Topicos de Algebra Linear (Sistemas Lineares)   Paulo Agozzini Martin e Maria Lucia Singer
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Topicos de Algebra Linear (Sistemas Lineares) Paulo Agozzini Martin e Maria Lucia Singer


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e´ verdadeiro:
Teorema 2.1. Se (u1, . . . , un) \u2208 Rn e´ uma soluc¸a\u2dco \ufb01xada de um
sistema linear na\u2dco-homoge\u2c6neo, enta\u2dco todas as soluc¸o\u2dces desse sistema
na\u2dco-homoge\u2c6neo sa\u2dco da forma
(u1 + h1, . . . , un + hn) \u2208 Rn
onde (h1, . . . , hn) \u2208 Rn percorre as soluc¸o\u2dces do sistema homoge\u2c6neo
associado.
Prova: Falta provar apenas que toda soluc¸a\u2dco tem a forma enunciada
no teorema. Suponhamos que (z1, . . . , zn) seja uma soluc¸a\u2dco do sistema
na\u2dco-homoge\u2c6neo. Enta\u2dco para cada 1 \u2264 i \u2264 m temos
n\u2211
j=1
aijzj = bi.
18 2. O ME´TODO DE GAUSS
Mas por hipo´tese sabemos que
\u2211n
j=1 aijuj = bi, para todo 1 \u2264 i \u2264
m. Subtraindo essas duas equac¸o\u2dces obtemos
n\u2211
j=1
aij(uj \u2212 zj) = 0,
ou seja, a n-upla (u1 \u2212 z1, . . . , un \u2212 zn) \u2208 Rn e´ soluc¸a\u2dco do sistema
homoge\u2c6neo associado. Se de\ufb01nirmos hj = zj\u2212uj enta\u2dco temos o teorema
demonstrado. \ufffd
O resultado acima e´ interessante tambe´m porque sugere que pode-
mos de\ufb01nir uma adic¸a\u2dco em Rn da seguinte maneira:
(u1, . . . , un) + (h1, . . . , hn) := (u1 + h1, . . . , un + hn).
E´ claro que essa adic¸a\u2dco de n-uplas e´ associativa, comutativa, tem
(0, . . . , 0) como elemento neutro, e cada n-upla (u1, . . . , un) tem um
oposto, a saber (\u2212u1, . . . ,\u2212un). Essa soma e´ uma generalizac¸a\u2dco natural
da soma dos nu´meros reais (que e´ o conjunto das 1-uplas, ou R1). Um
conjunto G munido com uma operac¸a\u2dco de adic¸a\u2dco que satisfaz as quatro
propriedades mencionadas acima e´ chamado de grupo abeliano. E´ muito
fa´cil de ver que o conjunto soluc¸a\u2dco de um sistema linear homoge\u2c6neo e´
um grupo abeliano, com a adic¸a\u2dco em Rn de\ufb01nida acima!
CAP´\u131TULO 3
MATRIZES
1. Operac¸o\u2dces com sistemas lineares
Dados dois sistemas lineares com m equac¸o\u2dces e n inco´gnitas,
n\u2211
j=1
aijxj = bi,
n\u2211
j=1
a\u2032ijxj = b
\u2032
i,
com 1 \u2264 i \u2264 m, podemos realizar diversas operac¸o\u2dces com esses siste-
mas, de modo a obter outros sistemas lineares. Por exemplo, podemos
soma´-los da seguinte maneira:
n\u2211
j=1
(aij + a
\u2032
ij)xj = bi + b
\u2032
i, 1 \u2264 i \u2264 m
obtendo um outro sistema. Podemos tambe´m multiplica´-los por nu´me-
ros reais \u3b1, \u3b2 da seguinte maneira:
n\u2211
j=1
\u3b1aijxj = \u3b1bi,
n\u2211
j=1
\u3b2a\u2032ijxj = \u3b2b
\u2032
i, 1 \u2264 i \u2264 m.
Podemos tambe´m compor sistemas lineares, como por exemplo os
sistemas
n\u2211
j=1
aijxj = bi,
p\u2211
j=1
a\u2032ijyj = xi,
onde o sistema do lado esquerdo possui m equac¸o\u2dces e n inco´gnitas, e
o do lado direito possui n equac¸o\u2dces e p inco´gitas. Se substituirmos
o sistema do lado direito no sistema do lado esquerdo, obteremos um
sistema com m equac¸o\u2dces e p inco´gnitas (mais adiante faremos essas
contas).
Cada sistema resultante dessas operac¸o\u2dces tem os seus coe\ufb01cientes
determinados de maneira precisa, em func¸a\u2dco da operac¸a\u2dco realizada, e
19
20 3. MATRIZES
podemos visualizar esses processos com extrema clareza se introduzir-
mos uma notac¸a\u2dco mais fa´cil de manejar. Vamos representar um sistema
linear
a11x1 + · · ·+ a1nxn = b1
a21x1 + · · ·+ a2nxn = b2
...............................
am1x1 + · · ·+ amnxn = bm
na chamada forma matricial: introduzimos a matriz m × n (dizemos
que a matriz possui m linhas e n colunas) dos coe\ufb01cientes
A =
\uf8eb
\uf8ec\uf8ec\uf8ed
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
· · · ·
am1 am2 · · · amn
\uf8f6
\uf8f7\uf8f7\uf8f8
e escrevemos a n-upla das varia´veis como uma matriz n × 1, isto e´,
uma n-upla vertical (vamos chama´-la de transposta da n-upla usual).
Assim, se x = (x1, . . . , xn)
t e b = (b1, . . . , bm)
t, o sistema inicial pode
ser escrito como
Ax = b,
ou, mais explicitamente,
\uf8eb
\uf8ec\uf8ec\uf8ed
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
· · · ·
am1 am2 · · · amn
\uf8f6
\uf8f7\uf8f7\uf8f8 ·
\uf8eb
\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
x1
x2
·
·
xn
\uf8f6
\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8 =
\uf8eb
\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
b1
b2
·
·
bm
\uf8f6
\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8
onde a multiplicac¸a\u2dco A · x e´ a multiplicac¸a\u2dco que de\ufb01niremos a seguir
(para matrizes em geral).
Se A = (aij) e´ uma matriz m× n e A\u2032 = (a\u2032kl) e´ uma matriz n× p
enta\u2dco a matriz AA\u2032 = (cij) e´ uma matriz m × p cujos coe\ufb01cientes sa\u2dco
dados por
cij =
n\u2211
k=1
aika
\u2032
kj.
Essa multiplicac¸a\u2dco aparentemente complicada nasceu da composi-
c¸a\u2dco de sistemas que mencionamos acima; de fato, se
1. OPERAC¸O\u2dcES COM SISTEMAS LINEARES 21
n\u2211
j=1
aijxj = bi, 1 \u2264 i \u2264 m
e´ o sistema com m equac¸o\u2dces e n inco´gnitas e se
p\u2211
k=1
a\u2032jkyk = xj, 1 \u2264 j \u2264 n
e´ o sistema com n equac¸o\u2dces e p inco´gnitas, a composic¸a\u2dco fornece
n\u2211
j=1
aij
(
p\u2211
k=1
a\u2032jkyk
)
= bi, 1 \u2264 i \u2264 m
ou seja,
p\u2211
k=1
(
n\u2211
j=1
aija
\u2032
jk
)
yk = bi,
de modo que dentro dos pare\u2c6nteses apareceram os novos coe\ufb01cientes,
que sa\u2dco exatamente os obtidos pela multiplicac¸a\u2dco matricial acima de-
\ufb01nida.
Vamos denotar por Mm,n(R) o conjunto de todas as matrizes com
m linhas e n colunas. Aqui m e n sa\u2dco nu´meros inteiros com m,n \u2265 1.
Denotaremos os elementos de Mm,n(R) por (aij), subentendendo que
1 \u2264 i \u2264 m e 1 \u2264 j \u2264 n.
A` soma de sistemas lineares corresponde uma soma de matrizes: se
A = (aij) e A = (a
\u2032
ij) sa\u2dco duas matrizes de Mm,n(R), de\ufb01nimos a sua
soma como sendo a matriz C = (cij) de Mm,n(R) onde cij = aij + a
\u2032
ij,
ou seja, somamos coe\ufb01ciente a coe\ufb01ciente. Podemos tambe´m de\ufb01nir
uma multiplicac¸a\u2dco de matriz por nu´mero real: se \u3b1 \u2208 R e A = (aij) \u2208
Mm,n(R), de\ufb01nimos a matriz \u3b1A por
\u3b1A = (\u3b1aij) .
Para o produto de matrizes (que traduz a ide´ia de composic¸a\u2dco de
sistemas lineares e tambe´m a ide´ia de mudanc¸a de varia´veis) temos que
multiplicar uma A = (aij) \u2208 Mm,n(R) por uma A\u2032 = (a\u2032ij) \u2208 Mn,p(R)
do modo anteriormente de\ufb01nido:
AA\u2032 = (cij) \u2208 Mm,p(R), cij =
n\u2211
k=1
aika
\u2032
kj.
22 3. MATRIZES
O leitor deve observar que quando m = n o produto de matri-
zes acima fornece outra matriz de Mm,m(R), de modo que esse caso
merece uma atenc¸a\u2dco especial. Doravante vamos representar o con-
junto Mm,m(R) simplesmente por Mm(R). Uma matriz de Mm(R)
sera´ chamada de matriz quadrada de ordem m. Os teoremas abaixo,
cuja demonstrac¸a\u2dco e´ elementar, apresentam as principais propriedades
das operac¸o\u2dces introduzidas:
Teorema 1.1. As operac¸o\u2dces de adic¸a\u2dco e multiplicac¸a\u2dco por nu´mero
real que foram de\ufb01nidas para Mm,n(R) te\u2c6m as seguintes propriedades:
A1) (Associatividade) A + (B + C) = (A + B) +C, \u2200A,B,C \u2208
Mm,n(R).
A2) (Comutatividade) A + B = B + A, \u2200A,B \u2208 Mm,n(R).
A3) (Elemento neutro) \u22030 \u2208 Mm(R) tal que A + 0 = A \u2200A \u2208
Mm,n(R).
A4)(Existe\u2c6ncia de oposto) Dada uma A \u2208 Mm,n(R) existe B \u2208
Mm,n(R) tal que A + B = 0.
M1) (\u3b1 + \u3b2)A = \u3b1A + \u3b2A, \u2200A \u2208 Mm,n(R) e \u2200\u3b1, \u3b2 \u2208 R.
M2) \u3b1(A + B) = \u3b1A + \u3b1B, \u2200A,B \u2208 Mm,n(R) e \u2200\u3b1 \u2208 R.
M3) \u3b1 (\u3b2A) = (\u3b1\u3b2)A, \u2200A \u2208 Mm,n(R) e \u2200\u3b1, \u3b2 \u2208 R.
M4) 1 · A = A, \u2200A \u2208 Mm,n(R).
Teorema 1.2. A operac¸a\u2dco de produto de matrizes em Mn(R) pos-
sui as seguintes propriedades:
AL1) A(BC) = (AB)C, \u2200A,B,C \u2208 Mn(R).
AL2) A(B + C) = AB + AC, \u2200A,B,C \u2208 Mn(R).
AL3) (B + C)A = BA + CA, \u2200A,B,C \u2208 Mn(R).
AL4) \u3b1(AB) = A(\u3b1B), \u2200A,B \u2208 Mn(R) e \u2200\u3b1 \u2208 R.
AL5) \u2203I \u2208 Mn(R) tal que IA = AI = A \u2200A \u2208 Mn(R).
A matriz 0 da propriedade A3) e´ chamada de matriz nula, e e´ a
matriz 0 = (aij) com aij = 0. A matriz I da propriedade AL5) e´
chamada de matriz identidade e por vezes e´ denotada In, para explicitar
que e´ um elemento de Mn(R). Temos que In = (aij) com aii = 1 e
aij = 0 se i \ufffd= j:
In =
\uf8eb
\uf8ec\uf8ec\uf8ed
1 0 · · · 0
0 1 · · · 0
· · · ·
0 · · · 0 1
\uf8f6
\uf8f7\uf8f7\uf8f8
1. OPERAC¸O\u2dcES COM SISTEMAS LINEARES 23
onde
As propriedades acima nos dizem que Mm,n(R) e´ um conjunto muito
rico do ponto de vista estrutural: por ter as propriedades A1)- A4)
Mm,n(R) e´ um grupo abeliano; esse fato, juntamente com as proprie-
dades M1) - M4), fazem com que Mm,n(R) seja um espac¸o vetorial, e,
ale´m disso, como valem tambe´m AL1) - AL5), Mn(R) e´ uma a´lgebra
associativa com unidade. O leitor interessado em saber mais sobre es-
sas estruturas alge´bricas pode consultar, por exemplo, Basic Algebra
volumes I e II de N. Jacobson.
Vimos acima a de\ufb01nic¸a\u2dco da transposta