Topicos de Algebra Linear (Sistemas Lineares)   Paulo Agozzini Martin e Maria Lucia Singer
83 pág.

Topicos de Algebra Linear (Sistemas Lineares) Paulo Agozzini Martin e Maria Lucia Singer


DisciplinaÁlgebra Linear I19.367 materiais281.762 seguidores
Pré-visualização13 páginas
. . , yj, 0, 0, . . . , 0)
t \u2208 Rj+k, temos que x e´ na\u2dco
trivial e
xtAx > 0.
Mas e´ claro que
xtAx = ytA11y,
de modo que isso prova que A11 e´ positiva de\ufb01nida (a simetria de A11
e´ o´bvia). O caso de A22 e´ ana´logo.
80 6. EXERCI´CIOS
50. Seja A =
(
a b
c d
)
. Se A for de\ufb01nida positiva enta\u2dco a simetria
de A implica b = c. O exerc´\u131cio 48 implica a > 0 e d > 0. O vetor
x = (d,\u2212c)t e´ na\u2dco trivial e
xtAx > 0.
Mas
(d,\u2212c)
(
a c
c d
)(
d
\u2212c
)
= d(ad\u2212 c2) > 0,
e assim ad\u2212 bc > 0.
Reciprocamente, se A =
(
a b
c d
)
e´ uma matriz com a > 0, d > 0,
b = c e det(A) > 0 enta\u2dco, seja (x, y) uma 2-upla na\u2dco trivial. Precisamos
mostrar que
(x, y)
(
a c
c d
)(
x
y
)
= ax2 + 2cxy + dy2 > 0
Temos duas possibilidades:
1. Ou x = 0 ou y = 0 (mas na\u2dco ambos). Nesse caso temos ou
dy2 > 0 ou ax2 > 0.
2. xy \ufffd= 0. Nesse caso
ax2 + 2cxy + dy2 = y2
(
a(x/y)2 + 2c(x/y) + d2
)
> 0
pois a para´bola entre pare\u2c6nteses (na varia´vel x/y) do lado direito tem
discriminante
\u2206 = 4c2 \u2212 4ad = \u22124(ad\u2212 c2) < 0
e concavidade para cima (pois a > 0).
51. Vejamos o caso de A de\ufb01nida positiva de ordem 3 e suponhamos
que G tenha uma forma particular:
\uf8eb
\uf8ed a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
\uf8f6
\uf8f8 =
\uf8eb
\uf8ed g11 0 0g21 g22 0
g31 g32 g33
\uf8f6
\uf8f8
\uf8eb
\uf8ed g11 g21 g310 g22 g32
0 0 g33
\uf8f6
\uf8f8
Vejamos a primeira coluna de A:
a11 = g
2
11.
Como, pelo exerc´\u131cio 48 sabemos que a11 > 0, escolhemos g11 =
\u221a
a11.
Para a21 temos
2. RESPOSTAS AOS EXERCI´CIOS 81
a21 = g21g11,
ou seja, g21 = a21/
\u221a
a11. Do mesmo modo g31 = a31/
\u221a
a11. Isso deter-
mina a primeira coluna da matriz G. Para a segunda coluna:
a22 = g
2
21 + g
2
22,
de onde
g22 =
\u221a
a22 \u2212 a
2
21
a11
.
(Mostre, usando os exerc´\u131cios 49 e 50 que podemos efetivamente tirar
a raiz quadrada, isto e´, que a22 \u2212 a
2
21
a11
> 0) Ale´m disso,
a32 = g31g21 + g32g22,
donde
g32 =
a32 \u2212 g31g21
g22
=
a32 \u2212 a31a21a11\u221a
a22 \u2212 a
2
21
a11
Finalmente
a33 = g
2
31 + g
2
32 + g
2
33,
e tiramos g33 (e´ poss´\u131vel tirar a raiz quadrada?).
52. Sim. Se A = (aij) for de\ufb01nida positiva de ordem 3, enta\u2dco pelo
exerc´\u131cio 21 sabemos que A = GGt de modo que
det(A) = det(G)det(Gt) = [det(G)]2 > 0.
Ale´m disso, o exerc´\u131cio 49 garante que a submatriz
(
a11 a12
a21 a22
)
e´ de\ufb01nida positiva. Assim, usando o exerc´\u131cio 50, conclu´\u131mos que
a11a22 \u2212 a21a12 > 0. O exerc´\u131cio 48 mostra que a11 > 0.
Para a rec´\u131proca precisamos provar que se x = (x1, x2, x3)
t e´ uma
3-upla na\u2dco trivial, anta\u2dco xtAx > 0. Fac¸amos a seguinte mudanc¸a de
varia´veis (poss´\u131vel, pois a11 > 0):
82 6. EXERCI´CIOS
x1 = y1 \u2212 a12
a11
y2 \u2212 a13
a11
y3
x2 = y2
x3 = y3
que, em termos matriciais, pode ser escrita
\uf8eb
\uf8ed x1x2
x3
\uf8f6
\uf8f8 =
\uf8eb
\uf8ed 1 \u2212a12/a11 \u2212a13/a110 1 0
0 0 1
\uf8f6
\uf8f8
\uf8eb
\uf8ed y1y2
y3
\uf8f6
\uf8f8 .
Chamando a matriz acima de B temos x = By, de onde
xtAx = ytBtABy.
Como det(B) = 1, x \ufffd= 0\u21d0\u21d2 y \ufffd= 0 e
BtAB =
\uf8eb
\uf8ed 1 0 0\u2212a12/a11 1 0
\u2212a13/a11 0 1
\uf8f6
\uf8f8
\uf8eb
\uf8ed a11 a12 a13a12 a22 a23
a13 a23 a33
\uf8f6
\uf8f8
\uf8eb
\uf8ed 1 \u2212a12/a11 \u2212a13/a110 1 0
0 0 1
\uf8f6
\uf8f8
=
\uf8eb
\uf8ed a11 a12 a130 a22 \u2212 a212/a11 a23 \u2212 a12a13/a11
0 a23 \u2212 a12a13/a11 a33 \u2212 a213/a11
\uf8f6
\uf8f8
\uf8eb
\uf8ed 1 \u2212a12/a11 \u2212a13/a110 1 0
0 0 1
\uf8f6
\uf8f8
=
\uf8eb
\uf8ed a11 0 00 a22 \u2212 a212/a11 a23 \u2212 a12a13/a11
0 a23 \u2212 a12a13/a11 a33 \u2212 a213/a11
\uf8f6
\uf8f8
O leitor deve observar que a matriz \ufb01nal acima possui o mesmo
determinante que A pois det(B) = det(Bt) = 1 e portanto, por hipo´-
tese, esse determinante e´ positivo. Como a11 > 0, o determinante da
submatriz sime´trica
C =
(
a22 \u2212 a212/a11 a23 \u2212 a12a13/a11
a23 \u2212 a12a13/a11 a33 \u2212 a213/a11
)
tambe´m e´ positivo. Ale´m disso, as hipo´tese do exerc´\u131cio e o exerc´\u131cio
19 garantem que
2. RESPOSTAS AOS EXERCI´CIOS 83
a22 \u2212 a
2
12
a11
=
a11a22 \u2212 a212
a11
> 0
a33 \u2212 a
2
13
a11
=
a11a33 \u2212 a213
a11
> 0
ou seja, essa submatriz e´ de\ufb01nida positiva. Assim, pelo exerc´\u131cio 20,
ytBtABy = a11y
2
1 + (y2, y3)C
(
y2
y3
)
> 0,
como quer´\u131amos provar.
53. E´ claro que det(A) = 3\u2212 3\u3bb, de modo que para \u3bb \ufffd= 1 a matriz
A e´ invert´\u131vel. Usando A\u22121 = (det(A))\u22121Adj(A) obtemos
x1 =
1
1\u2212 \u3bb, x2 =
\u22121
1\u2212 \u3bb, x3 = 1,
de modo que
dx1
d\u3bb
|\u3bb = 1
(1\u2212 \u3bb)2 ,
dx2
d\u3bb
|\u3bb = \u22121
(1\u2212 \u3bb)2 ,
dx3
d\u3bb
|\u3bb = 0
Na leitura usual do para\u2c6metro, temos
dx1
d\u3bb
|\u3bb=0.8 = 25
de modo que, como x1(0.8) = 5, enta\u2dco
x1(0.88) \u223c= x1(0.8) + 25(0.08) = 7.