Topicos de Algebra Linear (Sistemas Lineares)   Paulo Agozzini Martin e Maria Lucia Singer
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Topicos de Algebra Linear (Sistemas Lineares) Paulo Agozzini Martin e Maria Lucia Singer


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produzindo coe\ufb01cientes nulos:
x1 + x2 \u2212 2x3 = 1
3x1 \u2212 x2 + x3 = 2
x1 \u2212 x2 + 3x3 = 4
\u223c
x1 + x2 \u2212 2x3 = 1
\u22124x2 + 7x3 = \u22121
x1 \u2212 x2 + 3x3 = 4
10 1. SISTEMAS LINEARES
Acima trocamos a segunda equac¸a\u2dco E2 = 2 por E2 \u2212 3E1 = 2 \u2212 3 · 1.
Podemos tambe´m trocar E3 = 4 por E3 \u2212 E1 = 4\u2212 1:
x1 + x2 \u2212 2x3 = 1
\u22124x2 + 7x3 = \u22121
x1 \u2212 x2 + 3x3 = 4
\u223c
x1 + x2 \u2212 2x3 = 1
\u22124x2 + 7x3 = \u22121
\u22122x2 + 5x3 = 3
Finalmente, trocamos E3 = 3 por 2 · E3 \u2212 E2 = 2 · 3\u2212 (\u22121):
x1 + x2 \u2212 2x3 = 1
\u22124x2 + 7x3 = \u22121
\u22122x2 + 5x3 = 3
\u223c
x1 + x2 \u2212 2x3 = 1
\u22124x2 + 7x3 = \u22121
3x3 = 7
e agora resolvemos recursivamente, de baixo para cima. O u´ltimo sis-
tema tem uma forma particularmente simples e vamos chama´-lo de
sistema escalonado, pela sua forma de escada
x1 + x2 \u2212 2x3 = 1
\u22124x2 + 7x3 = \u22121
3x3 = 7.
Embora essa forma ja´ nos permita resolver o sistema, podemos con-
tinuar simpli\ufb01cando as equac¸o\u2dces, se assim o desejarmos: substituimos
E3 = 7 por (1/3)E3 = (7/3) e obtemos
x1 + x2 \u2212 2x3 = 1
\u22124x2 + 7x3 = \u22121
x3 = 7/3.
No lugar da segunda equac¸a\u2dco E2 = \u22121 colocamos E2 \u2212 7E3 = \u22121 \u2212
7(7/3) e no lugar da primeira equac¸a\u2dco E1 = 1 colocamos E1 + 2E3 =
1 + 2(7/3):
x1 + x2 = 17/3
\u22124x2 = \u221252/3
x3 = 7/3.
Multiplicando a segunda equac¸a\u2dco por \u22121/4 e trocando a primeira equa-
c¸a\u2dco pela diferenc¸a das duas primeiras:
2. SISTEMAS EQUIVALENTES. 11
x1 = 4/3
x2 = 13/3
x3 = 7/3.
Esse processo de escalonamento e´ chamado de escalonamento com-
pleto. Esse exemplo sugere que todo sistema linear pode ser reduzido,
por meio de uma seque\u2c6ncia de operac¸o\u2dces elementares, a um sistema na
forma escalonada.
CAP´\u131TULO 2
O ME´TODO DE GAUSS
1. Escalonamento
Um sistema linear de m equac¸o\u2dces e n inco´gnitas e´ dito um sistema
escalonado se estiver na seguinte forma:
a1k1xk1 + a1(k1+1)xk1+1 + a1(k1+2)xk1+2 + · · ·+ a1nxn = b1
a2k2xk2 + a2(k2+1)xk2+1 + · · ·+ a2nxn = b2
...........................................................
atktxkt + · · ·+ atnxn = bt
0 · x1 + · · · 0 · xn = bt+1
...................................
0 · x1 + · · · 0 · xn = bm
onde 1 \u2264 k1 < k2 < · · · < kt \u2264 n e aiki \ufffd= 0 para todo 1 \u2264 i \u2264 t.
A apare\u2c6ncia terr´\u131vel desse sistema desaparece se o olharmos com boa
vontade: o escalonamento se traduz no simples fato de que o segmento
inicial de coe\ufb01cientes nulos vai aumentando, da primeira equac¸a\u2dco ate´ a
u´ltima. As equac¸o\u2dces com todos os coe\ufb01cientes nulos \u2013 precisamente, da
(t+1)-e´sima equac¸a\u2dco ate´ a m-e´sima equac¸a\u2dco \u2013 acarretam a inexiste\u2c6ncia
de soluc¸o\u2dces caso algum bj \ufffd= 0 onde t + 1 \u2264 j \u2264 m. A raza\u2dco pela qual
essas u´ltimas equac¸o\u2dces esta\u2dco presentes na de\ufb01nic¸a\u2dco e´ que elas podem
aparecer no processo de escalonamento, como o exemplo abaixo ilustra:
x1 + x2 = 2
x1 + 2x2 = 1
3x1 + 7x2 = 5
\u223c
x1 + x2 = 2
\u2212x2 = 1
4x2 = \u22121
\u223c
x1 + x2 = 2
x2 = \u22121
x2 = \u22121/4
\u223c
x1 + x2 = 2
x2 = \u22121
0x1 + 0x2 = \u22123/4
Vejamos tre\u2c6s exemplos signi\ufb01cativos de sistemas escalonados: o pri-
meiro e´ um sistema com mais inco´gnitas do que equac¸o\u2dces:
13
14 2. O ME´TODO DE GAUSS
x1 \u2212 x2 + x3 \u2212 x4 = 1
x2 \u2212 x3 + x4 = 1
x3 \u2212 x4 = 2.
Deixamos x4 livre e pomos x3 = 2 + x4. Substituindo na segunda
equac¸a\u2dco obtemos x2 = 1+ (2+ x4)\u2212 x4 = 3. Substituindo na primeira
equac¸a\u2dco x1 = 1 + (3)\u2212 (2 + x4) + x4 = 2 ou seja, o conjunto soluc¸a\u2dco e´
um conjunto in\ufb01nito:
S = {(2, 3, 2 + a, a) \u2208 R3 : a \u2208 R}.
No segundo exemplo temos o mesmo nu´mero de inco´gnitas e de
equac¸o\u2dces:
x1 \u2212 x2 + x3 \u2212 x4 = 1
x2 \u2212 x3 + x4 = 1
x3 \u2212 x4 = 2.
x4 = 1
Nesse caso temos x4 = 1, x3 = 3, x2 = 3 e x1 = 2. O conjunto
soluc¸a\u2dco e´ um conjunto unita´rio:
S = {(2, 3, 3, 1)}.
No terceiro exemplo temos mais equac¸o\u2dces do que inco´gnitas:
x1 \u2212 x2 + x3 = 1
x2 \u2212 x3 = 1
x3 = 2.
0 · x3 = 2
E´ claro que esse sistema na\u2dco possui soluc¸a\u2dco.
Os exemplos acima mostram que e´ fa´cil decidir se um sistema esca-
lonado possui soluc¸o\u2dces e que e´ igualmente fa´cil encontra´-las. Podemos
resumir a ana´lise do caso escalonado no lema abaixo, cuja demosntrac¸a\u2dco
e´ evidente:
1. ESCALONAMENTO 15
Lema 1.1. Consideremos um sistema linear escalonado de m equa-
c¸o\u2dces e n inco´gnitas. Enta\u2dco, com a mesma notac¸a\u2dco do in´\u131cio da sec¸a\u2dco,
podemos concluir:
1) Se bj \ufffd= 0 para algum t + 1 \u2264 j \u2264 m, o sistema na\u2dco possui
soluc¸a\u2dco.
2) Se bj = 0 para todo t + 1 \u2264 j \u2264 m e se kt = n, o sistema possui
uma u´nica soluc¸a\u2dco.
3) Se bj = 0 para todo t + 1 \u2264 j \u2264 m e se kt < n, o sistema possui
uma in\ufb01nidade de soluc¸o\u2dces.
Para compreender os sistemas lineares, precisamos provar que dado
um sistema linear, ele e´ equivalente a um sistema escalonado. Esse e´ o
objetivo do pro´ximo
Teorema 1.2. Dado um sistema linear de m equac¸o\u2dces e n inco´g-
nitas
a11x1 + · · ·+ a1nxn = b1
a21x1 + · · ·+ a2nxn = b2
...............................
am1x1 + · · ·+ amnxn = bm
onde nenhuma equac¸a\u2dco e´ do tipo 0 = 0, podemos reduz´\u131-lo a um sistema
escalonado por meio de um nu´mero \ufb01nito de operac¸o\u2dces elementares.
Prova: Reordenando as equac¸o\u2dces (se necessa´rio), reescrevemos o
sistema de modo que o segmento inicial de coe\ufb01cientes nulos seja na\u2dco
decrescente, isto e´:
a\u20321k1xk1 + · · ·+ a\u20321nxn = b\u20321
a\u20322k2xk2 + · · ·+ a\u20322nxn = b\u20322
......................................
a\u2032tktxkt + · · ·+ a\u2032tnxn = b\u2032t
0x1 + · · ·+ 0xn = bt+1
.........................
0x1 + · · ·+ 0xn = bm
16 2. O ME´TODO DE GAUSS
onde 1 \u2264 k1 \u2264 k2 \u2264 · · · \u2264 km \u2264 n e a\u2032iki \ufffd= 0. Como a\u20321k1 \ufffd= 0, para
cada i = 2, 3, . . . ,m subtra´\u131mos (a\u2032iki/a
\u2032
1k1
) vezes a primeira equac¸a\u2dco da
i-e´sima equac¸a\u2dco, chegando ao sistema equivalente:
a\u20321k1xk1 + a
\u2032
1(k1+1)
xk1+1 · · ·+ a\u20321nxn = b\u20321
a\u2032\u20322l2xl2 + · · ·+ a\u2032\u20322nxn = b\u2032\u20322
.........................................
a\u2032\u2032tltxlt + · · ·+ a\u2032\u2032tnxn = b\u2032\u2032t
0x1 + · · ·+ 0xn = bt+1
.........................
0x1 + · · ·+ 0xn = bm
onde 1 \u2264 k1 < l2 \u2264 l3 \u2264 · · · \u2264 lm \u2264 n. Observe-se que k1 < l2, de
modo que demos o primeiro passo para o escalonamento. As (m \u2212 1)
u´ltimas equac¸o\u2dces na\u2dco dependem mais da varia´vel x1k1 e portanto pode-
mos retomar a ana´lise inicial: reordenando as (m\u22121) u´ltimas equac¸o\u2dces
(se necessa´rio), colocamos o sistema de modo a poder eliminar a de-
pende\u2c6ncia de uma outra varia´vel e continuamos o processo do mesmo
modo. Como em cada passo criamos um degrau, o resultado \ufb01nal sera´
um sistema escalonado. Isso termina a prova do teorema. \ufffd
2. Sistemas homoge\u2c6neos e sistemas na\u2dco-homoge\u2c6neos
Consideremos o sistema linear na\u2dco-homoge\u2c6neo (algum bj \ufffd= 0)
a11x1 + · · ·+ a1nxn = b1
a21x1 + · · ·+ a2nxn = b2
...............................
am1x1 + · · ·+ amnxn = bm
O sistema linear homoge\u2c6neo que possui os mesmos coe\ufb01cientes do
sistema anterior:
2. SISTEMAS HOMOGE\u2c6NEOS E SISTEMAS NA\u2dcO-HOMOGE\u2c6NEOS 17
a11x1 + · · ·+ a1nxn = 0
a21x1 + · · ·+ a2nxn = 0
...............................
am1x1 + · · ·+ amnxn = 0
sera´ chamado de sistema homoge\u2c6neo associado ao sistema na\u2dco homoge\u2c6-
neo dado. A questa\u2dco que nos propomos tratar nesta sec¸a\u2dco e´ a seguinte:
existe alguma relac¸a\u2dco entre as soluc¸o\u2dces desses dois sistemas?
Uma primeira observac¸a\u2dco se impo\u2dce: suponhamos que (u1, . . . , un) \u2208
Rn seja uma soluc¸a\u2dco do sistema na\u2dco-homoge\u2c6neo (estamos supondo que
existam soluc¸o\u2dces e que escolhemos uma delas ao acaso).
Fixada essa soluc¸a\u2dco, podemos fabricar outras soluc¸o\u2dces de modo bem
simples, utilizando as soluc¸o\u2dces do sistema homoge\u2c6neo associado: seja
(h1, . . . , hn) \u2208 Rn uma soluc¸a\u2dco qualquer do sistema homoge\u2c6no associ-
ado; enta\u2dco
(u1 + h1, . . . , un + hn) \u2208 Rn
tambe´m e´ soluc¸a\u2dco do sistema na\u2dco-homoge\u2c6neo dado. A veri\ufb01cac¸a\u2dco desse
fato e´ imediata, e e´ conseque\u2c6ncia da propriedade distributiva da mul-
tiplicac¸a\u2dco dos nu´meros reais:
n\u2211
j=1
aij(uj + hj) =
\u2211
j=1
aijuj +
n\u2211
j=1
aijhj = bi + 0 = bi,
para todo 1 \u2264 i \u2264 m. Na verdade, um pouco mais