04 TopicosdeAlgebra
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04 TopicosdeAlgebra


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Um polinômio p = anxn + . . .+ a1x + a0 \u2208 K[x ] de grau n é mônico, se a1 = 1.
Exemplo 2.6. Existe um único polinômio mônico de grau 0, a saber, p = 1. Os polinômios mônicos de grau
1 em K[x ] são da forma p = x + a.
2.11 Definição. Sejam f , g \u2208 K[x ] polinômios não simultaneamente nulos. Dizemos que d \u2208 K[x ] é um
máximo divisor comum de f e g se:
(i) d é mônico;
(ii) d | f e d | g ;
(iii) se q \u2208 K[x ] for tal que q | f e q | g , então q | d .
Se d for um máximo divisor comum de f e g , escrevemos d = mdc(f , g).
ER 18. Se f = 2x + 2 \u2208 R[x ] e g = x2 \u2212 1 \u2208 R[x ], o polinômio d = x + 1 \u2208 R[x ] é um máximo divisor comum
de f e g .
Solução: De fato, d = x +1 é um polinômio mônico. Uma vez que f = 2d e g = (x\u22121)d , vemos também
que d | f e d | g .
Suponhamos, agora, que q \u2208 R[x ] é tal que q | f e q | g . Então existe h \u2208 R[x ] tal que f = qh. Como
gr(f ) = 1, concluímos que gr(q) = 0 ou gr(q) = 1.
No primeiro caso, temos q \u2208 R\u2212 0, isto é q = c 6= 0 e, portanto , q | d .
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No segundo caso, temos q = ax + b e h = c , em que a, c 6= 0. Temos também que b 6= 0, pois f não é
múltiplo de x . Segue-se então da igualdade f = qh que ac = bc = 2. Como c 6= 0, concluímos que a = b, ou
seja, q = a(x + 1). Portanto, d = x + 1 = 1
a
q, ou seja, q | d .
A seguir, como foi feito para números inteiros, demonstraremos a existência e a unicidade do máximo divisor
comum dos polinômios não simultaneamente nulos f , g \u2208 K[x ].
2.12 Teorema. Se f , g \u2208 K[x ] não forem simultaneamente nulos, então o máximo divisor comum de f e q
existe e é único.
Prova: Mostraremos primeiro a unicidade. Suponha que existam d1, d2 \u2208 K[x ] tais que
d1 = mdc(f , g) e d2 = mdc(f , g).
Como d1 = mdc(f , g), concluímos que d2 | d1, pois d2 | f e d2 | g . De forma análoga, concluímos que
d1 | d2.
Assim, pela Proposição 2.9 item (iv), existe c \u2208 K, c 6= 0, tal que d2 = cd1. Como d1 e d2 são mônicos,
concluímos que c = 1 e, portanto, d1 = d2.
Para demonstrar a existência, suponhamos g não-nulo. Logo, pelo Lema da Divisão de Euclides para
polinômios, existem q1, r1 \u2208 K[x ] tais que
f = q1g + r1, com gr(r1) < gr(g) ou r1 = 0.
Se r1 = 0, então g satisfaz as propriedades (ii) e (iii) da definição do máximo divisor comum de f e g .
Dividindo g pelo coeficiente de seu termo de maior grau, obtemos um polinômio mônico, qual seja, mdc(f , g).
Se r1 6= 0, então existem polinômio q2, r2 \u2208 K[x ] tais que
g = q2r1 + r2, com gr(r2) < gr(r1) ou r2 = 0.
Se r2 = 0, então r1 satisfaz as propriedades (ii) e (iii) da definição do máximo divisor comum de f e g .
Obtemos um polinômio mônico como anteriormente: dividimos r1 pelo coeficiente de seu termo de maior grau.
Se r2 6= 0, então
r1 = q3r2 + r3, com gr(r3) < gr(r3) ou r3 = 0.
Continuando este processo obtemos:
f = q1g + r1, gr(r1) < gr(g)
g = q2r1 + r2, gr(r2) < gr(r1)
r1 = q3r2 + r3, gr(r3) < gr(r2)
.
.
.
rn\u22122 = qnrn\u22121 + rn, gr(rn) < gr(rn\u22121)
rn\u22121 = qn+1rn.
Sabemos que, necessariamente, existe n \u2208 N tal que rn+1 = 0, pois
gr(g) > gr(r1) > gr(r2) > . . . \u2265 0.
Afirmamos que, se rn+1 = 0, então o polinômio rn satisfaz as condições (ii) e (iii) da definição do máximo
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divisor comum de f e g . (A demonstração desse fato é idêntica à demonstração do resultado análogo para
números inteiros.) De fato, observando essa seqüência de igualdade de baixo para cima, vemos que rn |
rn\u22121, rn | rn\u22122 (pois divide o lado direito de igualdade), . . . , rn | g , rn | f . Além disso, se q | f e q | g ,
considerando essa seqüência de igualdades de cima para baixo, vemos que q | rn.
Se rn não for mônico, dividimos esse polinômio pelo coeficiente de seu termo de maior grau , isto é,
definimos
rn =
1
an
rn,
em que an é o coeficiente do termo de maior grau de rn. Assim r \u2032n = mdc(f .g). 2
Observe que a condição (i) da definição do máximo divisor comum de dois polinômios foi imposta justamente
para garantir sua unicidade. A demonstração apresentada é construtiva, isto é, ela nos fornece uma maneira
prática para determinar o máximo divisor comum dos polinômios f e g . Esse algoritmo é o algoritmo de
Euclides para o cálculo do máximo divisor de dois polinômios e é análogo ao usado para calcular o máximo
divisor comum de dois números inteiros. Note que a demonstração apresentada mostra que se g | f , então
mdc(f , g) = (
1
an
)g , em que an é o termo de maior grau de g .
Exemplo 2.7. Se f = x4 + x3 + 2x2 \u2212 2 e g = x2 + x + 3 estão em R[x ], então, pelo algoritmo anterior, temos
f = (x2 \u2212 1)g + (x + 1), r1 = x + 1
g = x(x + 1) + 3, r2 = 3
x + 1 = 3(
x
3
+
1
3
) + 0, r3 = 0.
O último resto não-nulo obtido nesse processo é r2 = 3, que não é polinômio mônico. Logo, mdc(f , g) = 1.
Exemplo 2.8. Consideremos agora os polinômios
f = x4 + x3 + x2 + 2x + 1 e g = x3 + x2 + x + 1
em R[x ]. Como antes, temos
f = xg + (x + 1), r1 = x + 1
g = (x2 + 1)(x + 1) + 0, r2 = 0.
Como x + 1 é mônico, então d = x + 1 é o máximo divisor comum de f e g .
Vimos que, para números inteiros, o máximo divisor comum de dois números a e b escreve-se como combi-
nação linear de a e b. Um resultado análogo para polinômios é dado no seguinte corolário.
2.13 Corolário. Se d \u2208 K[x ] for o máximo divisor comum de f e g , então existem a, b \u2208 K[x ] tais que
d = af + bg .
Prova: Usaremos a prova da existência e unicidade do máximo divisor comum de dois polinômios. Temos
novamente uma demonstração similar àquela feita para números inteiros.
Se g | f , isto é, se r1 = 0, o Teorema da Unicidade nos garante
d = mdc(f , g) =
1
an
g ,
em que an é o coeficiente do termo de maior grau de g . Logo,
d = mdc(f , g) =
1
an
g =
1
an
g + 0 · f ,
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que é uma combinação linear de f e g .
Se r1 6= 0, então foi mostrado no referido teorema que
d =
1
an
rn,
em que rn é o último resto não-nulo obtido quando se aplica o algoritmo de Euclides aos polinômios f e g .
Logo, se mostrarmos que qualquer um dos r \u2032i s se escreve como combinação linear de f e g , o corolário estará
demonstrado.
Ainda de acordo com o Teorema da Unicidade, temos que
r1 = f \u2212 q1g
é uma combinação de f e g (com a = 1 e b = \u2212q). Suponhamos, por indução, que para todo i \u2264 n\u2212 1, ri seja
combinação linear de f e g . Em particular temos:
rn\u22121 = an\u22121f + bn\u22121g e rn\u22122 = an\u22122f + bn\u22122g ,
em que an\u22121, bn\u22121, an\u22122, bn\u22122 \u2208 K[x ]. Como pelo desenvolvimento da demonstração do Teorema da Unicidade
temos
rn = rn\u22122 \u2212 qnrn\u22121,
então
rn = (an\u22122f + bn\u22122g)\u2212 qn(an\u22121f + bn\u22121g)
= (an\u22122 \u2212 qnan\u22121)f + (bn\u22122 \u2212 qnbn\u22121)g .
Tomando
an = an\u22122 \u2212 qnan\u22121 e bn = bn\u22122 \u2212 qnbn\u22121,
obtemos o resultado afirmado. 2
Exemplo 2.9. No exemplo 2.7 já mostramos ao calcular o máximo divisor comum dos polinômios f =
x4 + x3 + 2x2 \u2212 2 e g = x2 + x + 3, que o último resto não-nulo obtido no algoritmo de Euclides foi r2 = 3 e que
mdc(f , g) = 1. O algoritmo de Euclides então nos dava
3 = g \u2212 x(x + 1) = g \u2212 x [f \u2212 (x2 \u2212 1)g ] = (\u2212x)f + (x3 \u2212 x + 1)g .
Logo,
1 =

\u22121
3
x
‹
f +

1
3
x3 \u2212 1
3
x +
1
3
‹
g ,
isto é a = (\u22121
3
x) e b =

1
3
x3 \u2212 1
3
x +
1
3
‹
.
Os polinômios a e b do corolário anterior não são únicos (verifique isso com raciocínio análogo ao apresen-
tado para números inteiros). Também não podemos garantir que, se h \u2208 K[x ] se escreve como combinação
linear de f e g , então h = mdc(f , g).
2.14 Proposição. Sejam f , g , h \u2208 K[x ]. Então vale:
(i) se f | gh e mdc(f , g) = 1, então f | h;
(ii) se f | h, g | h e mdc(f , g) = 1, então f g | h.
TÓPICOS DE ÁLGEBRA 59
Prova: Para mostrar (i), observe que se mdc(f , g) = 1, então existem a, b \u2208 K[x ] tais que af + bg = 1 e,
portanto, af h + bgh = h.
Como f | f e f | gh (por hipótese), então f | (af h + bgh), ou seja, f