APOSTILA COMPLETA DE MATEMÁTICA
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APOSTILA COMPLETA DE MATEMÁTICA


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Domínio da função: (-\uf0a5 4] \uf0ae 
é o domínio de x \uf0ae -\uf0a5 < x \uf0a3 4. 
Imagem da função: [0, \uf0a5) pois 
y \uf0b3 0. 
xy \uf02d\uf03d 4
 
y 
2 
O 
4 x 
 X Y 
-3 1 / 4 = 0,25 
-2 1 / 3 = 0,33 
-1 1 / 2 = 0,50 
0 1 
1 \uf0a5 
2 \u20131 
3 \u20131/2 = -0,50 
4 \u20131/3 = -0,33 
5 \u20131/4 = -0,25 
y 
1 
 -3 -2 -1 
 1 2 3 4 5 x 
A condição de existência é 1-x \uf0b9 0, que fornece os 
dois intervalos para o domínio e a imagem : 
Domínio: (-\uf0a5, 1) e (1, \uf0a5) 
Imagem : (-\uf0a5, 0) e ( 0, \uf0a5) 
x = 1 (singularidade ) 
 20 
Exercício proposto 
 
1) Achar o domínio e imagem da função y = 1
x
 (hipérbole) 
Condição de existência x \uf0b9 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VALOR ABSOLUTO 
 
 Se x é um número real, então o valor absoluto de x, representado por \uf0bdx\uf0bd, é definido 
por 
 
 x se x \uf0b3 0 
 \uf0bdx\uf0bd = 
 -x se x < 0 
Exemplo: 
 
 \uf0bd7\uf0bd = 7 pois 7 > 0, \uf0bd-3\uf0bd = - (-3) = 3 pois -3 < 0 
 
O valor absoluto de um número real é sempre positivo. 
 
PROPRIEDADES DO VALOR ABSOLUTO 
(Todas as propriedades abaixo valem para os sinais >, \uf0b3 , < e \uf0a3 ) 
 
Suponha que X e Y são números reais ou funções. 
 
1) \uf0bdX + Y\uf0bd \uf0a3 \uf0bdX\uf0bd + \uf0bdY\uf0bd desigualdade triangular, EX.: X=2 e Y=3 
 (igual) e X = -2, Y = 1 (maior) 
2) \uf0bdX\uf0bd = \uf0bdY\uf0bd se e somente se X = \uf0b1 Y ( ou X = Y e X = - Y ) 
 
3) \uf0bdX\uf0bd < Y se e somente se -Y < X< Y (ou X < Y e X > -Y ) 
 
 
 
4) \uf0bdX\uf0bd \uf0b3 Y se e somente se X \uf0b3 Y ou X \uf0a3 -Y 
 
 
 
 
Exemplo1: Achar o domínio (solução) da expressão 
 
 \uf0bd3x + 2\uf0bd \uf0b3 5 
 
Solução: Usando a propriedade 4, do valor absoluto, onde X=3x+2, e Y=5 tem-se 
y 
x 
D : (-\uf0a5, 0) (0, \uf0a5) 
 
I : ( -\uf0a5, 0) (0, \uf0a5) 
 
x = 0 (singularidade) 
Neste caso, os valores de X 
estão internos aos de Y -Y Y 
X 
Neste caso, os valores de X 
estão externos aos de Y -Y Y 
X 
 21 
 3x + 2 \uf0b3 5 e 3x + 2 \uf0a3 -5 
Isolando x \uf0ae 3x \uf0b3 5 - 2 Isolando x,\uf0ae 3x \uf0a3 -5 - 2 
 3x \uf0b3 3 3x \uf0a3 -7 
 x \uf0b3 1 x \uf0a3 - 7
3
 
 solução existe no domínio (-\uf0a5, -7/3] e [1, \uf0a5) 
 
 
 
 
Exemplo 2 : Achar o conjunto 
solução da expressão \uf0bd2x + 3\uf0bd < 3 
 
Solução: Pela propriedade 3 , monta-se as duas equações 
 
2x +3 > -3 e 2x + 3 <3 
2x>-6 ou 2x < 0 ou 
x >-3 x < 0 
 
 
 
 
 
Exemplo 3: Achar x que satisfaz à expressão \uf0bd x -2\uf0bd = 5 
 
Solução: Pela propriedade 2 , tem-se x-2 = 5 e x-2 = -5 , cujas soluções são x = 7 e x 
= -3 satisfazem a equação dada. 
 
Exemplo 4: Estudar a função y = \uf0bdx\uf0bd 
 
 A variável independente x pode assumir qualquer valor, portanto o domínio é o 
conjunto dos números reais R. 
 
 
 
 
 
 
 
 
DESIGUALDADES (do 2o grau) 
 
 As desigualdades também apresentam soluções dentro de um intervalo do conjunto dos 
reais. A teoria vale para os sinais (>, \uf0b3 ,< e \uf0a3) . Exemplo, dada a desigualdade 
 
 a x2 + b x + c > 0 , as soluções x1 e x2 são obtidas com se fosse uma equação do 2
o 
grau ,ou x1 = (- b + 
acb 42 \uf02d
)/2a e x2 = (- b - 
acb 42 \uf02d
)/2a 
mas o conjunto de soluções é 
 D : (-\uf0a5 , x1 ) e (x2 , \uf0a5) , (o conjunto é extra-raizes) 
y = \uf0bdx\uf0bd 
y 
D : (-\uf0a5,\uf0a5) 
 I : [0 , \uf0a5) 
 x 
 
-7/3 1 
 \uf0a5 x x \uf0a5 
x 
-3 0 
 22 
 
 
 
 
 Se a desigualdade for negativa, ou seja, 
 
 a x2 + b x + c < 0 ( O conjunto é intra-raizes) 
 
 
 
 
 
Exemplo 1: Achar o domínio da função y = 
42 \uf02dx
 
 
Solução: x2 \u2013 4 \uf0b3 0 , logo D : (-\uf0a5 , -2] e [2 , \uf0a5 ) 
 
TIPOS DE FUNÇÃO 
 
 As funções mais usuais são: as pares, as ímpares, as polinomiais, as racionais, as 
algébricas, exponenciais e as trigonométricas. 
 
Funções Pares e Ímpares 
 
a) Uma função f é par, para todo x de seu domínio se f(-x) = f(x), ou seja, -x pertence ao 
domínio de f. 
b) Uma função f é ímpar, para todo x de seu domínio se f(-x) = -f(x). Isto é, -x pertence 
também ao domínio de f. 
Exemplos: 
 
a) Pares 
 
 g(x) = x2 f(x) = x4 + 2 
 
pois g(-x) = (-x)2 = x2 = g(x) f(-x) = (-x)4 + 2 = x4 + 2 = f(x) 
b) Ímpares 
 
 g(x) = x3 f(x) = 2x 
 g(-x) = (-x)3 = -x3 = -g(x) f(-x) = 2(-x) = -2x = -f(x) 
 
 Funções Polinomiais 
 
 São funções da forma 
 
 f(x) = a0 + a1x + a2x
2 + ... + anxx n > 0 e ai , reais 
 
Exemplo: 
 
 f(x) = 2x2 - x + 1 , a0 = 1, a1 = -1, a2 = 2 
 
Funções Racionais (razão) 
 
 São funções definidas por 
 
x x 
X1 X2 
x 
X1 X2 
 23 
 f(x) = 
p x
q x
( )
( )
 
 
onde p(x) e q(x) são funções polinomiais e q \uf0b9 0. 
 
Exemplo: 
 
 f(x) = 3 1
4 1
2
5 3
x x
x x
\uf02d \uf02b
\uf02d \uf02b
 é uma função racional 
 
 
Funções Algébricas 
 
 São resultantes de operações algébricas comuns. 
 
Exemplo: 
 
 f(x) = x + 1 , g(x) = 
x
x 2 5\uf02b
 etc. 
Exercícios 
 
 Classificar as funções abaixo: 
 
1) f(x) = x4 + x 
 
Resp. Não é par nem ímpar - é polinomial 
 
2) g(t) = 2t2 + 3\uf0bdt\uf0bd 
 
Resp. g(-t) = 2(-t)2 + 3\uf0bd-t\uf0bd = 2t2 + 3\uf0bdt\uf0bd = g(t) par 
 
3) f(x) = x
x
2 4
2
\uf02d
\uf02d
 (função racional, que pode ser simplificada para f(x) = x+2) 
 
RESUMO DOS TIPOS DE FUNÇÕES 
 
Tipo de Função Exemplo 
Par f(-x) = f(x) y=x4 \uf0ae y = (-x)4 = x4 
Ímpar f(-x) = - f(x) y = x3 \uf0ae y = (-x)3 = -x3 
Polinomiais f(x)=a0 +a1x+a2x
2+..+anx
n y = 3 +5x-7x2 e outros. 
Racionais f(x) = P(x)/Q(x) y =(2x3+ 4x) / (x2+2x) 
Algébricas Todas as anteriores. 
Trigonométricas y = senx , cosx , etc. 
Logarítmicas y =lnx , ou y = lgax 
Exponenciais y = ef(x) ou y = af(x) 
 
 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
 24 
As funções trigonométricas são 6, ou seja, seno, co-seno, tangente, secante, co-secante e co-
tangente. Essas funções são abreviadas por: sen, cos, tan (ou tg) , sec, csc, cot. Antes de 
estudar essas funções vamos estudar as medidas de ângulos. 
 As medidas de ângulos podem ser em graus e radianos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Num círculo completo s = \uf061r = 2\uf070r \uf0ae \uf061 = 2\uf070 r
r
 = 2\uf070 ou 360o equivalente a 2\uf070 
(radianos), e 180o = \uf070 = 3,1416 ... 
 
Graus 30o 45o 60º 90º 120º 135º 150º 180º 270º 360º 
Radianos 
\uf070
6
 
\uf070
4
 \uf070
3
 \uf070
2
 2
3
\uf070 3
4
\uf070 5
6
\uf070 
\uf070 
3
2
\uf070 
2\uf070 
 
 O grau é uma unidade sexagesimal , isto é, seus múltiplos e sub-múltiplos variam de 60 
em 60. Exemplo : 1o = 60\uf0a2(minutos de arco) e 1\uf0a2 = 60 \uf0a2\uf0a2(segundos de arco). 
 
 Ex.1 Transformar 35,758o em grau, minutos e segundos. 
 Solução: 
 = 35o + (0,758\uf0b460=45,48)parte inteira + (0,48\uf0b460=28,8) 
 
 = 35o 45\uf0a2 28,8\uf0a2\uf0a2 
 
 Ex.2 Efetuar a transformação inversa, ou seja, 35o 45\uf0a2 28,8\uf0a2\uf0a2 para a forma decimal 
.Solução: 
 
 = 35o + 45/60 + 28,8/(60\uf0b460) = 35,758o 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
História da Trigonometria 
 
 A trigonometria provavelmente começou quando se quis saber a altura de árvores e 
montanhas, sem que fosse necessário subir nas mesmas para medir. Construiu-se um 
triângulo com o lado maior(hipotenusa) coincidindo