Topicos de Algebra Linear (Sistemas Lineares)   Paulo Agozzini Martin e Maria Lucia Singer
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Topicos de Algebra Linear (Sistemas Lineares) Paulo Agozzini Martin e Maria Lucia Singer


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\uf8f6
\uf8f8
X =
1
9131
\uf8eb
\uf8ed 623 107 \u2212459\u22126392 2285 \u2212415
\u22127392 654 1120
\uf8f6
\uf8f8
Segunda soluc¸a\u2dco. A matrix X possui 9 varia´veis x1, . . . , x9 e a
matrix Y mais 9: y1, . . . , y9. Fazendo as multiplicac¸o\u2dces matriciais,
separamos um conjunto de 18 equac¸o\u2dces com 18 inco´gnitas, que podemos
escalonar.
6. Observe inicialmente que o determinante da matrix a esquerda
e´ zero, e portanto ela na\u2dco e´ invers´\u131vel. Desenvolva o sistema em 3
sistemas usuais: \uf8eb
\uf8ed 1 2 32 3 4
3 4 5
\uf8f6
\uf8f8
\uf8eb
\uf8ed x11x21
x31
\uf8f6
\uf8f8 =
\uf8eb
\uf8ed \u22122\u22122
\u22122
\uf8f6
\uf8f8 ,
\uf8eb
\uf8ed 1 2 32 3 4
3 4 5
\uf8f6
\uf8f8
\uf8eb
\uf8ed x12x22
x32
\uf8f6
\uf8f8 =
\uf8eb
\uf8ed 11
1
\uf8f6
\uf8f8 ,
\uf8eb
\uf8ed 1 2 32 3 4
3 4 5
\uf8f6
\uf8f8
\uf8eb
\uf8ed x13x23
x33
\uf8f6
\uf8f8 =
\uf8eb
\uf8ed 11
1
\uf8f6
\uf8f8 ,
e note que eles sa\u2dco muito parecidos. Denotando Sj o conjunto soluc¸a\u2dco
do sistema j (para j = 1, 2, 3), obtemos
S1 = {(2 + \u3bb,\u22122\u2212 2\u3bb, \u3bb) : \u3bb \u2208 R}
S2 = {(\u22121 + µ, 1\u2212 2µ, µ) : µ \u2208 R}
S3 = {(\u22121 + \u3bd, 1\u2212 2\u3bd, \u3bd) : \u3bd \u2208 R}
ou seja, o conjunto soluc¸a\u2dco da equac¸a\u2dco inicial e´:
X =
\uf8eb
\uf8ed 2 + \u3bb \u22121 + µ \u22121 + \u3bd\u22122\u2212 2\u3bb 1\u2212 2µ 1\u2212 2\u3bd
\u3bb µ \u3bd
\uf8f6
\uf8f8
onde µ, \u3bd, \u3bb percorrem os reais.
2. RESPOSTAS AOS EXERCI´CIOS 67
7. a = 2, b = 4. O conjunto soluc¸a\u2dco unita´rio e´: x = b\u2212 (3b\u2212 a)/10
e y = (3b\u2212 a)/10, ou seja x = 3 e y = 1.
7.1 a) Se (u1, . . . , un) e´ uma soluc¸a\u2dco de Ax = b enta\u2dco todas as
soluc¸o\u2dces desse sistema sa\u2dco da forma
(u1, . . . , un) + (h1, . . . , un),
onde (h1, . . . , un) percorre as soluc¸o\u2dces de Ax = 0. Se o conjunto acima
e´ in\ufb01nito, enta\u2dco o sistema homoge\u2c6neo tem in\ufb01nitas soluc¸o\u2dces.
b) A a\ufb01rmac¸a\u2dco e´ falsa. Um contra-exemplo
x1 + x2 = 2
3x1 + 3x2 = 3.
c) A a\ufb01rmac¸a\u2dco e´ falsa. Olhe o contra-exemplo do item acima.
d) A a\ufb01rmac¸a\u2dco e´ falsa. Um contra-exemplo
x1 + x2 = 1
x1 \u2212 x2 = 2
3x1 + 3x3 = 4.
7.2 Mostre que as soluc¸o\u2dces de AX = B sa\u2dco da forma
X1 + H,
onde X1 e´ uma soluc¸a\u2dco \ufb01xada e H percorre o conjunto das soluc¸o\u2dces
de AX = O. Conclua que AX = 0 tera´ uma soluc¸a\u2dco na\u2dco trivial H1 e
fabrique in\ufb01nitas outras soluc¸o\u2dces de AX = O.
8. Se escrevermos uma C gene´rica, queremos AC = CA, ou seja:
\uf8eb
\uf8ed 1 0 00 2 0
0 0 4
\uf8f6
\uf8f8
\uf8eb
\uf8ed a b cd e f
g h i
\uf8f6
\uf8f8 =
\uf8eb
\uf8ed a b cd e f
g h i
\uf8f6
\uf8f8
\uf8eb
\uf8ed 1 0 00 2 0
0 0 4
\uf8f6
\uf8f8
ou seja, \uf8eb
\uf8ed a b c2d 2e 2f
4g 4h 4i
\uf8f6
\uf8f8 =
\uf8eb
\uf8ed a 2b 4cd 2e 4f
g 2h 4i
\uf8f6
\uf8f8 ,
de onde conclu´\u131mos que b = 0, c = 0, d = 0, f = 0, g = 0, h = 0.
68 6. EXERCI´CIOS
9. A u´nica propriedade utilizada para mostrar as expresso\u2dces e´ a
comutatividade! Mais geralmente, prove que a fo´rmula do bino\u2c6mio de
Newton continua va´lida se as matrizes A,B comutarem:
(A + B)n =
n\u2211
k=0
(
n
k
)
An\u2212kBk.
10. A =
(
0 1
0 0
)
. Em geral tome A = (aij) com a1n = 1 e os
demais coe\ufb01cientes nulos.
11. Para n = 3 podemos tomar
A =
\uf8eb
\uf8ed 0 1 00 0 1
0 0 0
\uf8f6
\uf8f8 .
Os demais casos sa\u2dco semelhantes.
12. Temos que AB e´ uma matrix 3× 3 e BA e´ uma matriz 1× 1,
ou seja, um nu´mero real:
AB =
\uf8eb
\uf8ed 1 2 32 4 6
3 6 9
\uf8f6
\uf8f8 , BA = 14.
13. Observe-se que
A = \u3bbI3 +
\uf8eb
\uf8ed 0 1 00 0 1
0 0 0
\uf8f6
\uf8f8 , A1 =
\uf8eb
\uf8ed 0 1 00 0 1
0 0 0
\uf8f6
\uf8f8 ,
e que se C \u2208 M3(R) enta\u2dco AC = CA se e somente se A1C = CA1.
Esta u´ltima condic¸a\u2dco se traduz, para uma C gene´rica:
\uf8eb
\uf8ed 0 1 00 0 1
0 0 0
\uf8f6
\uf8f8
\uf8eb
\uf8ed a b cd e f
g h i
\uf8f6
\uf8f8 =
\uf8eb
\uf8ed a b cd e f
g h i
\uf8f6
\uf8f8
\uf8eb
\uf8ed 0 1 00 0 1
0 0 0
\uf8f6
\uf8f8
ou seja, \uf8eb
\uf8ed d e fg h i
0 0 0
\uf8f6
\uf8f8 =
\uf8eb
\uf8ed 0 a b0 d e
0 g h
\uf8f6
\uf8f8 ,
de onde conclu´\u131mos que
2. RESPOSTAS AOS EXERCI´CIOS 69
C =
\uf8eb
\uf8ed a b c0 a b
0 0 a
\uf8f6
\uf8f8 .
14. Seja C uma matriz gene´rica de ordem 2 comutando com a
matriz dada. Enta\u2dco(
0 1
\u22121 0
)(
a b
c d
)
=
(
a b
c d
)(
0 1
\u22121 0
)
ou seja, (
c d
\u2212a \u2212b
)
=
( \u2212b a
\u2212d c
)
,
de onde conclu´\u131mos que
C =
(
a b
\u2212b a
)
.
Assum, A e B possuem a forma acima. Uma conta simples mostra que
AB = BA.
15. Considere
A =
(
1 0
0 0
)
, B =
(
0 0
1 0
)
.
16. Vimos no texto que inversa de uma matriz invert´\u131vel C e´ a
u´nica matriz D tal que CD = DC = I. Ora, se C = A\u22121, tomando
D = A temos que CD = DC = I.
17. Vamos fazer as contas:\uf8eb
\uf8ed 1 0 0a 1 0
b c 1
\uf8f6
\uf8f8
\uf8eb
\uf8ed x1 x2 x3x4 x5 x6
x7 x8 x9
\uf8f6
\uf8f8 =
\uf8eb
\uf8ed 1 0 00 1 0
0 0 1
\uf8f6
\uf8f8
ou seja:
\uf8eb
\uf8ed x1 x2 x3ax1 + x4 ax2 + x5 ax3 + x6
bx1 + cx4 + x7 bx2 + cx5 + x8 bx3 + cx6 + x9
\uf8f6
\uf8f8 =
\uf8eb
\uf8ed 1 0 00 1 0
0 0 1
\uf8f6
\uf8f8
de onde x1 = 1, x2 = x3 = 0, ou seja
70 6. EXERCI´CIOS
\uf8eb
\uf8ed 1 0 0a + x4 x5 x6
b + cx4 + x7 cx5 + x8 cx6 + x9
\uf8f6
\uf8f8 =
\uf8eb
\uf8ed 1 0 00 1 0
0 0 1
\uf8f6
\uf8f8
de onde x4 = \u2212a, x5 = 1 e x6 = 0. O resto sai imediatamente!
18. Note-se que det(A) = \u22122, det(B) = 3 e det(C) = 9.
A\u22121 =
( \u22121 1
1 \u22121/2
)
, B\u22121 =
1
3
\uf8eb
\uf8ed 1 2 \u22121\u22121 1 1
2 \u22122 1
\uf8f6
\uf8f8 ,
C\u22121 =
1
9
\uf8eb
\uf8ec\uf8ec\uf8ed
2 7 2 1
\u22121 \u22121 1 1
7 \u22122 2 \u22121
2 2 \u22122 1
\uf8f6
\uf8f7\uf8f7\uf8f8
19. Se AB = AC e A\u22121 existe, enta\u2dco
A\u22121(AB) = A\u22121(AC)
(A\u22121A)B = (A\u22121A)C
IB = IC
B = C
20. X = BA\u22121C\u22121A.
21. Se existisse tal A enta\u2dco A\u22121(A2) = A\u221210 = 0, de onde A\u22121AA =
0, ou seja, A = 0, absurdo!
22. Temos A2n = I e A2n+1 = A.
23. Tente fazer o procedimento com uma matriz 2 × 2 e voce\u2c6
percebera´ o erro!
24. No primeiro caso, a soluc¸a\u2dco e´ u´nica (obtida recursivamente).
No segundo caso, a u´ltima linha e´ a soma das duas primeiras linhas,
mas o mesmo na\u2dco ocorre com o vetor b, de modo que na\u2dco existem
soluc¸o\u2dces!
2. RESPOSTAS AOS EXERCI´CIOS 71
25. Primeiramente provemos para os naturais n \u2265 2. Se n = 2,
fac¸a a conta, usando as fo´rmulas trigonome´tricas de adic¸a\u2dco de arcos.
Para n \u2265 3 use induc¸a\u2dco matema´tica. Se n = 0 temos por de\ufb01nic¸a\u2dco
A0 = I2. Para n > 0, usamos a de\ufb01nic¸a\u2dco A
\u2212n = (A\u22121)n. Repare que
det(A) = 1, e portanto
A\u22121 =
(
cos \u3b8 sin \u3b8
\u2212 sin \u3b8 cos \u3b8
)
,
Como cos(\u3b8) = cos(\u2212\u3b8) e sin(\u2212\u3b8) = \u2212 sin(\u3b8) escrevemos:
A\u22121 =
(
cos(\u2212\u3b8) \u2212 sin(\u2212\u3b8)
sin(\u2212\u3b8) cos(\u2212\u3b8)
)
,
de onde, pela parte anterior, se n \u2265 1
(A\u22121)n =
(
cos(\u2212n\u3b8) \u2212 sin(\u2212n\u3b8)
sin(\u2212n\u3b8) cos(\u2212n\u3b8)
)
,
ou ainda
A\u2212n =
(
cos(\u2212n\u3b8) \u2212 sin(\u2212n\u3b8)
sin(\u2212n\u3b8) cos(\u2212n\u3b8)
)
,
e temos o exerc´\u131cio!
26. Sejam A = (aij) e B = (bij) duas matrizes triangulares superi-
ores. Se C = AB, C = (cij), sabemos que
cij =
n\u2211
k=1
aikbkj,
de modo que, se i > j, enta\u2dco aik = 0 para i > k e bkj = 0 para k > j,
ou seja
cij =
\u2211
i>k
aikbkj + aiibij +
\u2211
i<k
aikbkj
onde cada uma das tre\u2c6s parcelas se anula.
27. a) e b) sa\u2dco o´bvios! c) Se A = (aij) e´ anti-sime´trica enta\u2dco, por
de\ufb01nic¸a\u2dco, aij = \u2212aji, de modo que aii = \u2212aii, ou seja, aii = 0. d)
Observe que, dada uma A, a matriz As = (A + A
t)/2 e´ sime´trica e a
matriz Aa = (A \u2212 At)/2 e´ anti-sime´trica. E´ claro que A = As + Aa.
Para mostrar a unicidade, e´ su\ufb01ciente provar que a u´nica matriz que e´
ao mesmo tempo sime´trica e anti-sime´trica e´ a matriz nula!
e) Como AA\u22121 = A\u22121A = I e At = A, temos
72 6. EXERCI´CIOS
I = I t =
(
AA\u22121
)t
= (A\u22121)tAt = (A\u22121)tA,
de modo que, pela unicidade da inversa, A\u22121 = (A\u22121)t.
28. Tomemos
A =
(
1 \u22121
0 1
)
, B =
(
1 0
1 1
)
.
Enta\u2dco
AB =
(
1 \u22121
0 1
)(
1 0
1 1
)
=
(
0 \u22121
1 1
)
Logo
(AB)\u22121 =
(
1 0
\u22121 1
)
,
mas
A\u22121B\u22121 =
(
1 1
0 1
)(
1 0
\u22121 1
)
=
(
0 1
\u22121 1
)
.
Se AB = BA enta\u2dco
(A\u22121B\u22121)(AB) = (A\u22121B\u22121)(BA) = A\u22121(B\u22121B)A = A\u22121IA = I,
de modo que, pela unicidade da inversa, (AB)\u22121 = A\u22121B\u22121.
29. Se existe A\u22121 e A2 = A enta\u2dco
A\u22121(AA) = A\u22121A = I,
de modo que A = I.
30. (Sol 1): A e´ invert´\u131vel se e somente se o sistema homoge\u2c6neo
Ax = 0 tem soluc¸a\u2dco u´nica. Se A na\u2dco fosse invert´\u131vel existiria x \ufffd= 0
com Ax = 0. Logo,
(A2 + A + I)x = A2x + Ax + Ix = 0x = 0,
mas enta\u2dco x = 0, absurdo!
(Sol 2): det(A2 + A) = det(\u2212I) \ufffd= 0. Mas
det(A2 + A) = det(A(A + I)) = det(A)det(A + I) \ufffd= 0,
ou seja,