segunad prova gab 3
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CCEN \u2013 DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA \u2013 A´REA2
GABARITO DO SEGUNDO EXERC´ICIO ESCOLAR CA´LCULO1 (TIPO III)
PRIMEIRO SEMESTRE DE 2004
19 de JULHO de 2004
1
aQuesta\u2dco: (1,0 pts) Verifique explicitamente a conclusa\u2dco do Teorema do Valor Me´dio para a
func¸a\u2dco f(x) = x2 \u2212 2x, no intervalo [\u22122, 0]. Para efeito de ilustrac¸a\u2dco, esboce numa mesma
figura o gra´fico desta func¸a\u2dco e as retas tangente e secante relevantes no problema.
Soluc¸a\u2dco: O Teorema do Valor Me´dio afirma que existe c \u2208 (\u22122, 0) tal que f(0) \u2212 f(\u22122) =
f \u2032(c)(0 \u2212 (\u22122)), visto que a func¸a\u2dco dada e´ cont´\u131nua em [\u22122, 0] e diferencia´vel em (\u22122, 0).
Deveremos ter portanto 2(2c\u2212 2) = 0\u2212 8 \u2234 c = \u22121. O gra´fico abaixo ilustra esta situac¸a\u2dco.
x
y
\u22122 0 1
Figura 1: Ilustrac¸a\u2dco do Teorema do Valor Me´dio
2
aQuesta\u2dco: (2,0 pts) Calcule os seguintes limites:
(i) lim
x\u21920
5x \u2212 3x
x
;
(ii) lim
x\u2192\u221e
\u221a
x2 + 2
4x
.
Soluc¸a\u2dco: (i) Neste caso temos uma indeterminac¸a\u2dco da forma 0
0
. Podemos usar a regra de L´Hopital
neste caso. Temos enta\u2dco:
lim
x\u21920
5x \u2212 3x
x
= lim
x\u21920
(5x \u2212 3x)\u2032
(x)\u2032
= lim
x\u21920
(5x ln 5\u2212 3x ln 3) = ln 5\u2212 ln 3 = ln(5
3
).
(ii) Neste segundo caso e´ prefer´\u131vel usar outro me´todo.
lim
x\u2192\u221e
\u221a
x2 + 2
4x
= lim
x\u2192\u221e
x
\u221a
1 + 2/x
4x
= lim
x\u2192\u221e
\u221a
1 + 2/x
4
=
1
4
lim
x\u2192\u221e
\u221a
1 + 2/x = 1/4.
3
aQuesta\u2dco: (3,0 pts) Determine as dimenso\u2dces do reta\u2c6ngulo R de a´rea ma´xima inscrito na regia\u2dco
limitada pela para´bola y = 3x2 e pela reta y = 3 que conte´m um dos seus lados.
Soluc¸a\u2dco: A figura 2 representa a situac¸a\u2dco exposta neste problema. Os lados horizontais do reta\u2c6ngulo
te\u2c6m comprimento 2x e os lados verticais medem 3 \u2212 3x2, portanto a a´rea do reta\u2c6ngulo em
questa\u2dco e´ A(x) = 2x(3\u22123x2) = 6(x\u2212x3), 0 \u2264 x \u2264 1. Enta\u2dco A(0) = A(1) = 0, e A(x) \u2265 0.
Portanto, A(x) assume seu valor ma´ximo absoluto em algum ponto do intervalo (0, 1), logo
este valor sera´ atingido em um ponto cr´\u131tico de A(x), posto que a mesma e´ diferencia´vel. A
equac¸a\u2dco A\u2032(x) = 6\u2212 18x2 = 0 nos da´ como u´nica soluc¸a\u2dco neste interval aberto, x =
\u221a
3/3.
Como A\u2032\u2032(x) = \u221236x < 0 neste ponto cr´\u131tico, o mesmo e´ de ma´ximo local, e pelas razo\u2dces
acima mencionadas a func¸a\u2dco assume seu ma´ximo absoluto neste ponto. As dimenso\u2dces do
reta\u2c6ngulo de a´rea ma´xima sa\u2dco enta\u2dco: 2
\u221a
3/3 e 2.
x
y
y = 3
(x, 3x2)
\u2212x x
R
Figura 2: Reta\u2c6ngulo de a´rea ma´xima
4
aQuesta\u2dco: Considere a func¸a\u2dco definida por f(x) = (x + 1)2e\u2212x + 2.
(a) (1,5 pts) Determine os pontos cr´\u131ticos, bem como os intervalos de crescimento e de
decrescimento de f , e classifique os pontos cr´\u131ticos encontrados como ponto de ma´ximo
local ou ponto de m´\u131nimo local, conforme seja o caso.
(b) (1,0 pts) Determine os intervalos onde o gra´fico de f e´ co\u2c6ncavo para cima e os intervalos
onde o gra´fico de f e´ co\u2c6ncavo para baixo. Encontre os pontos de inflexa\u2dco do gra´fico de
f .
(c) (0,5 pts) Encontre as ass´\u131ntotas ao gra´fico de f caso existam.
(d) (1,0 pts) Use os \u131´tens anteriores para fazer um esboc¸o do gra´fico de f , marcando no
mesmo os pontos cr´\u131ticos e os pontos de inflexa\u2dco.
Soluc¸a\u2dco: (a) f \u2032(x) = 2(x + 1)e\u2212x\u2212 2(x + 1)2e\u2212x = \u22122(x\u2212 1)(x + 1)e\u2212x = \u22122(x2 \u2212 1)e\u2212x. Os
pontos cr´\u131ticos da func¸a\u2dco sa\u2dco as soluc¸o\u2dces de f \u2032(x) = 0, donde x = \u22121 e x = 1 sa\u2dco os pontos
cr´\u131ticos de f . Pode-se ver enta\u2dco que f \u2032(x) < 0, isto e´, f e´ decrescente nos intervalos (\u2212\u221e,\u22121)
e (1,\u221e), e f \u2032(x) > 0, isto e´, f e´ crescente no intervalo (\u22121, 1). Consequ¨entemente, x = \u22121
e´ ponto de m´\u131nimo local e x = 1 e´ ponto de ma´ximo local para f .
(b) f \u2032\u2032(x) = (x2 \u2212 1)e\u2212x \u2212 2xe\u2212x = (x2 \u2212 2x \u2212 1)e\u2212x. Os pontos de inflexa\u2dco do gra´fico
de f sa\u2dco as ra´\u131zes da equac¸a\u2dco f \u2032\u2032(x) = 0, donde temos dois pontos de inflexa\u2dco, a saber:
a1 = 1\u2212
\u221a
2 e a2 = 1 +
\u221a
2. Enta\u2dco o gra´fico de f tem a concavidade voltada para cima, isto
e´, f \u2032\u2032(x) > 0, nos intervalos (\u2212\u221e, a1) e (a2,\u221e), e a concavidade voltada para baixo, isto e´,
f \u2032\u2032(x) < 0, no intervalo (a1, a2).
(c) Como f e´ definida em todo o R e e´ cont´\u131nua, na\u2dco existe ass´\u131ntota vertical. Qualquer outra
ass´\u131ntota, caso exista, sera´ da forma
y = mx + p , com m = lim
x\u2192±\u221e
f(x)
x
e p = lim
x\u2192±\u221e
(f(x)\u2212mx).
No caso x\u2192\u221e temos que
m = lim
x\u2192\u221e
f(x)
x
= lim
x\u2192\u221e
(x + 1)2e\u2212x + 2
x
= lim
x\u2192\u221e
(x+1)2
e
x
+ 2
x
= 0,
visto que lim
x\u2192\u221e
(x + 1)2
ex
= 0, pela regra de L\u2019Hopital. Deste modo,
p = lim
x\u2192\u221e
f(x) = lim
x\u2192\u221e
[(x + 1)2e\u2212x + 2] = 2.
Os limites em \u2212\u221e sa\u2dco tratados de modo inteiramente ana´logo, na\u2dco havendo nenhuma outra
ass´\u131ntota, ale´m de y = 2.
(d) As informac¸o\u2dces dos tre\u2c6s primeiros \u131´tens sa\u2dco utilizadas para montar o gra´fico de f na figura
abaixo.
x
y
y = 2
\u22121 1\u2212
\u221a
2 1 2 +
\u221a
2
Figura 3: Gra´fico de f .
OBSERVAC¸A\u2dcO: Os gra´ficos na\u2dco reproduzem exatamente as func¸o\u2dces envolvidas, mas indicam
claramente \u131´tens como crescimento, concavidade, etc...