Topicos de Algebra Linear (Sistemas Lineares)   Paulo Agozzini Martin e Maria Lucia Singer
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Topicos de Algebra Linear (Sistemas Lineares) Paulo Agozzini Martin e Maria Lucia Singer


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de uma matriz 1 × n. A
generalizac¸a\u2dco dessa noc¸a\u2dco nos sera´ muito u´til: dada uma matriz A =
(aij) \u2208 Mm,n(R) de\ufb01nimos a sua transposta At \u2208 Mn,m(R) por
At = (cij) \u2208 Mn,m(R), onde cij = aji.
Observe que as linhas de A se transformam nas colunas de At, por
exemplo:
se A =
\uf8eb
\uf8ed a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
\uf8f6
\uf8f8 , enta\u2dco At =
\uf8eb
\uf8ed a11 a21 a31a12 a22 a32
a13 a23 a33
\uf8f6
\uf8f8 .
Identi\ufb01camos Rn com M1,n(R). A transposta u
t de uma n-upla
u \u2208 Rn e´ um elemento de Mn,1(R), que tambe´m continuaremos a
chamar de n-upla.
Se A,B \u2208 Mm,n(R) e \u3b1 \u2208 R, o leitor pode veri\ufb01car como exerc´\u131cio
que a transposic¸a\u2dco possui as seguintes propriedades: dadas A,B \u2208
Mm,n(R),
1) (A + B)t = At + Bt
2) (\u3b1A)t = \u3b1At
3) (At)t = A
4) (AB)t = BtAt
Assim, de um modo bem formal, podemos reescrever os nossos ob-
jetivos iniciais: dada uma matrix A com m linhas e n colunas e coe-
\ufb01cientes reais e dada uma n-upla de nu´meros reais b = (b1, . . . , bm)
t,
decidir se o sistema de m equac¸o\u2dces e n inco´gnitas
Ax = b
24 3. MATRIZES
possui soluc¸o\u2dces e, em caso a\ufb01rmativo, encontra´-las. O conjunto de
todas as soluc¸o\u2dces desse sistema e´ um subconjunto do Rn
S = {ut = (u1, . . . , un) \u2208 Rn : Au = b}.
2. Matrizes Invers´\u131veis
Consideremos o sistema linear
Ax = b,
onde A \u2208 Mm,n(R), x = (x1, . . . , xn)t e b = (b1, . . . , bm)t. Ja´ vimos
que o seu conjunto soluc¸a\u2dco S e´ um subconjunto do Rn que pode ser
igualmente descrito por inu´meros outros sistemas equivalentes. Supo-
nhamos que S seja um conjunto unita´rio, isto e´, um conjunto com uma
u´nica n-upla. O que podemos dizer de m e n? Uma primeira observa-
c¸a\u2dco: necessariamente m \u2265 n, pois caso contra´rio, um sistema com mais
inco´gnitas do que equac¸o\u2dces continuara´ com essa propriedade na forma
escalonada, e enta\u2dco S teria que ser um conjunto in\ufb01nito. Se m > n a
forma escalonada do sistema tem que ser a seguinte:
c11x1 + c12x2 + · · ·+ c1nxn = d1
c22x2 + · · ·+ c2nxn = d2
..............................
cnnxn = dn
0x1 + · · ·+ 0xn = 0
.....................
0x1 + · · ·+ 0xn = 0
onde necessariamente cjj \ufffd= 0. Isso nos mostra que embora tenhamos m
equac¸o\u2dces, com m > n, apenas n equac¸o\u2dces sa\u2dco realmente independentes;
as demais foram eliminadas no processo de escalonamento, fornecendo
equac¸o\u2dces do tipo 0 = 0. Assim, quando S e´ um conjunto unita´rio,
na\u2dco ha´ perda de generalidade em considerarmos sistemas com tantas
equac¸o\u2dces quantas forem as inco´gnitas. Portanto, vamos supor que a
nossa matriz A do sistema inicial e´ uma matriz de Mn(R), isto e´, uma
matriz n× n (e´ claro que tambe´m b sera´ uma matriz n× 1). Como o
produto de duas matrizes n× n fornece tambe´m uma matriz n× n, a
equac¸a\u2dco
2. MATRIZES INVERSI´VEIS 25
(1) Ax = b
sugere uma abordagem formal: se existir B \u2208 Mn(R) tal que BA = In,
enta\u2dco, multiplicando a equac¸a\u2dco (1) por B pela esquerda obtemos
B(Ax) = Bb,
de onde
(BA)x = Inx = x = Bb,
e conseguimos o valor da soluc¸a\u2dco x. E´ como se estive´ssemos pensando
numa equac¸a\u2dco do tipo
ax = b
onde a, b \u2208 R e quando a \ufffd= 0 busca´ssemos dividir por a: x = b/a.
Definic¸a\u2dco 2.1. Dizemos que uma matriz A \u2208 Mn(R) e´ invert´\u131vel
se existir uma matriz B \u2208 Mn(R) tal que BA = I.
Uma conseque\u2c6ncia simples da de\ufb01nic¸a\u2dco:
Lema 2.2. Seja A \u2208 Mn(R) uma matriz invert´\u131vel. Enta\u2dco o sistema
Ax = b tem soluc¸a\u2dco u´nica.
Prova: Seja B \u2208 Mn(R) uma matriz tal que BA = I. Vamos
mostrar que o sistema homoge\u2c6neo Ax = 0 tem soluc¸a\u2dco u´nica. De fato,
se x1 for outra soluc¸a\u2dco enta\u2dco
Ax1 = A0 = 0,
multiplicamos por B a` esquerda e obtemos x1 = 0. A forma escalonada
desse sistema e´:
a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = 0
a22x2 + · · ·+ a2nxn = 0
...........................
annxn = 0
onde necessariamente aii \ufffd= 0, pela unicidade da soluc¸a\u2dco. Mas isso
implica que o sistema na\u2dco-homoge\u2c6neo Ax = b tambe´m tem soluc¸a\u2dco
u´nica! Isso prova o lema. \ufffd
26 3. MATRIZES
Observac¸a\u2dco 2.3. A prova acima fornece uma observac¸a\u2dco impor-
tante: se um dado sistema Ax = b (com A \u2208 Mn(R)) tem soluc¸a\u2dco
u´nica, enta\u2dco Ax = b\u2032 tera´ soluc¸a\u2dco u´nica, qualquer que seja b\u2032. Ou
seja, a propriedade de ter soluc¸a\u2dco u´nica depende apenas da matriz A.
Lema 2.4. Se A \u2208 Mn(R) e Ax = b tem soluc¸a\u2dco u´nica, enta\u2dco
existe uma matriz C \u2208 Mn(R) tal que AC = I.
Prova: Pela observac¸a\u2dco acima, Ax = b tera´ soluc¸a\u2dco u´nica para todo
b. Escolhemos
b1 =
\uf8eb
\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
1
0
·
·
0
\uf8f6
\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8 , b2 =
\uf8eb
\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
0
1
·
·
0
\uf8f6
\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8 , · · · , bn =
\uf8eb
\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
0
0
·
·
1
\uf8f6
\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8
com as respectivas soluc¸o\u2dces
x1 =
\uf8eb
\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
c11
c21
·
·
cn1
\uf8f6
\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8 , x2 =
\uf8eb
\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
c12
c22
·
·
cn2
\uf8f6
\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8 , · · · , xn =
\uf8eb
\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ec\uf8ed
c1n
c2n
·
·
cnn
\uf8f6
\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f7\uf8f8 .
Se montarmos C = (cij), e´ claro que, como Axj = bj, teremos AC = I.
Isso prova o lema. \ufffd
Finalmente, podemos concluir:
Teorema 2.5. Seja A \u2208 Mn(R) uma matriz invert´\u131vel. Enta\u2dco
existe uma u´nica matriz B \u2208 Mn(R) tal que BA = I e essa matriz B
veri\ufb01ca tambe´m AB = I.
Prova: Como A e´ invert´\u131vel, o lema 2.2 garante que Ax = b tem
soluc¸a\u2dco u´nica. Mas enta\u2dco o lema 2.4 garante a existe\u2c6ncia de uma u´nica
matriz C \u2208 Mn(R) tal que AC = I. Como A e´ invert´\u131vel, seja B uma
matriz tal que BA = I. Enta\u2dco
B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C,
ou seja, CA = AC = I. Isso termina a prova do teorema. \ufffd
Vamos denominar a matriz B do teorema acima por A\u22121. Ela sera´
chamada de a inversa da matriz A.
Podemos concluir o estudo da relac¸a\u2dco entre sistemas com soluc¸a\u2dco
u´nica e matrizes invert´\u131veis:
2. MATRIZES INVERSI´VEIS 27
Teorema 2.6. Seja A \u2208 Mn(R). O sistema Ax = b tem soluc¸a\u2dco
u´nica se e somente se A for invert´\u131vel.
Prova: Se Ax = b tem soluc¸a\u2dco u´nica enta\u2dco a prova do Teorema 2.5
garante que A e´ invert´\u131vel. A rec´\u131proca foi provada no lema 2.2. \ufffd
Se soubermos que uma determinada matriz A e´ invert´\u131vel, como
calcular a sua inversa? Podemos proceder observando que: se A = (aij)
e´ a matriz invert´\u131vel e B = (xij), matriz de inco´gnitas, e´ a sua inversa
enta\u2dco AB = I. Matricialmente:
\uf8ee
\uf8f0 a11 · · · a1n· · · · ·
an1 · · · ann
\uf8f9
\uf8fb
\uf8ee
\uf8f0 x11 · · · x1n· · · · ·
xn1 · · · xnn
\uf8f9
\uf8fb =
\uf8ee
\uf8f0 1 · · · 0· · · · ·
0 · · · 1
\uf8f9
\uf8fb ,
e portanto, se considerarmos as inco´gnitas por colunas, teremos n sis-
temas lineares:\uf8ee
\uf8f0 a11 · · · a1n· · · · ·
an1 · · · ann
\uf8f9
\uf8fb
\uf8ee
\uf8f0 x11·
xn1
\uf8f9
\uf8fb =
\uf8ee
\uf8f0 1·
0
\uf8f9
\uf8fb , · · ·
· · · ,
\uf8ee
\uf8f0 a11 · · · a1n· · · · ·
an1 · · · ann
\uf8f9
\uf8fb
\uf8ee
\uf8f0 x1n·
xnn
\uf8f9
\uf8fb =
\uf8ee
\uf8f0 0·
1
\uf8f9
\uf8fb
que podemos resolver simultaneamente, por escalonamento completo
da matriz: \uf8ee
\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
a11 · · · a1n | 1 · · · 0
a21 · · · a2n | 0 · · · 0
· · · · · · · | · · · · · · ·
· · · · · · · | · · · · · · ·
an1 · · · ann | 0 · · · 1
\uf8f9
\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb
Escalonando ate´ que o lado esquerdo \ufb01que sendo a matriz identidade.
Vemos que a matriz do lado direito e´ a matriz inversa procurada(cada
coluna dela e´ a soluc¸a\u2dco do sistema linear correspondente).
Exemplo 2.7. O sistema linear da pa´gina 7 nos fornece a seguinte
matriz
A =
\uf8ee
\uf8f0 1 1 \u221223 \u22121 1
1 \u22121 3
\uf8f9
\uf8fb .
28 3. MATRIZES
Vamos inverte\u2c6-la pelo processo acima:
\uf8ee
\uf8f0 1 1 \u22122 | 1 0 03 \u22121 1 | 0 1 0
1 \u22121 3 | 0 0 1
\uf8f9
\uf8fb \u223c
\uf8ee
\uf8f0 1 1 \u22122 | 1 0 00 4 \u22127 | 3 \u22121 0
1 \u22121 3 | 0 0 1
\uf8f9
\uf8fb \u223c
\uf8ee
\uf8f0 1 1 \u22122 | 1 0 00 4 \u22127 | 3 \u22121 0
0 2 \u22125 | 1 0 \u22121
\uf8f9
\uf8fb \u223c
\uf8ee
\uf8f0 1 1 \u22122 | 1 0 00 4 \u22127 | 3 \u22121 0
0 0 3 | 1 \u22121 2
\uf8f9
\uf8fb \u223c
\uf8ee
\uf8f0 1 1 \u22122 | 1 0 00 4 \u22127 | 3 \u22121 0
0 0 1 | 1/3 \u22121/3 2/3
\uf8f9
\uf8fb \u223c
\uf8ee
\uf8f0 1 1 \u22122 | 1 0 00 4 0 | 16/3 \u221210/3 14/3
0 0 1 | 1/3 \u22121/3 2/3
\uf8f9
\uf8fb \u223c
\uf8ee
\uf8f0 1 1 0 | 5/3 \u22122/3 4/30 1 0 | 4/3 \u22125/6 7/6
0 0 1 | 1/3 \u22121/3 2/3
\uf8f9
\uf8fb \u223c
\uf8ee
\uf8f0 1 0 0 | 1/3 1/6 1/60 1 0 | 4/3 \u22125/6 7/6
0 0 1 | 1/3 \u22121/3 2/3
\uf8f9
\uf8fb
de onde conclu´\u131mos que
A\u22121 =
\uf8ee
\uf8f0 1/3 1/6 1/64/3 \u22125/6 7/6
1/3 \u22121/3 2/3
\uf8f9
\uf8fb .
CAP´\u131TULO 4
DETERMINANTES