Lista 2 de Geometria Analítica
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Lista 2 de Geometria Analítica


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MTM 5512 \u2013 GEOMETRIA ANALI´TICA
Prof: Ro\u2c6mulo Maia Vermersch
2a Lista de Exerc´\u131cios - Vetores
Exerc´\u131cio 1. Utilizando vetores, demonstre que o segmento cujos extremos sa\u2dco pontos
me´dios de dois lados de um tria\u2c6ngulo e´ paralelo ao terceiro lado e mede a metade deste
terceiro lado.
Exerc´\u131cio 2. Calcule \u2016u× v\u2016 sabendo que < u, v >= 3, \u2016u\u2016 = 1 e \u2016v\u2016 = 5.
Exerc´\u131cio 3. Os vetores u e v formam entre si um a\u2c6ngulo de pi
6
radianos. Sabendo-se
que \u2016u\u2016 = 2 e \u2016v\u2016 = 3, calcule \u2016u× v\u2016.
Exerc´\u131cio 4. Calcule (
\u221a
2i\u2212\u221a3j + k)× (\u2212\u221a6i+ 3j \u2212\u221a3k).
Exerc´\u131cio 5. O lado do tria\u2c6ngulo equila´tero ABC mede a. Calcule \u2016\u2212\u2192AB × \u2212\u2192AC\u2016 em
func¸a\u2dco de a.
Exerc´\u131cio 6. Seja ABCD um tetraedro regular de aresta unita´ria. Calcule \u2016\u2212\u2192AB×\u2212\u2212\u2192CD\u2016.
Exerc´\u131cio 7. Considere os vetores u = (1, 2,\u22121), v = (0, 3,\u22124), w = (1, 0,\u221a3) e
t = (0, 0, 2). Calcule o volume do tetraedro ABCD, sabendo que
\u2212\u2192
AB = projvu,
\u2212\u2192
AC e´ o
sime´trico do versor de w e que
\u2212\u2212\u2192
BD = projt(
\u2212\u2192
AB ×\u2212\u2192AC).
Exerc´\u131cio 8. Mostre que {u, v} e´ L.I se e somente se {u+ v, u\u2212 v} e´ L.I.
Exerc´\u131cio 9. Mostre que {u, v, w} e´ L.I se e somente se {u+ v, u+ w, v + w} e´ L.I.
Exerc´\u131cio 10. Sejam u e v vetores unita´rios e perpendiculares entre si. Mostre que
\u2016u× v\u2016 = 1.
Exerc´\u131cio 11. Sejam u = (2, 1,\u22123) e v = (1,\u22122, 1) vetores.
(a) Determine um vetor unita´rio simultaneamente perpendicular a u e v.
(b) Determine um vetor w perpendicular a u e v tal que \u2016w\u2016 = 5.
Exerc´\u131cio 12. Os a\u2c6ngulos \u3b1, \u3b2 e \u3b3 que o vetor na\u2dco-nulo u = (x, y, z) faz, respectiva-
mente, com os vetores i, j e k sa\u2dco chamados a\u2c6ngulos diretores do vetor u. Mostre que
cos2\u3b1 + cos2\u3b2 + cos2\u3b3 = 1.
Exerc´\u131cio 13. Seja u um vetor perpendicular a v e w. Sabendo-se que v e w formam
entre si um a\u2c6ngulo de pi
6
radianos e que \u2016u\u2016 = 6, \u2016v\u2016 = 3 e \u2016w\u2016 = 3, calcule < u, v×w >.