Lista 5 de Geometria Analítica

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MTM 5512 – GEOMETRIA ANALI´TICA
Prof: Roˆmulo Maia Vermersch
5a Lista de Exerc´ıcios - Superf´ıcies
Exerc´ıcio 1. Escreva a equac¸a˜o das superf´ıcies de rotac¸a˜o geradas pelas curvas do plano
XZ em torno do eixo OZ:
(a) x2 + z2 = 4.
(b) x2 − z2 = 1.
(c) (x− 5)2 + (z − 3)2 = 1.
(d) 4z2 − 3x = 0.
Exerc´ıcio 2. Idem girando em torno do eixo OX.
Exerc´ıcio 3. Escreva a equac¸a˜o da superf´ıcie de rotac¸a˜o gerada pela reta
x = t
y = 1 (t ∈ R)
z = 4t
quando gira em torno do eixo OZ. Verifique que e´ um hiperbolo´ide de
uma folha.
Exerc´ıcio 4. Mostre que a equac¸a˜o Z =
−X2
a2
+
Y 2
b2
do parabolo´ide hiperbo´lico pode ser
escrita na forma Z = (−X
a
+ Y
b
)(X
a
+ Y
b
). Mostre que dado c 6= 0, a reta rc:
{
X
a
+ Y
b
= c
−X
a
+ Y
b
= Z
c
esta´ contida neste parabolo´ide hiperbo´lico. Mostre tambe´m que dado d 6= 0, a reta
sd:
{
X
a
+ Y
b
= Z
d
−X
a
+ Y
b
= d
esta´ contida neste parabolo´ide hiperbo´lico. Conclua que o parabolo´ide
hiperbo´lico e´ uma superf´ıcie formada por retas. Uma superf´ıcie deste tipo e´ dita superf´ıcie
regrada.
Exerc´ıcio 5. Escreva a equac¸a˜o da superf´ıcie de rotac¸a˜o gerada pela reta do exerc´ıcio 3
quando gira em torno da reta
{
x = −2
y = 3
Exerc´ıcio 6. Escreva a equac¸a˜o da superf´ıcie cil´ındrica de geratrizes paralelas a` reta
x = −1 + 2t
y = 2 + 3t (t ∈ R)
z = 1 + t
e que sejam tangentes a` esfera X2 + Y 2 + Z2 = 4
Exerc´ıcio 7. Escreva a equac¸a˜o da superf´ıcie coˆnica de ve´rtice (1, 5, 7) cujas geratrizes
sa˜o tangentes a` esfera X2 + Y 2 + Z2 = 1.
Exerc´ıcio 8. Dados a, b, c > 0, mostre que o elipso´ide X
2
a2
+ Y
2
b2
+ Z
2
c2
= 1 e´ uma qua´drica
de rotac¸a˜o se e somente se a=b ou a=c ou b=c.