APOSTILA COMPLETA DE MATEMÁTICA
58 pág.

APOSTILA COMPLETA DE MATEMÁTICA


DisciplinaIntrodução à Computação746 materiais4.443 seguidores
Pré-visualização12 páginas
aberto à direita, de a até b, representado por [a,b) é o conjunto de números 
reais x, tal que a \uf0a3 x < b. Neste caso a pertence ao intervalo, mas b não pertence. 
 
 
 
 
4 - Intervalo aberto à esquerda (a , b]. b \uf0ce ao intervalo. a \uf0cf ao intervalo. 
 
 
 
OUTROS TIPOS DE INTERVALOS 
 
 Existem também os intervalos não limitados representados com os símbolos +\uf0a5 e -\uf0a5 
(infinito). 
 Os intervalos 
 
1 - De a até +\uf0a5 , representado por (a, +\uf0a5) é o conjunto de todos os números reais x tal que 
x > a. 
 
 
 
 
 
2 - De -\uf0a5 até a é (-\uf0a5, a) é o conjunto dos números reais x tal que x < a. 
 
 
 
3 - De a até +\uf0a5, representado por [a, +\uf0a5) é o conjunto de todos os números reais x, tais 
que x \uf0b3 a. 
 
 
 
 
 
4 - De -\uf0a5 até a, (-\uf0a5,a] , x \uf0a3 a. 
 
 
 
 
 ( \uf07c \uf07c \uf07c \uf07c \uf07c \uf07c \uf07c ) 
 a b 
 
 [ \uf07c \uf07c \uf07c \uf07c \uf07c \uf07c \uf07c ] 
 a b 
 
 [ \uf07c \uf07c \uf07c \uf07c \uf07c \uf07c \uf07c ) 
 a b 
 
 ( \uf07c \uf07c \uf07c \uf07c \uf07c \uf07c \uf07c ] 
 a b 
 
 ( 
 a 
 
 
 +\uf0a5
 
a \uf0cf ao intervalo -\uf0a5 a 
 ) 
 [ 
 a 
 
 
 +\uf0a5
 
a \uf0ce ao intervalo 
 
 -\uf0a5 
 
 
 a 
a \uf0ce ao intervalo ] 
 15 
5 - O intervalo (-\uf0a5, +\uf0a5) é o conjunto dos números reais R. 
 
 
 Noção de dependência ou funcionalidade. 
 
 Em nosso cotidiano, sempre nos deparamos com fatos que relacionam duas grandezas 
(variáveis), por exemplo: 
 
1) A área de uma circunferência A = \uf070 r2 depende de seu raio. A depende do r, que podemos 
dizer A é função de r, ou ainda A = f(r). 
 
2) O valor do selo depende do peso da carta, Valor = f(peso). 
 
3) A velocidade de um carro depende da potência de seu motor, ou também V = f(P) 
 
Com isso podemos criar um conceito matemático que seja capaz de descrever a relação 
entre variáveis, esse conceito é o de função. 
 
1.1 - FUNÇÕES REAIS 
 
 Diz-se que uma variável y é uma função de uma variável x, quando a cada valor de x 
corresponda, mediante uma certa lei, um valor para y. 
 Pode-se dizer que função é uma regra ou correspondência que associa um valor da 
variável y a cada valor da variável x. 
 Uma função é representada por 
 
 y = f(x) 
 
onde 
 
x \uf0ae variável independente, que pode variar livremente 
y \uf0ae variável dependente 
 Lê-se: y é igual a f de x (ou função de x). 
 
 
Domínio da variável independente 
 
 O domínio da variável independente é o conjunto de valores numéricos que essa 
variável pode assumir. 
 
Domínio da função 
 
 Ou campo de existência (definição) de uma função é o conjunto de pontos onde a 
função é definida ou existe (tem valor finito e real). 
 Se a função for do tipo y = 
)(xP
 , para que ela exista, a raiz deve ser positiva para 
ser real , então a condição é P(x)\uf0b30 . 
 Se a função for do tipo y = P(x)/Q(x) , para que ela exista, não deve haver zero no 
denominador, então a condição é Q(x)\uf0b90 . 
 E finalmente, se função for do tipo y = Q(x) /
)(xP
 , para que ela exista, não pode dar 
zero no denominador e a raiz deve ser positiva para ser real , então a condição é P(x)>0 . 
Entretanto, existem exceções para este caso, por exemplo se P(x)=x2 + 3, seu valor será 
sempre positivo para qualquer valor de x. 
 
 16 
Exemplos: Achar o campo de existência (domínio) das funções: 
 
a) y = 2x + 3 
 
 
 
 
 
b) y = f(x) = x2 + 2 
 
Neste caso, x pode assumir qualquer valor que sempre resulta em y real e finito, então o 
domínio da função é D: (-\uf0a5,\uf0a5). 
 
 c) y = 
3
2x \uf02d
 
 
agora x só não pode ter o valor 2, porque neste caso, y \uf0ae \uf0a5, logo o domínio é (-\uf0a5, 2) e (2, 
+\uf0a5). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO 
 
 O gráfico de uma função f é o conjunto de todos os pontos (x, y) no plano xy, onde 
x pertence ao domínio de f e y é a imagem de f. 
Exemplo: Esboce o gráfico da função f definida pela equação y = 2x2 , com a restrição x \uf0b3 
0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma função, pela sua definição, a cada valor de x corresponde um único valor de y. Assim, o 
gráfico a seguir não representa uma função. 
 
 
 
 
 
Y =2x
2
 , x \uf0b30 
(1,2) 
+ y (ordenada) 
(4,32) 
1 2 3 4 + x 
(abcissa) 
O 
 X Y 
 
0 0 
1 2 
2 8 
3 18 
4 32 
5 50 
y P 
Q 
O 
mesma abcissa 
x 
x 
- \uf0a5 0 + \uf0a5
 
 
x pode assumir qualquer valor real que, y existe 
e é finito.Seu domínio é (-\uf0a5, +\uf0a5) ou -\uf0a5 < x < + \uf0a5. 
- \uf0a5 \uf0ef \uf0ef \uf0ef \uf0ef \uf0ef \uf0ef )( \uf0ef \uf0ef \uf0ef \uf0ef \uf0ef \uf0ef + \uf0a5 
 2 
 17 
 
 
 
 
 
Para ser uma função, dois pontos distintos (em y) de um gráfico não podem possuir a 
mesma abcissa (x). 
 
 
 
Domínio via gráfico 
 
 O domínio de uma função é o conjunto de todas as abcissas dos pontos do gráfico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Imagem 
 
 A imagem de uma função é o conjunto de todas as ordenadas dos pontos do gráfico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Dada a função y = 
x \uf02d 1
 ,queremos estudar o seu comportamento. Faça o gráfico 
de f e determine o seu domínio e imagem (nesse intervalo). 
 
Solução: 
 
 Como y = f(x) = 
x \uf02d 1
 , a condição de existência da função é que x - 1 \uf0b3 0 para que 
a raiz exista no campo dos números reais. 
 Assim, x - 1 \uf0b3 0 \uf0ae x \uf0b3 1 ou D: [1 , \uf0a5 ). Para se fazer o gráfico da função 
construi-se a tabela, respeitando este dominio. 
y 
f 
O 
domínio de f 
 
 
x abcissas 
ordenadas 
y 
Imagem de f f 
 
 
 O y 
 18 
 
Q 
 
 
Quando uma função f é definida por uma equação y = f(x) e nenhuma restrição é 
dada, o domínio de f consiste em todos os valores de x para os quais a função existe. 
 
Exemplo: Dada a função 
 y = 3x + 1 
 
x pode assumir qualquer valor, então o domínio de f é R dos números reais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Dada a função 
 
 y = 
4 \uf02d x
 (Condição de existência 4 - x \uf0b3 0) 
 
já que 
4 \uf02d x
 é definido somente para 4 - x \uf0b3 0, isto é, x \uf0a3 4, o domínio de f é o intervalo 
(-\uf0a5, 4] e a sua imagem é o intervalo [0 , \uf0a5). 
 A raiz quadrada tem dois sinais, \uf0b1 , mas para que y seja uma função toma-se só um 
sinal, e a preferência é para o sinal positivo. Então y \uf0b3 0. 
 
x y 
\uf04d \uf04d 
-2 
6
 = 2,45 ... 
-1 
5
 = 2,24 ... 
0 2 
1 
3
 = 1,73 
2 
2
 = 1,41 
4 0 
 
Domínio de f , D : [1,\uf0a5} 
e I : [ 0, \uf0a5 } 
 
y 
x 
Imagem de 
f 
Gráfico 
de f 
1 
0,5 
 x y 
 
1,00 0,00 
1,25 0,50 
1,50 0,71 
1,75 0,87 
2,00 1,00 
2 
Domínio = R 
Imagem = R 
y 
y = 3x + 1 
1 
x 
 19 
 
 
 
 
 
 O domínio de f é o próprio domínio de x, isto é, o intervalo onde x existe. Neste 
exemplo x existe de (-\uf0a5 a 4]. 
 A imagem de f é o intervalo onde y existe, no caso y \uf0b3 0 então [0, \uf0a5). 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Achar o domínio e a imagem da função 
 y = f(x) = 
1
1\uf02d x