Topicos de Algebra Linear (Sistemas Lineares)   Paulo Agozzini Martin e Maria Lucia Singer
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Topicos de Algebra Linear (Sistemas Lineares) Paulo Agozzini Martin e Maria Lucia Singer


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Embora pude´ssemos adotar essa de\ufb01nic¸a\u2dco recursiva, preferimos,
para uma compreensa\u2dco mais profunda do assunto, seguir outro ca-
minho. Vamos examinar com cuidado as expresso\u2dces obtidas para os
determinantes de matrizes de ordens 2, 3 e 4 e tentar perceber algum
padra\u2dco.
Comec¸amos observando que os determinantes obtidos acima sa\u2dco
formados de parcelas bastante peculiares:
2. DEFINIC¸A\u2dcO E PROPRIEDADES 35
(\u22121)s(j1,j2)a1j1a2j2 ,
(\u22121)s(j1,j2,j3)a1j1a2j2a3j3 ,
(\u22121)s(j1,j2,j3,j4)a1j1a2j2a3j3a4j4 ,
onde (j1, j2, . . . , jk) assumem os poss´\u131veis arranjos (sa\u2dco k! arranjos) dos
inteiros {1, 2, . . . , k}, para k = 2, 3, 4. O inteiro s(j1, . . . , jk) depende
de alguma propriedade oculta no arranjo (j1, . . . , jk).
Tabelemos os arranjos com sinal positivo e os arranjos com sinal
negativo para as diversas ordens: para ordem 2
(1, 2).........(+)
(2, 1).........(\u2212)
para ordem 3
(1, 2, 3)........(+)
(2, 3, 1)........(+)
(3, 1, 2)........(+)
(3, 2, 1)........(\u2212)
(1, 3, 2)........(\u2212)
(2, 1, 3)........(\u2212)
e para ordem 4:
36 4. DETERMINANTES
(4, 3, 2, 1)........(+) (3, 4, 2, 1)........(\u2212)
(2, 4, 3, 1)........(+) (4, 2, 3, 1)........(\u2212)
(3, 2, 4, 1)........(+) (2, 3, 4, 1)........(\u2212)
(3, 4, 1, 2)........(+) (4, 3, 1, 2)........(\u2212)
(4, 1, 3, 2)........(+) (1, 4, 3, 2)........(\u2212)
(1, 3, 4, 2)........(+) (3, 1, 4, 2)........(\u2212)
(4, 2, 1, 3)........(+) (2, 4, 1, 3)........(\u2212)
(1, 4, 2, 3)........(+) (4, 1, 2, 3)........(\u2212)
(2, 1, 4, 3)........(+) (1, 2, 4, 3)........(\u2212)
(2, 3, 1, 4)........(+) (3, 2, 1, 4)........(\u2212)
(3, 1, 2, 4)........(+) (1, 3, 2, 4)........(\u2212)
(1, 2, 3, 4)........(+) (2, 1, 3, 4)........(\u2212)
Percebemos imediatamente algumas regularidades:
1. O arranjo identidade tem sempre sinal (+):
(1, 2).....(+), (1, 2, 3).....(+), (1, 2, 3, 4)......(+).
2. Arranjos que diferem do arranjo identidade por apenas uma
troca de posic¸a\u2dco entre dois elementos te\u2c6m sempre sinal (\u2212):
(2, 1)....(\u2212), (1, 3, 2)....(\u2212), (2, 1, 3)....(\u2212), (3, 2, 1)....(\u2212),
(2, 1, 3, 4)....(\u2212), (3, 2, 1, 4)....(\u2212), (4, 2, 3, 1)....(\u2212), (1, 3, 2, 4)....(\u2212),
(1, 4, 3, 2)....(\u2212), (1, 2, 4, 3)....(\u2212).
3. Dado um arranjo qualquer com sinal \u3b5, o arranjo obtido dele por
uma troca de posic¸a\u2dco entre dois elementos quaisquer tem sinal \u2212\u3b5.
Com essas tre\u2c6s observac¸o\u2dces ja´ podemos arriscar uma caracterizac¸a\u2dco
desse misterioso inteiro s e´: e´ o nu´mero de trocas necessa´rias para trazer
cada arranjo (j1, j2, . . . , jk) a` forma ordenada (1, 2, 3, . . . , k). Assim,
por exemplo, o arranjo (3, 1, 2) sofre duas trocas de posic¸a\u2dco:
(3, 1, 2) \u2212\u2192 (1, 3, 2) \u2212\u2192 (1, 2, 3),
de modo que s = 2. O arranjo (2, 1, 3) sofre apenas uma troca:
2. DEFINIC¸A\u2dcO E PROPRIEDADES 37
(2, 1, 3) \u2212\u2192 (1, 2, 3),
e portanto s = 1.
A caracterizac¸a\u2dco acima possui uma aparente fraqueza; consideremos
o arranjo (1, 3, 4, 2). Vamos fazer as trocas para obter (1, 2, 3, 4) de duas
maneiras distintas:
(1, 3, 4, 2) \u2212\u2192 (1, 2, 4, 3) \u2212\u2192 (1, 2, 3, 4)
onde s = 2, e tambe´m
(1, 3, 4, 2) \u2212\u2192 (3, 1, 4, 2) \u2212\u2192 (3, 1, 2, 4) \u2212\u2192
(2, 1, 3, 4) \u2212\u2192 (1, 2, 3, 4)
onde s = 4. Embora distintas, as duas maneiras produziram um valor
par para s. Como o fator (\u22121)s depende apenas de s ser par ou \u131´mpar,
essas duas maneiras distintas forneceram o mesmo sinal para a parcela
correspondente ao arranjo considerado. Sera´ que na\u2dco podera´ ocorrer
uma mudanc¸a na paridade de s, se \ufb01zermos outras trocas? O pro´ximo
lema, que deixaremos como exerc´\u131cio, garante que isso na\u2dco e´ poss´\u131vel!
Lema 2.1. Seja (j1, . . . , jn) um arranjo dos inteiros {1, 2, . . . , n}.
Se com s trocas levamos esse arranjo para o arranjo (1, 2, . . . , n) enta\u2dco
a paridade de s depende apenas do arranjo inicial dado.
Definic¸a\u2dco 2.2. Dada uma matriz quadrada de ordem n, A =
(aij) \u2208 Mn(R), de\ufb01nimos o seu determinante como a soma:
det(A) =
\u2211
J
(\u22121)s(J)a1j1a2j2 · · · anjn
feita sobre todos os n! arranjos J = (j1, . . . , jn) dos inteiros {1, 2, . . . , n}
e o inteiro s = s(J) correspondente e´ o nu´mero de trocas necessa´rias
para levar o arranjo J dado ao arranjo (1, 2, . . . , n).
E´ claro que precisamos veri\ufb01car se esse determinante, de\ufb01nido em
geral, preserva a propriedade que lhe deu origem, a saber: o sistema
Ax = 0 tem uma u´nica soluc¸a\u2dco se e somente se det(A) \ufffd= 0. Antes,
pore´m, vamos estudar algumas propriedades dos determinantes.
E´ muito frequente (como vimos no processo de escalonamento) en-
contrarmos matrizes na forma triangular, isto e´, uma matriz A = (aij),
onde aij = 0 se i > j:
38 4. DETERMINANTES
A =
\uf8eb
\uf8ec\uf8ec\uf8ed
a11 a12 · · · a1n
0 a22 · · · a2n
0 0 · · · a3n
0 0 · · · ann
\uf8f6
\uf8f7\uf8f7\uf8f8 ,
Vamos calcular o determinante dessa matriz triangular:
det(A) =
\u2211
(\u22121)sa1j1a2j2 · · · anjn ,
somando sobre os arranjos (j1, . . . , jn) de {1, 2, . . . , n}. Como aij = 0
se i > j, vemos que as parcelas onde jn \ufffd= n se anulam. Assim, \ufb01cam
apenas aquelas onde jn = n. Mas enta\u2dco a (n\u2212 1) upla (j1, . . . , jn\u22121) e´
um arranjo de (1, 2, . . . , n\u22121) e portanto a u´nica possibilidade de obter
parcelas na\u2dco nulas e´ jn\u22121 = n\u2212 1. Continuando o processo, obtemos
det(A) = a11a22 · · · ann.
Vamos resumir essa discussa\u2dco no seguinte lema:
Lema 2.3. Se A = (aij) e´ uma matriz quadrada de ordem n trian-
gular, i.e., se aij = 0 quando i > j enta\u2dco
det(A) = a11a22 · · · ann.
O lema acima tem um caso particular importante, o das matrizes
diagonais. Dizemos que uma matriz quadrada A = (aij) e´ uma matriz
diagonal se aij = 0 quando i \ufffd= j. O lema diz que o determinante
de uma matriz diagonal e´ o produto dos elementos da sua diagonal
principal.
Outro processo frequente na manipulac¸a\u2dco com matrizes e´ a transpo-
sic¸a\u2dco. E´ natural buscarmos saber qual a relac¸a\u2dco entre o determinante
de uma matriz A e o determinante da sua transposta At. Se A = (aij)
enta\u2dco At = (bij), onde bij = aji. Assim,
det(At) =
\u2211
(\u22121)sb1j1b2j2 · · · bnjn
=
\u2211
(\u22121)saj11aj22 · · · ajnn
=
\u2211
(\u22121)sa1k1a2k2 · · · ankn
= det(A)
2. DEFINIC¸A\u2dcO E PROPRIEDADES 39
Na passagem da segunda para a terceira linha acima usamos que
J = (j1, . . . , jn) e´ um arranjo de (1, 2, . . . , n) e portanto, pela comuta-
tividade do produto dos nu´meros reais, \ufb01zemos exatamente s(J) tro-
cas de posic¸a\u2dco no produto aj11aj22 · · · ajnn de modo a escreve\u2c6-lo como
a1k1a2k2 · · · ankn . Como cada troca e´ revers´\u131vel, se J \u2032 = (k1, k2, . . . , kn)
enta\u2dco s(J \u2032) = s(J), e obtivemos a forma requerida pela de\ufb01nic¸a\u2dco de
determinante. Vamos resumir essa discussa\u2dco no seguinte
Lema 2.4. Se A e´ uma matriz quadrada de ordem n enta\u2dco
det(A) = det(At).
Lema 2.5. Se B e´ uma matriz obtida a partir da matriz quadrada
A = (aij) permutando-se duas de suas linhas (ou duas de suas colunas)
enta\u2dco det(A) = \u2212det(B).
Prova: Suponhamos que B e´ obtida pela troca das linhas k e p da
matriz A, com 1 \u2264 k < p \u2264 n. Sabemos que
det(A) =
\u2211
(\u22121)sa1j1 · · · akjk · · · apjp · · · anjn .
Aplicando a de\ufb01nic¸a\u2dco de determinante a` matriz B obtemos:
det(B) =
\u2211
(\u22121)ta1j1 · · · apjp · · · akjk · · · anjn .
de modo que se precisamos s trocas para transformar
(j1, . . . , jk, . . . , jp, . . . , jn)
em (1, 2, . . . , n), precisaremos de s + 1 trocas para transformar
(j1, . . . , jp, . . . , jk, . . . , jn)
em (1, 2, . . . , n) ou seja: t(J) = s(J) + 1 para todo arranjo J , de onde
concluimos que det(B) = \u2212det(A). \ufffd
Uma conseque\u2c6ncia importante e´ o seguinte:
Corola´rio 2.6. Se A e´ uma matriz quadrada que possui duas li-
nhas (ou duas colunas) iguais, enta\u2dco det(A) = 0.
Prova: A matriz B obtida pela troca de lugar das duas linhas (ou co-
lunas) iguais e´ a pro´pria A, de modo que, pelo lema, det(A) = \u2212det(A),
ou seja, det(A) = 0. \ufffd
Vamos explorar um pouco melhor a fo´rmula de recursividade (fo´r-
mula (3)) que descobrimos no caso particular de matrizes 3× 3. Essa
fo´rmula (generalizada no Teorema de Laplace) nos permite calcular