Lista 5 de Geometria Analítica
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Lista 5 de Geometria Analítica


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MTM 5512 \u2013 GEOMETRIA ANALI´TICA
Prof: Ro\u2c6mulo Maia Vermersch
5a Lista de Exerc´\u131cios - Superf´\u131cies
Exerc´\u131cio 1. Escreva a equac¸a\u2dco das superf´\u131cies de rotac¸a\u2dco geradas pelas curvas do plano
XZ em torno do eixo OZ:
(a) x2 + z2 = 4.
(b) x2 \u2212 z2 = 1.
(c) (x\u2212 5)2 + (z \u2212 3)2 = 1.
(d) 4z2 \u2212 3x = 0.
Exerc´\u131cio 2. Idem girando em torno do eixo OX.
Exerc´\u131cio 3. Escreva a equac¸a\u2dco da superf´\u131cie de rotac¸a\u2dco gerada pela reta\uf8f1\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f3
x = t
y = 1 (t \u2208 R)
z = 4t
quando gira em torno do eixo OZ. Verifique que e´ um hiperbolo´ide de
uma folha.
Exerc´\u131cio 4. Mostre que a equac¸a\u2dco Z =
\u2212X2
a2
+
Y 2
b2
do parabolo´ide hiperbo´lico pode ser
escrita na forma Z = (\u2212X
a
+ Y
b
)(X
a
+ Y
b
). Mostre que dado c 6= 0, a reta rc:
{
X
a
+ Y
b
= c
\u2212X
a
+ Y
b
= Z
c
esta´ contida neste parabolo´ide hiperbo´lico. Mostre tambe´m que dado d 6= 0, a reta
sd:
{
X
a
+ Y
b
= Z
d
\u2212X
a
+ Y
b
= d
esta´ contida neste parabolo´ide hiperbo´lico. Conclua que o parabolo´ide
hiperbo´lico e´ uma superf´\u131cie formada por retas. Uma superf´\u131cie deste tipo e´ dita superf´\u131cie
regrada.
Exerc´\u131cio 5. Escreva a equac¸a\u2dco da superf´\u131cie de rotac¸a\u2dco gerada pela reta do exerc´\u131cio 3
quando gira em torno da reta
{
x = \u22122
y = 3
Exerc´\u131cio 6. Escreva a equac¸a\u2dco da superf´\u131cie cil´\u131ndrica de geratrizes paralelas a` reta\uf8f1\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f3
x = \u22121 + 2t
y = 2 + 3t (t \u2208 R)
z = 1 + t
e que sejam tangentes a` esfera X2 + Y 2 + Z2 = 4
Exerc´\u131cio 7. Escreva a equac¸a\u2dco da superf´\u131cie co\u2c6nica de ve´rtice (1, 5, 7) cujas geratrizes
sa\u2dco tangentes a` esfera X2 + Y 2 + Z2 = 1.
Exerc´\u131cio 8. Dados a, b, c > 0, mostre que o elipso´ide X
2
a2
+ Y
2
b2
+ Z
2
c2
= 1 e´ uma qua´drica
de rotac¸a\u2dco se e somente se a=b ou a=c ou b=c.