segunad prova gab 1
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CCEN \u2013 DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA \u2013 A´REA2
GABARITO DO SEGUNDO EXERC´ICIO ESCOLAR CA´LCULO1 (TIPO I)
PRIMEIRO SEMESTRE DE 2004
19 de JULHO de 2004
1
aQuesta\u2dco: (1,0 pts) Verifique explicitamente a conclusa\u2dco do Teorema do Valor Me´dio para a func¸a\u2dco
f(x) = x2 + 2x, no intervalo [0, 2]. Para efeito de ilustrac¸a\u2dco, esboce numa mesma figura o gra´fico
desta func¸a\u2dco e as retas tangente e secante relevantes no problema.
Soluc¸a\u2dco: O Teorema do Valor Me´dio afirma que existe c \u2208 (0, 2) tal que f(2)\u2212 f(0) = f \u2032(c)(2\u2212 0),
visto que a func¸a\u2dco dada e´ cont´\u131nua em [0, 2] e diferencia´vel em (0, 2). Deveremos ter portanto
2(2c + 2) = 8 \u2234 c = 1. O gra´fico abaixo ilustra esta situac¸a\u2dco.
x
y
\u22121 0 1 2
Figura 1: Ilustrac¸a\u2dco do Teorema do Valor Me´dio
2
aQuesta\u2dco: (2,0 pts) Calcule os seguintes limites:
(i) lim
x\u21920
4x \u2212 3x
x
;
(ii) lim
x\u2192\u221e
\u221a
x2 + 2
2x
.
Soluc¸a\u2dco: (i) Neste caso temos uma indeterminac¸a\u2dco da forma 0
0
. Podemos usar a regra de L´Hopital
neste caso. Temos enta\u2dco:
lim
x\u21920
4x \u2212 3x
x
= lim
x\u21920
(4x \u2212 3x)\u2032
(x)\u2032
= lim
x\u21920
(4x ln 4\u2212 3x ln 3) = ln 4\u2212 ln 3 = ln(4
3
).
(ii)Neste segundo caso e´ prefer´\u131vel usar outro me´todo.
lim
x\u2192\u221e
\u221a
x2 + 2
2x
= lim
x\u2192\u221e
x
\u221a
1 + 2/x
2x
= lim
x\u2192\u221e
\u221a
1 + 2/x
2
=
1
2
lim
x\u2192\u221e
\u221a
1 + 2/x = 1/2.
3
aQuesta\u2dco: (3,0 pts) Determine as dimenso\u2dces do reta\u2c6ngulo R de a´rea ma´xima inscrito na regia\u2dco limitada
pela para´bola y = 5x2 e pela reta y = 3 que conte´m um dos seus lados.
Soluc¸a\u2dco: A figura 2 representa a situac¸a\u2dco exposta neste problema. Os lados horizontais do reta\u2c6ngulo
te\u2c6m comprimento 2x e os lados verticais medem 3\u2212 5x2, portanto a a´rea do reta\u2c6ngulo em questa\u2dco
e´ A(x) = 2x(3 \u2212 5x2) = 6x \u2212 10x3, 0 \u2264 x \u2264
\u221a
3/5. Enta\u2dco A(0) = A(
\u221a
3/5) = 0, e A(x) \u2265 0.
Portanto, A(x) assume seu valor ma´ximo absoluto em algum ponto do intervalo (0,
\u221a
3/5), logo
este valor sera´ atingido em um ponto cr´\u131tico de A(x), posto que a mesma e´ diferencia´vel. A
equac¸a\u2dco A\u2032(x) = 6 \u2212 30x2 = 0 nos da´ como u´nica soluc¸a\u2dco neste interval aberto, x =
\u221a
5/5.
Como A\u2032\u2032(x) = \u221260x < 0 neste ponto cr´\u131tico, o mesmo e´ de ma´ximo local, e pelas razo\u2dces acima
mencionadas a func¸a\u2dco assume seu ma´ximo absoluto neste ponto. As dimenso\u2dces da reta\u2c6ngulo de
a´rea ma´xima sa\u2dco enta\u2dco: 2
\u221a
5/5 e 2.
x
y
y = 3
(x, 5x2)
\u2212x x
R
Figura 2: Reta\u2c6ngulo de a´rea ma´xima
4
aQuesta\u2dco: Considere a func¸a\u2dco definida por f(x) = (x\u2212 1)2e\u22122x + 1.
(a) (1,5 pts) Determine os pontos cr´\u131ticos, bem como os intervalos de crescimento e de decres-
cimento de f , e classifique os pontos cr´\u131ticos encontrados como ponto de ma´ximo local ou
ponto de m´\u131nimo local, conforme seja o caso.
(b) (1,0 pts) Determine os intervalos onde o gra´fico de f e´ co\u2c6ncavo para cima e os intervalos onde
o gra´fico de f e´ co\u2c6ncavo para baixo. Encontre os pontos de inflexa\u2dco do gra´fico de f .
(c) (0,5 pts) Encontre as ass´\u131ntotas ao gra´fico de f caso existam.
(d) (1,0 pts) Use os \u131´tens anteriores para fazer um esboc¸o do gra´fico de f , marcando no mesmo
os pontos cr´\u131ticos e os pontos de inflexa\u2dco.
Soluc¸a\u2dco: (a) f \u2032(x) = 2(x\u2212 1)e\u22122x \u2212 2(x\u2212 1)2e\u22122x = \u22122(x\u2212 1)(x\u2212 2)e\u22122x = \u22122(x2 \u2212 3x + 2)e\u22122x.
Os pontos cr´\u131ticos da func¸a\u2dco sa\u2dco as soluc¸o\u2dces de f \u2032(x) = 0, donde x = 1 e x = 2 sa\u2dco os pontos
cr´\u131ticos de f . Pode-se ver enta\u2dco que f \u2032(x) < 0, isto e´, f e´ decrescente, nos intervalos (\u2212\u221e, 1) e
(2,\u221e),e, f(x) > 0, isto e´, f e´ crescente, no intervalo (1, 2). Consequ¨entemente, x = 1 e´ ponto de
m´\u131nimo local e x = 2 e´ ponto de ma´ximo local para f .
(b) f \u2032\u2032(x) = 4(x2 \u2212 3x + 2)e\u22122x \u2212 2(2x \u2212 3)e\u22122x = 2(2x2 \u2212 8x + 7)e\u22122x. Os pontos de inflexa\u2dco
do gra´fico de f sa\u2dco as ra´\u131zes da equac¸a\u2dco f \u2032\u2032(x) = 0, donde temos dois pontos de inflexa\u2dco, a saber:
a1 = 2 \u2212
\u221a
2/2 e a2 = 2 +
\u221a
2/2. Enta\u2dco o gra´fico de f tem a concavidade voltada para cima,
isto e´, f \u2032\u2032(x) > 0, nos intervalos (\u2212\u221e, a1) e (a2,\u221e), e a concavidade voltada para baixo, isto e´,
f \u2032\u2032(x) < 0, no intervalo (a1, a2).
(c) Como f e´ definida em todo o R e e´ cont´\u131nua, na\u2dco existe ass´\u131ntota vertical. Qualquer outra
ass´\u131ntota, caso exista, sera´ da forma
y = mx + p , com m = lim
x\u2192±\u221e
f(x)
x
e p = lim
x\u2192±\u221e
(f(x)\u2212mx).
No caso x\u2192\u221e temos que
m = lim
x\u2192\u221e
f(x)
x
= lim
x\u2192\u221e
(x\u2212 1)2e\u22122x + 1
x
= lim
x\u2192\u221e
(x\u22121)2
e
2x + 1
x
= 0,
visto que lim
x\u2192\u221e
(x\u2212 1)2
e2x
= 0, pela regra de L\u2019Hopital. Deste modo,
p = lim
x\u2192\u221e
f(x) = lim
x\u2192\u221e
[(x\u2212 1)2e\u22122x + 1] = 1.
Os limites em \u2212\u221e sa\u2dco tratados de modo inteiramente ana´logo, na\u2dco havendo nenhuma outra
ass´\u131ntota, ale´m de y = 1.
(d) As informac¸o\u2dces dos tre\u2c6s primeiros \u131´tens sa\u2dco utilizadas para montar o gra´fico de f na figura
abaixo.
x
y
y = 1
1 a1 2 a2
Figura 3: Gra´fico de f .