Lista 2 de Geometria Analítica

Prévia do material em texto

MTM 5512 – GEOMETRIA ANALI´TICA
Prof: Roˆmulo Maia Vermersch
2a Lista de Exerc´ıcios - Vetores
Exerc´ıcio 1. Utilizando vetores, demonstre que o segmento cujos extremos sa˜o pontos
me´dios de dois lados de um triaˆngulo e´ paralelo ao terceiro lado e mede a metade deste
terceiro lado.
Exerc´ıcio 2. Calcule ‖u× v‖ sabendo que < u, v >= 3, ‖u‖ = 1 e ‖v‖ = 5.
Exerc´ıcio 3. Os vetores u e v formam entre si um aˆngulo de pi
6
radianos. Sabendo-se
que ‖u‖ = 2 e ‖v‖ = 3, calcule ‖u× v‖.
Exerc´ıcio 4. Calcule (
√
2i−√3j + k)× (−√6i+ 3j −√3k).
Exerc´ıcio 5. O lado do triaˆngulo equila´tero ABC mede a. Calcule ‖−→AB × −→AC‖ em
func¸a˜o de a.
Exerc´ıcio 6. Seja ABCD um tetraedro regular de aresta unita´ria. Calcule ‖−→AB×−−→CD‖.
Exerc´ıcio 7. Considere os vetores u = (1, 2,−1), v = (0, 3,−4), w = (1, 0,√3) e
t = (0, 0, 2). Calcule o volume do tetraedro ABCD, sabendo que
−→
AB = projvu,
−→
AC e´ o
sime´trico do versor de w e que
−−→
BD = projt(
−→
AB ×−→AC).
Exerc´ıcio 8. Mostre que {u, v} e´ L.I se e somente se {u+ v, u− v} e´ L.I.
Exerc´ıcio 9. Mostre que {u, v, w} e´ L.I se e somente se {u+ v, u+ w, v + w} e´ L.I.
Exerc´ıcio 10. Sejam u e v vetores unita´rios e perpendiculares entre si. Mostre que
‖u× v‖ = 1.
Exerc´ıcio 11. Sejam u = (2, 1,−3) e v = (1,−2, 1) vetores.
(a) Determine um vetor unita´rio simultaneamente perpendicular a u e v.
(b) Determine um vetor w perpendicular a u e v tal que ‖w‖ = 5.
Exerc´ıcio 12. Os aˆngulos α, β e γ que o vetor na˜o-nulo u = (x, y, z) faz, respectiva-
mente, com os vetores i, j e k sa˜o chamados aˆngulos diretores do vetor u. Mostre que
cos2α + cos2β + cos2γ = 1.
Exerc´ıcio 13. Seja u um vetor perpendicular a v e w. Sabendo-se que v e w formam
entre si um aˆngulo de pi
6
radianos e que ‖u‖ = 6, ‖v‖ = 3 e ‖w‖ = 3, calcule < u, v×w >.