISTEMAS EQUIVALENTES. 9
permutando-se as linhas i e j, com i \ufffd= j, enta\u2dco e´ claro que se per-
mutarmos novamente as mesmas linhas i e j do sistema S1, obteremos
o sistema original S. Se S2 e´ obtido de S multiplicando-se a i-e´sima
equac¸a\u2dco de S por \u3bb \ufffd= 0 enta\u2dco obteremos S multiplicando a i-e´sima
equac¸a\u2dco de S2 por µ = 1/\u3bb. Se S3 e´ obtido de S substituindo-se a
i-e´sima equac¸a\u2dco de S, Ei = bi, por E
\u2032
i = b
\u2032
i, onde E
\u2032
i = Ei + \u3bbEj (com
j \ufffd= i) e b\u2032i = bi + \u3bbbj, enta\u2dco S3 \ufb01ca:
E1(x1, . . . , xn) = b1
E2(x1, . . . , xn) = b2
........................
E \u2032i(x1, . . . , xn) = b
\u2032
i
...........................
Em(x1, . . . , xn) = bm
e substituindo-se a i-e´sima linha de S3 pela diferenc¸a entre ela e \u3bb vezes
a j-e´sima linha (que na\u2dco se alterou) obteremos o sistema S.
Ale´m disso, se o sistema S e´ obtido do sistema S \u2032 e o sistema S \u2032
e´ obtido do sistema S \u2032\u2032 enta\u2dco S e´ obtido de S \u2032\u2032. Isso mostra que se
de\ufb01nirmos S \u223c S \u2032 como: S \u2032 e´ obtido de S por meio de operac¸o\u2dces
elementares, enta\u2dco:
1) S \u223c S
2) S \u223c S \u2032 =\u21d2 S \u2032 \u223c S
3) S \u223c S \u2032 & S \u2032 \u223c S \u2032\u2032 =\u21d2 S \u223c S \u2032\u2032
As tre\u2c6s propriedades acima caracterizam as chamadas relac¸o\u2dces de
equivale\u2c6ncia. Essa relac¸a\u2dco \u223c de\ufb01nida acima entre sistemas lineares par-
ticiona o conjunto de todos os sistemas lineares em classes de sistemas
equivalentes de tal modo que se S \u223c S \u2032 enta\u2dco o conjunto soluc¸a\u2dco de S
e o conjunto soluc¸a\u2dco de S \u2032 sa\u2dco iguais.
Vamos aplicar algumas operac¸o\u2dces elementares no exemplo acima
para simpli\ufb01car as suas equac¸o\u2dces,