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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA – A´REA2 GABARITO DO SEGUNDO EXERC´ICIO ESCOLAR CA´LCULO1 (TIPO III) PRIMEIRO SEMESTRE DE 2004 19 de JULHO de 2004 1 aQuesta˜o: (1,0 pts) Verifique explicitamente a conclusa˜o do Teorema do Valor Me´dio para a func¸a˜o f(x) = x2 − 2x, no intervalo [−2, 0]. Para efeito de ilustrac¸a˜o, esboce numa mesma figura o gra´fico desta func¸a˜o e as retas tangente e secante relevantes no problema. Soluc¸a˜o: O Teorema do Valor Me´dio afirma que existe c ∈ (−2, 0) tal que f(0) − f(−2) = f ′(c)(0 − (−2)), visto que a func¸a˜o dada e´ cont´ınua em [−2, 0] e diferencia´vel em (−2, 0). Deveremos ter portanto 2(2c− 2) = 0− 8 ∴ c = −1. O gra´fico abaixo ilustra esta situac¸a˜o. x y −2 0 1 Figura 1: Ilustrac¸a˜o do Teorema do Valor Me´dio 2 aQuesta˜o: (2,0 pts) Calcule os seguintes limites: (i) lim x→0 5x − 3x x ; (ii) lim x→∞ √ x2 + 2 4x . Soluc¸a˜o: (i) Neste caso temos uma indeterminac¸a˜o da forma 0 0 . Podemos usar a regra de L´Hopital neste caso. Temos enta˜o: lim x→0 5x − 3x x = lim x→0 (5x − 3x)′ (x)′ = lim x→0 (5x ln 5− 3x ln 3) = ln 5− ln 3 = ln(5 3 ). (ii) Neste segundo caso e´ prefer´ıvel usar outro me´todo. lim x→∞ √ x2 + 2 4x = lim x→∞ x √ 1 + 2/x 4x = lim x→∞ √ 1 + 2/x 4 = 1 4 lim x→∞ √ 1 + 2/x = 1/4. 3 aQuesta˜o: (3,0 pts) Determine as dimenso˜es do retaˆngulo R de a´rea ma´xima inscrito na regia˜o limitada pela para´bola y = 3x2 e pela reta y = 3 que conte´m um dos seus lados. Soluc¸a˜o: A figura 2 representa a situac¸a˜o exposta neste problema. Os lados horizontais do retaˆngulo teˆm comprimento 2x e os lados verticais medem 3 − 3x2, portanto a a´rea do retaˆngulo em questa˜o e´ A(x) = 2x(3−3x2) = 6(x−x3), 0 ≤ x ≤ 1. Enta˜o A(0) = A(1) = 0, e A(x) ≥ 0. Portanto, A(x) assume seu valor ma´ximo absoluto em algum ponto do intervalo (0, 1), logo este valor sera´ atingido em um ponto cr´ıtico de A(x), posto que a mesma e´ diferencia´vel. A equac¸a˜o A′(x) = 6− 18x2 = 0 nos da´ como u´nica soluc¸a˜o neste interval aberto, x = √ 3/3. Como A′′(x) = −36x < 0 neste ponto cr´ıtico, o mesmo e´ de ma´ximo local, e pelas razo˜es acima mencionadas a func¸a˜o assume seu ma´ximo absoluto neste ponto. As dimenso˜es do retaˆngulo de a´rea ma´xima sa˜o enta˜o: 2 √ 3/3 e 2. x y y = 3 (x, 3x2) −x x R Figura 2: Retaˆngulo de a´rea ma´xima 4 aQuesta˜o: Considere a func¸a˜o definida por f(x) = (x + 1)2e−x + 2. (a) (1,5 pts) Determine os pontos cr´ıticos, bem como os intervalos de crescimento e de decrescimento de f , e classifique os pontos cr´ıticos encontrados como ponto de ma´ximo local ou ponto de m´ınimo local, conforme seja o caso. (b) (1,0 pts) Determine os intervalos onde o gra´fico de f e´ coˆncavo para cima e os intervalos onde o gra´fico de f e´ coˆncavo para baixo. Encontre os pontos de inflexa˜o do gra´fico de f . (c) (0,5 pts) Encontre as ass´ıntotas ao gra´fico de f caso existam. (d) (1,0 pts) Use os ı´tens anteriores para fazer um esboc¸o do gra´fico de f , marcando no mesmo os pontos cr´ıticos e os pontos de inflexa˜o. Soluc¸a˜o: (a) f ′(x) = 2(x + 1)e−x− 2(x + 1)2e−x = −2(x− 1)(x + 1)e−x = −2(x2 − 1)e−x. Os pontos cr´ıticos da func¸a˜o sa˜o as soluc¸o˜es de f ′(x) = 0, donde x = −1 e x = 1 sa˜o os pontos cr´ıticos de f . Pode-se ver enta˜o que f ′(x) < 0, isto e´, f e´ decrescente nos intervalos (−∞,−1) e (1,∞), e f ′(x) > 0, isto e´, f e´ crescente no intervalo (−1, 1). Consequ¨entemente, x = −1 e´ ponto de m´ınimo local e x = 1 e´ ponto de ma´ximo local para f . (b) f ′′(x) = (x2 − 1)e−x − 2xe−x = (x2 − 2x − 1)e−x. Os pontos de inflexa˜o do gra´fico de f sa˜o as ra´ızes da equac¸a˜o f ′′(x) = 0, donde temos dois pontos de inflexa˜o, a saber: a1 = 1− √ 2 e a2 = 1 + √ 2. Enta˜o o gra´fico de f tem a concavidade voltada para cima, isto e´, f ′′(x) > 0, nos intervalos (−∞, a1) e (a2,∞), e a concavidade voltada para baixo, isto e´, f ′′(x) < 0, no intervalo (a1, a2). (c) Como f e´ definida em todo o R e e´ cont´ınua, na˜o existe ass´ıntota vertical. Qualquer outra ass´ıntota, caso exista, sera´ da forma y = mx + p , com m = lim x→±∞ f(x) x e p = lim x→±∞ (f(x)−mx). No caso x→∞ temos que m = lim x→∞ f(x) x = lim x→∞ (x + 1)2e−x + 2 x = lim x→∞ (x+1)2 e x + 2 x = 0, visto que lim x→∞ (x + 1)2 ex = 0, pela regra de L’Hopital. Deste modo, p = lim x→∞ f(x) = lim x→∞ [(x + 1)2e−x + 2] = 2. Os limites em −∞ sa˜o tratados de modo inteiramente ana´logo, na˜o havendo nenhuma outra ass´ıntota, ale´m de y = 2. (d) As informac¸o˜es dos treˆs primeiros ı´tens sa˜o utilizadas para montar o gra´fico de f na figura abaixo. x y y = 2 −1 1− √ 2 1 2 + √ 2 Figura 3: Gra´fico de f . OBSERVAC¸A˜O: Os gra´ficos na˜o reproduzem exatamente as func¸o˜es envolvidas, mas indicam claramente ı´tens como crescimento, concavidade, etc...
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