Lista 1- matrizes

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MTM 5512 � GEOMETRIA ANALÍTICA
Prof: Rômulo M. Vermersch
1a Lista de Exercícios - Matrizes, determinantes e sistemas lineares
Exercício 1. Para cada uma das matrizes abaixo, deduza qual a ordem e, quando possível,
dê sua classificação como matriz linha, coluna ou quadrada. Se a matriz for quadrada,
diga ainda se ela é diagonal, identidade, nula, triangular superior, triangular inferior ou
simétrica.
i)
 14
10

ii)
 1 22 4
3 6

iii)
(
1 3 3
)
iv)
 0 0 −10 0 2
1 −2 0

v)
 1 0 02 4 0
3 6 3

vi)
 1 0 02 4 0
3 6 3

Agora, suponha que δij é o número 1 quando os índices i e j são iguais e que δij é o
número 0 quando os índices i e j são diferentes. Faça o mesmo estudo para:
vii) ∆ = (δij)4×4
viii) A = (δijaij)4×4, onde aij = (i)i+j
ix) ∆ = (δij − δji)4×4
x) A = (aij)4×4, onde aij = (−1)i+j
Exercício 2. Considere as matrizes quadradas A = (aij)3×3 e B = (bij)3×3, com seus
elementos dados por
aij =
{
i− j, se i ≥ j
i2 − 1, se i < j ,
e
bij =
{
i2 + j, se i ≥ j
j, se i < j
,
Sejam também as matrizes C = (cij)3×4 e D = (dij)4×2 tais que
cij =
{
j(−1)i, se i ≥ j
i(j − 2), se i < j ,
e
dij =
{ √
(i− 1)(j − 2), se i ≥ j
i/j, se i < j
.
Então responda as seguintes questões:
i) Descreva as matrizes A, B, C e D.
ii) Calcule A+B e B + A. As matrizes resultantes são as mesmas? Por quê?
iii) Calcule A ·B e B · A. As matrizes resultantes são as mesmas? Por quê?
iv) É possível calcular A+ C e C + A? Por quê?
v) É possível calcular B ·D e D ·B? Por quê?
vii) Calcule detA, detB e det (A ·B). Qual a relação entre esses 3 valores?
iv) (A+B) · C
v) At ·B
vi) A− At
viii) A−1 ·B−1
ix) A−B
Exercício 3. Considere a matriz
A =
 2 x x24 y x
1 1− y 0
 .
i) Deduza todos os possíveis valores de x e y para que a matriz A seja invertível.
ii) Se y = 0, deduza todos os possíveis valores de x para que det(At) = 1.
Exercício 4. Se A =
[
3 −2
−4 3
]
encontre todas as matrizes B tais que B2 = A.
Exercício 5. Explique por que, em geral, dadas matrizes A,B eC nem sempre tem-se
(A+B)2 = A2 +2AB+B2 e (A−B)(A+B) = A2−B2. Quais condições podemos impor
sobre as matrizes para que as igualdades se tornem verdadeiras?
Exercício 6. Calcule os determinantes das matrizes abaixo:
i)
 5 2 2−1 1 2
3 0 0

ii)
 cos θ sen θ tan θ0 cos θ −sen θ
0 sen θ cos θ

iii)

2 0 3 −1
1 0 2 2
0 −1 1 4
2 0 1 −3

iv)
 0 a 0b c d
0 e 0

v)

0 0 0 a
0 0 b c
0 d e f
g h i j

vi)
 1 1 −12 0 1
3 −2 1

Exercício 7. Supondo que det
 a b cd e f
g h i
 = 4 e que det [ a b
c d
]
=
1
3
, calcule os
determinantes das seguintes matrizes:
i)
 3a −b 2c3d −e 2f
3g −h 2i

ii)

d
ad− bc
b
bc− ad
c
bc− ad
a
ad− bc

iii)
 a b c2d− 3g 2e− 3h 2f − 3i
g h i

iv)
[
a2 + bc b(a+ d)
c(a+ d) bc+ d2
]
v)
[
(ad− bc)2 0
0 27(ad− bc)
]
Exercício 8. Determine todos os valores de k de modo que as seguintes matrizes sejam
invertíveis:
i)
 k 0 00 k + 1 1
k 0 k − 1

ii)
 1 0 0k 2 k
0 1 1

iii)
 1 1 00 5 k
k 2 k

iv)
 k k 01 2 k2
0 2k k

v)
 1 k 01 2 k
1 1 1

vi)
 1 1 01 2 k
0 0 k

Exercício 9. Suponha que AeB são matrizes quadradas de mesma ordem. Prove que:
i) det(AB) = det(BA); ii) det(B−1AB) = det(A), sempre que B
é invertível;
Exercício 10. Se A é idempotente (ou seja, se A2 = A), ache todos os valores possíveis
para det(A). Dê um exemplo de uma matriz idempotente.
Exercício 11. Encontre todas as matrizes simétricas A de ordem 2 que satisfazem:
i) A2 − A = 0 e AB = BA, para B =
[
1 1
1 1
]
.
ii) AB =
[
1 1
0 1
]
, onde B =
[
1 2
0 1
]
.
Exercício 12. Seja A uma matriz quadrada. Dizemos que A é uma matriz ortogonal,
quando A · At = Id, onde Id é a matriz quadrada identidade. Mostre que se A é uma
matriz ortogonal, então:
i) At = A−1.
ii) det(A) = ±1.
iii) Se a ordem de A é 2, então A deve ter uma das seguintes formas:
A =
[
a b
−b a
]
ou A =
[
a b
b −a
]
,
com a condição a2 + b2 = 1.
Exercício 13. Suponha que A é uma matriz coluna de ordem n×1 que satisfaz At ·A = 1
e defina a matriz H por
H := Id− 2 [A · At] ,
onde Id é a matriz identidade n× n. Mostre que:
i) H é uma matriz simétrica.
ii) H t ·H = Id.
iii) H−1 = H t.
Exercício 14. Calcule, caso exista, a inversa de cada uma das matrizes abaixo:
(a)
 3 0 12 3 1
1 −1 0

(b)
 5 2 10 2 −3
3 4 −2

(c)

1 0 −1 2
2 1 1 −1
−1 −1 0 2
3 1 −1 3

Exercício 15. Reduza as matrizes abaixo à sua forma escada equivalente por linhas:
(a)
 1 −2 3 −12 −1 2 3
3 1 2 3

(b)
 0 1 3 −22 1 −4 3
2 3 2 −1

(c)

0 2 2
1 1 3
3 −4 2
2 −3 1

Exercício 16. Estude o conjunto solução dos seguintes sistemas reduzindo suas matrizes
ampliadas à forma escada equivalente, encontrando o posto e o grau de liberdade.
(a)

x+ y + z = 4
2x+ 5y − 2z = 3
x+ 7y − 7z = 5
(b)

x+ 2y + 3z = 0
2x+ y + 3z = 0
3x+ 2y + z = 0
(c)

x1 + x2 + x3 + x4 = 0
x1 + x2 + x3 − x4 = 4
x1 + x2 − x3 + x4 = −4
x1 − x2 + x3 + x4 = 2