Lista 1 de Geometria Analítica
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Lista 1 de Geometria Analítica


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MTM 5512 \ufffd GEOMETRIA ANALÍTICA
Prof: Rômulo M. Vermersch
1a Lista de Exercícios - Matrizes, determinantes e sistemas lineares
Exercício 1. Para cada uma das matrizes abaixo, deduza qual a ordem e, quando possível,
dê sua classi\ufb01cação como matriz linha, coluna ou quadrada. Se a matriz for quadrada,
diga ainda se ela é diagonal, identidade, nula, triangular superior, triangular inferior ou
simétrica.
i)
\uf8eb\uf8ed 14
10
\uf8f6\uf8f8
ii)
\uf8eb\uf8ed 1 22 4
3 6
\uf8f6\uf8f8
iii)
(
1 3 3
)
iv)
\uf8eb\uf8ed 0 0 \u221210 0 2
1 \u22122 0
\uf8f6\uf8f8
v)
\uf8eb\uf8ed 1 0 02 4 0
3 6 3
\uf8f6\uf8f8
vi)
\uf8eb\uf8ed 1 0 02 4 0
3 6 3
\uf8f6\uf8f8
Agora, suponha que \u3b4ij é o número 1 quando os índices i e j são iguais e que \u3b4ij é o
número 0 quando os índices i e j são diferentes. Faça o mesmo estudo para:
vii) \u2206 = (\u3b4ij)4×4
viii) A = (\u3b4ijaij)4×4, onde aij = (i)i+j
ix) \u2206 = (\u3b4ij \u2212 \u3b4ji)4×4
x) A = (aij)4×4, onde aij = (\u22121)i+j
Exercício 2. Considere as matrizes quadradas A = (aij)3×3 e B = (bij)3×3, com seus
elementos dados por
aij =
{
i\u2212 j, se i \u2265 j
i2 \u2212 1, se i < j ,
e
bij =
{
i2 + j, se i \u2265 j
j, se i < j
,
Sejam também as matrizes C = (cij)3×4 e D = (dij)4×2 tais que
cij =
{
j(\u22121)i, se i \u2265 j
i(j \u2212 2), se i < j ,
e
dij =
{ \u221a
(i\u2212 1)(j \u2212 2), se i \u2265 j
i/j, se i < j
.
Então responda as seguintes questões:
i) Descreva as matrizes A, B, C e D.
ii) Calcule A+B e B + A. As matrizes resultantes são as mesmas? Por quê?
iii) Calcule A ·B e B · A. As matrizes resultantes são as mesmas? Por quê?
iv) É possível calcular A+ C e C + A? Por quê?
v) É possível calcular B ·D e D ·B? Por quê?
vii) Calcule detA, detB e det (A ·B). Qual a relação entre esses 3 valores?
iv) (A+B) · C
v) At ·B
vi) A\u2212 At
viii) A\u22121 ·B\u22121
ix) A\u2212B
Exercício 3. Considere a matriz
A =
\uf8ee\uf8f0 2 x x24 y x
1 1\u2212 y 0
\uf8f9\uf8fb .
i) Deduza todos os possíveis valores de x e y para que a matriz A seja invertível.
ii) Se y = 0, deduza todos os possíveis valores de x para que det(At) = 1.
Exercício 4. Se A =
[
3 \u22122
\u22124 3
]
encontre todas as matrizes B tais que B2 = A.
Exercício 5. Explique por que, em geral, dadas matrizes A,B eC nem sempre tem-se
(A+B)2 = A2 +2AB+B2 e (A\u2212B)(A+B) = A2\u2212B2. Quais condições podemos impor
sobre as matrizes para que as igualdades se tornem verdadeiras?
Exercício 6. Calcule os determinantes das matrizes abaixo:
i)
\uf8ee\uf8f0 5 2 2\u22121 1 2
3 0 0
\uf8f9\uf8fb
ii)
\uf8ee\uf8f0 cos \u3b8 sen \u3b8 tan \u3b80 cos \u3b8 \u2212sen \u3b8
0 sen \u3b8 cos \u3b8
\uf8f9\uf8fb
iii)
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
2 0 3 \u22121
1 0 2 2
0 \u22121 1 4
2 0 1 \u22123
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb
iv)
\uf8ee\uf8f0 0 a 0b c d
0 e 0
\uf8f9\uf8fb
v)
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
0 0 0 a
0 0 b c
0 d e f
g h i j
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb
vi)
\uf8ee\uf8f0 1 1 \u221212 0 1
3 \u22122 1
\uf8f9\uf8fb
Exercício 7. Supondo que det
\uf8ee\uf8f0 a b cd e f
g h i
\uf8f9\uf8fb = 4 e que det [ a b
c d
]
=
1
3
, calcule os
determinantes das seguintes matrizes:
i)
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 3a \u2212b 2c3d \u2212e 2f
3g \u2212h 2i
\uf8f9\uf8fa\uf8fb
ii)
\uf8ee\uf8ef\uf8f0
d
ad\u2212 bc
b
bc\u2212 ad
c
bc\u2212 ad
a
ad\u2212 bc
\uf8f9\uf8fa\uf8fb
iii)
\uf8ee\uf8ef\uf8f0 a b c2d\u2212 3g 2e\u2212 3h 2f \u2212 3i
g h i
\uf8f9\uf8fa\uf8fb
iv)
[
a2 + bc b(a+ d)
c(a+ d) bc+ d2
]
v)
[
(ad\u2212 bc)2 0
0 27(ad\u2212 bc)
]
Exercício 8. Determine todos os valores de k de modo que as seguintes matrizes sejam
invertíveis:
i)
\uf8ee\uf8f0 k 0 00 k + 1 1
k 0 k \u2212 1
\uf8f9\uf8fb
ii)
\uf8ee\uf8f0 1 0 0k 2 k
0 1 1
\uf8f9\uf8fb
iii)
\uf8ee\uf8f0 1 1 00 5 k
k 2 k
\uf8f9\uf8fb
iv)
\uf8ee\uf8f0 k k 01 2 k2
0 2k k
\uf8f9\uf8fb
v)
\uf8ee\uf8f0 1 k 01 2 k
1 1 1
\uf8f9\uf8fb
vi)
\uf8ee\uf8f0 1 1 01 2 k
0 0 k
\uf8f9\uf8fb
Exercício 9. Suponha que AeB são matrizes quadradas de mesma ordem. Prove que:
i) det(AB) = det(BA); ii) det(B\u22121AB) = det(A), sempre que B
é invertível;
Exercício 10. Se A é idempotente (ou seja, se A2 = A), ache todos os valores possíveis
para det(A). Dê um exemplo de uma matriz idempotente.
Exercício 11. Encontre todas as matrizes simétricas A de ordem 2 que satisfazem:
i) A2 \u2212 A = 0 e AB = BA, para B =
[
1 1
1 1
]
.
ii) AB =
[
1 1
0 1
]
, onde B =
[
1 2
0 1
]
.
Exercício 12. Seja A uma matriz quadrada. Dizemos que A é uma matriz ortogonal,
quando A · At = Id, onde Id é a matriz quadrada identidade. Mostre que se A é uma
matriz ortogonal, então:
i) At = A\u22121.
ii) det(A) = ±1.
iii) Se a ordem de A é 2, então A deve ter uma das seguintes formas:
A =
[
a b
\u2212b a
]
ou A =
[
a b
b \u2212a
]
,
com a condição a2 + b2 = 1.
Exercício 13. Suponha que A é uma matriz coluna de ordem n×1 que satisfaz At ·A = 1
e de\ufb01na a matriz H por
H := Id\u2212 2 [A · At] ,
onde Id é a matriz identidade n× n. Mostre que:
i) H é uma matriz simétrica.
ii) H t ·H = Id.
iii) H\u22121 = H t.
Exercício 14. Calcule, caso exista, a inversa de cada uma das matrizes abaixo:
(a)
\uf8ee\uf8f0 3 0 12 3 1
1 \u22121 0
\uf8f9\uf8fb
(b)
\uf8ee\uf8f0 5 2 10 2 \u22123
3 4 \u22122
\uf8f9\uf8fb
(c)
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1 0 \u22121 2
2 1 1 \u22121
\u22121 \u22121 0 2
3 1 \u22121 3
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb
Exercício 15. Reduza as matrizes abaixo à sua forma escada equivalente por linhas:
(a)
\uf8ee\uf8f0 1 \u22122 3 \u221212 \u22121 2 3
3 1 2 3
\uf8f9\uf8fb
(b)
\uf8ee\uf8f0 0 1 3 \u221222 1 \u22124 3
2 3 2 \u22121
\uf8f9\uf8fb
(c)
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
0 2 2
1 1 3
3 \u22124 2
2 \u22123 1
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb
Exercício 16. Estude o conjunto solução dos seguintes sistemas reduzindo suas matrizes
ampliadas à forma escada equivalente, encontrando o posto e o grau de liberdade.
(a)
\uf8f1\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f3
x+ y + z = 4
2x+ 5y \u2212 2z = 3
x+ 7y \u2212 7z = 5
(b)
\uf8f1\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f3
x+ 2y + 3z = 0
2x+ y + 3z = 0
3x+ 2y + z = 0
(c)
\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
x1 + x2 + x3 + x4 = 0
x1 + x2 + x3 \u2212 x4 = 4
x1 + x2 \u2212 x3 + x4 = \u22124
x1 \u2212 x2 + x3 + x4 = 2