prova pf gab calc1 2010 2 eng
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DEPARTAMENTO de ME´TODOS MATEMA´TICOS
INSTITUTO DE MATEMA´TICA
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
GABARITO da PROVA FINAL UNIFICADA de CA´LCULO I
13 de dezembro de 2010
Questa\u2dco 1. (1,5 pontos)
Seja f(x) = 2x2 \u2212 x. Determine o ponto do gra´fico de f onde a tangente e´ paralela a` reta
3x\u2212 y \u2212 4 = 0 e encontre uma equac¸a\u2dco dessa reta tangente.
Soluc¸a\u2dco.
Seja P = (xp, yp) o ponto procurado. Enta\u2dco, f
\u2032(P ) e´ igual ao coeficente angular da reta dada.
Como o coeficiente angular da reta 3x\u2212 y \u2212 4 = 0 e´ 3, temos f \u2032(P ) = 3, isto e´, 4xp \u2212 1 = 3. Logo,
xp = 1 e P e´ o ponto (1, f(1)) = (1, 1).
Portanto, a reta pedida tem equac¸a\u2dco y \u2212 1 = 3(x\u2212 1) ou y = 3x\u2212 2.
Questa\u2dco 2. (3,5 pontos)
Seja f(x) =
x2
x2 \u2212 1. Obtenha, caso existam:
(a) As ass´\u131ntotas horizontais e verticais do gra´fico de f .
(b) Os intervalos onde f e´ crescente e onde e´ decrescente.
(c) Os intervalos onde o gra´fico de f e´ co\u2c6ncavo para cima, onde e´ co\u2c6ncavo para baixo e os pontos
de inflexa\u2dco.
Usando as informac¸o\u2dces acima, esboce o gra´fico de f e determine seus valores extremos (relativos e
absolutos) caso existam.
Soluc¸a\u2dco.
(a) Ass´\u131ntotas Horizontais.
lim
x\u2192±\u221e
x2
x2 \u2212 1 = limx\u2192±\u221e
1/x2
1 + 1/x2
= 1.
Logo, y = 1 e´ uma ass´\u131ntota horizontal do gra´fico de f .
Ass´\u131ntotas Verticais. Como so´ existem ass´\u131ntotas verticais nos nu´meros onde a func¸a\u2dco na\u2dco e´
cont´\u131nua, vamos verificar o que ocorre em x = ±1.
Note que
lim
x\u21921+
x2
x2 \u2212 1 = limx\u2192\u22121\u2212
x2
x2 \u2212 1 = +\u221e,
pois
x2 \u2212 1 = (x+ 1)(x\u2212 1)\u2192 0+ quando x\u2192 1+ ou x\u2192 \u22121\u2212.
Ale´m disso,
lim
x\u21921\u2212
x2
x2 \u2212 1 = limx\u2192\u22121+
x2
x2 \u2212 1 = \u2212\u221e,
pois
x2 \u2212 1 = (x+ 1)(x\u2212 1)\u2192 0\u2212 quando x\u2192 1\u2212 ou x\u2192 \u22121+.
Logo, x = 1 e x = \u22121 sa\u2dco ass´\u131ntotas verticais do gra´fico de f .
(b) f \u2032(x) =
\u22122x
(x2 \u2212 1)2 .
Como (x2 \u2212 1)2 e´ maior que zero para x 6= ±1, f \u2032(x) > 0 \u21d4 \u22122x > 0. Enta\u2dco, f e´ crescente
nos intervalos (\u2212\u221e,\u22121) e (\u22121, 0).
Analogamente f \u2032(x) < 0\u21d4 \u22122x < 0. Logo, f e´ decrescente nos intervalos (0, 1) e (1,+\u221e).
Em vista disso, (0, f(0)) e´ ponto de ma´ximo relativo.
(c) f
\u2032\u2032
(x) =
6x2 + 2
(x2 \u2212 1)3 .
Como 6x2 + 2 e´ sempre maior que zero, se x \u2208 (\u2212\u221e,\u22121) \u222a (1,+\u221e), f \u2032\u2032(x) > 0 e o gra´fico de
f e´ co\u2c6ncavo para cima. Se x \u2208 (\u22121, 1), f \u2032\u2032(x) < 0 e o gra´fico de f e´ co\u2c6ncavo para baixo.
Reunindo as informac¸o\u2dces acima, obtemos o gra´fico ao
lado.
Valores extremos.
De acordo com o item (b) e da observac¸a\u2dco do gra´fico,
temos apenas o ma´ximo relativo 0 em x = 0.
Questa\u2dco 3. (2,0 pontos)
Seja R a regia\u2dco delimitada por cima pela curva y = \u2212x2 + 5 e por baixo pela curva y = 4/x2.
Desenhe a regia\u2dco R e calcule sua a´rea.
Soluc¸a\u2dco.
Para achar os pontos de intersec¸a\u2dco das curvas, basta
resolver a equac¸a\u2dco 4/x2 = \u2212x2 + 5, que e´ equivalente a`
equac¸a\u2dco biquadra´tica
x4 \u2212 5x2 + 4 = 0.
Suas ra´\u131zes sa\u2dco x = ±1 e x = ±2. A regia\u2dco R esta´
compreendida entre as curvas nos intervalos [\u22122,\u22121] e
[1, 2], pois somente nesses intervalos y = \u2212x2 + 5 esta´
acima de y = 4/x2. Portanto, a a´rea de R e´
A =
\u222b \u22121
\u22122
(\u2212x2 + 5\u2212 4
x2
) dx+
\u222b 2
1
(\u2212x2 + 5\u2212 4
x2
) dx.
Por simetria, basta calcular a segunda integral (as func¸o\u2dces sa\u2dco pares!). Pelo Teorema Fundamental
do Ca´lculo, temos\u222b 2
1
(\u2212x2 + 5\u2212 4
x2
) dx =
(
\u2212x
3
3
+ 5x+
4
x
)\u2223\u2223\u2223\u2223x=2
x=1
= (\u22128
3
+ 10 + 2)\u2212 (\u22121
3
+ 5 + 4) =
2
3
.
Logo,
A =
2
3
+
2
3
=
4
3
.
Questa\u2dco 4. (3,0 pontos)
Calcule:
(a)
\u222b
e2t\u221a
1\u2212 et dt (b)
\u222b
1\u221a
4 + x2
dx .
Soluc¸a\u2dco.
(a) Soluc¸a\u2dco 1: Substituic¸a\u2dco simples. Esta integral admite va´rias formas de soluc¸a\u2dco via
substituic¸a\u2dco simples. Uma delas e´ reescreve\u2c6-la na forma\u222b
et(1\u2212 et)\u2212 12 etdt
e tomar w = 1 \u2212 et. Assim, \u2212dw = etdt e et = 1 \u2212 w. Fazendo a substituic¸a\u2dco na integral
acima, \u222b
(1\u2212 w)w\u2212 12 (\u2212dw) =
\u222b
(w
1
2 \u2212 w\u2212 12 )dw = 2
3
w
3
2 \u2212 2w 12 + C.
Substituindo o valor de w,\u222b
e2t\u221a
1\u2212 etdt =
2
3
(1\u2212 et) 32 \u2212 2(1\u2212 et) 12 + C.
Soluc¸a\u2dco 2: Integrac¸a\u2dco por partes. Uma outra forma de resolver e´ aplicando o me´todo
de integrac¸a\u2dco por partes: \u222b
udv = uv \u2212
\u222b
vdu.
Fazendo u = et e dv = et(1\u2212 et)\u2212 12dt, resulta que
du = etdt e v =
\u222b
et(1\u2212 et)\u2212 12dt.
Para resolver esta u´ltima integral, basta fazer uma substituic¸a\u2dco simples da forma w = 1\u2212 et.
Teremos \u2212dw = etdt. Enta\u2dco,
v =
\u222b
w\u2212
1
2 (\u2212dw) = \u22122w 12 = \u22122(1\u2212 et) 12 .
Aplicando na fo´rmula de integrac¸a\u2dco por partes,\u222b
et(1\u2212 et)\u2212 12 etdt = \u22122et(1\u2212 et) 12 \u2212
\u222b
\u22122(1\u2212 et) 12 etdt.
Esta u´ltima integral e´ resolvida de forma semelhante a`quela feita para encontrar o valor de
v. Portanto,\u222b
e2t\u221a
1\u2212 etdt =
\u222b
et(1\u2212 et)\u2212 12 etdt = \u22122et(1\u2212 et) 12 \u2212 4
3
(1\u2212 et) 32 + C.
Manipulando-se os resultados encontrados na primeira e na segunda soluc¸a\u2dco, chega-se a\u222b
e2t\u221a
1\u2212 etdt =
\u222b
et(1\u2212 et)\u2212 12 etdt = 2
3
(1\u2212 et) 12 (et + 2) + C.
(b) Substituic¸a\u2dco trigonome´trica.
Tomando x = 2 tg \u3b8, com \u3b8 \u2208 (\u2212pi/2, pi/2), obtemos \u221a4 + x2 = 2 sec \u3b8 e dx = 2 sec2 \u3b8 d\u3b8 .
Substituindo, \u222b
1\u221a
4 + x2
dx =
\u222b
sec \u3b8 d\u3b8 = ln | tg \u3b8 + sec \u3b8|+ C.
Observando os valores de tg \u3b8 e sec \u3b8 utilizados na substituic¸a\u2dco acima, obtemos\u222b
1\u221a
4 + x2
dx = ln
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223x2 +
\u221a
4 + x2
2
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223+ C = ln \u2223\u2223\u2223x+\u221a4 + x2\u2223\u2223\u2223+ C.