04 TopicosdeAlgebra
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04 TopicosdeAlgebra


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| h.
Para o segundo item, como mdc(f , g) = 1, existem a, b \u2208 K[x ] tais que af + bg = 1 e, também, temos,
nesse caso,
af h + bgh = h. ( 2.4)
Como f | h e g | h, existem polinômios f \u2032, g \u2032 \u2208 K[x ] tais que h = ff \u2032 e h = gg \u2032.
Substituindo essas expressões na equação 2.4, obtemos af (gg \u2032)+bg(ff \u2032) = h, ou seja, f g(ag \u2032+bf \u2032) = h,
isto é, f g | h. 2
2.4.2 Mínimo Múltiplo Comum
Apresentaremos a seguir a definição de mínimo múltiplo comum e mostraremos a relação entre o máximo
divisor comum e o mínimo múltiplo comum de dois polinômios.
2.15 Definição. Sejam f , g \u2208 K[x ] polinômios não-nulos. Um mínimo múltiplo comum de f e g é um
polinômio m \u2208 K[x ] tal que
(i) m é mônico;
(ii) f | m e g | m;
(iii) se h \u2208 K[x ] for tal que f | h e g | h, então m | h.
Se m for um mínimo múltiplo comum de f e g , escrevemos m = mmc(f , g).
A existência e unicidade do mínimo múltiplo comum de dois polinômios decorre do seguinte resultado:
2.16 Proposição. Sejam f = anxn + . . .+ a1x + a0, g = bmxm + . . . + b1x + b0 \u2208 K[x ] polinômios de graus n e
m, respectivamente. Então
mmc(f , g) =
f g
anbm(mdc(f , g))
.
Prova: Seja
h =
f g
anbm(mdc(f , g))
.
Vamos mostrar que h \u2208 K[x ] satisfaz a definição do mínimo múltiplo comum de f e g . Denotando d =
mdc(f , g), temos que d | f ; assim, f = f1d , com f1 \u2208 K[x ]. Então
h =
f1dg
anbmd
=
f1g
anbm
,
isto é,
h = cf1g , c \u2208 K, f1 \u2208 K[x ], g \u2208 K[x ],
e portanto, h \u2208 K[x ]. Afirmamos que h é mônico. De fato 1
an
f e
1
bm
g são mônicos. Como o produto de
polinômios mônicos é um polinômio mônico, vemos que dh é mônico. Como d também é mônico, concluímos
FTC EAD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA60
o afirmado.
Temos também que f | h, pois h = f g
anbmd
= f
g
anbmd
, com
g
anbmd
\u2208 K[x ]. De forma análoga concluímos
que g | h.
Suponhamos agora que s \u2208 K[x ] satisfaça
f | s e g | s.
Queremos mostrar que h | s, ou seja, que existe q \u2208 K[x ] tal que
s = qh = q
f g
anbmd
,
isto é, que
sd = q1f g , com q1 \u2208 K[x ].
Como d = mdc(f , g), existem polinômios a, b \u2208 K[x ] tais que
d = af + bg .
Portanto, sd = saf + sbg .
Como f | s e g | s, existem polinômios a1 e b1 em K[x ] tais que
s = a1f e s = b1g .
Logo,
sd = b1gaf + a1f bg ,
isto é,
sd = (b1a + a1b)f g = q1f g ,
mostrando a afirmação e concluindo a prova. 2
2.4.3 Exercícios Propostos
EP 2.9. Ache o mdc(f , g), sendo f = x4 + 2x3\u2212 6x \u2212 9 e g = 3x4 + 8x3 + 14x2 + 8x + 3. Determine, também,
polinômios a, b \u2208 R[x ] tais que mdc(f , g) = af + bg .
EP 2.10. Encontre o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum de
(x \u2212 2)3(x \u2212 3)4(x2 + 1) e (x \u2212 1)(x \u2212 2)(x \u2212 3)3
em C[x ] e em R[x ].
Raízes e Irredutibilidade
Nesta seção apresentaremos outros resultados importantes sobre polinômios e introduziremos o conceito
de irredutibilidade. Veremos que podemos decompor um polinômio em fatores mais simples, que chamaremos
fatores irredutíveis ( ao invés de primos como foi feito para os inteiros). Mostraremos também a relação entre a
existência de raízes e a existência de fatores de grau um na decomposição do polinômio.
TÓPICOS DE ÁLGEBRA 61
2.5 Raízes e Fatoração
2.17 Definição. Sejam f \u2208 K[x ] e a \u2208 K. Diremos que a é uma raiz de f , se a função polinomial associada a
f se anula em a, isto é, se f (a) = 0.
Exemplo 2.10. Se f = x2 + 1 \u2208 R[x ], então f não possui raízes reais, pois, para todo a \u2208 R, temos que
a2 + 1 \u2265 1, ou seja, f (a) nunca se anula. Por outro lado, considerando f como elemento de C[x ], ele possui
duas raízes que são a = i e a = \u2212i .
2.18 Proposição. Se f \u2208 K[x ] e a \u2208 K, então o resto na divisão euclidiana de f por x \u2212 a é f (a).
Prova: Pelo algoritmo da divisão de Euclides, temos que existem polinômios q e r \u2208 K[x ] tais que
f = (x \u2212 a)q + r ,
em que r = 0 ou gr(r) = 0. Sendo assim, r é constante.
Determinando o valor de f em a, teremos que
f (a) = (a\u2212 a)q(a) + r(a) = r(a).
Uma vez que r é constante, temos finalmente
r = r(a) = f (a).
2
De acordo com a proposição anterior temos o seguinte resultado:
2.19 Teorema. (Teorema da Raiz) Sejam f um polinômio com coeficientes em K e a \u2208 K. Temos que x \u2212 a
divide f se, e somente se, a é raiz de f .
Prova: Se x \u2212 a divide f , então existe g \u2208 K[x ] tal que f = g(x \u2212 a) + 0. Logo, pela proposição anterior
temos
0 = r(a) = f (a)
e, portanto, a é raiz de f .
Reciprocamente, sendo a raiz de f , temos f (a) = 0 e novamente pela proposição anterior f (a) = 0 é
exatamente o resto da divisão Euclidiana de f por x \u2212 a e portanto x \u2212 a divide f . 2
Exemplo 2.11. Na divisão euclidiana de f = 2x3 \u2212 1 por g = x + 3, o resto r é dado por:
r = f (\u22123) = 2(\u22123)3 \u2212 1 = 2(\u221227)\u2212 1 = \u221255.
(Verifique usando o algoritmo de Euclides)
2.5.1 O Algoritmo de Briot-Ruffini
Um dispositivo prático para dividir um polinômio f por um polinômio de grau um, x\u2212u, é dado pelo algoritmo
de Briot-Ruffini, que apresentaremos a seguir:
FTC EAD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA62
Sejam f = anxn + an\u22121xn\u22121 + · · ·+ a1x + a0 \u2208 K[x ] e u \u2208 K. Se
q = bnx
n\u22121 + bn\u22121x
n\u22122 + · · ·+ b1 e r = b0
são, respectivamente, o quociente e o resto na divisão euclidiana de f por x \u2212 u, então
bn = an e bi = ubi+1 + ai para i = 0, 1, 2, . . . , n \u2212 1.
De fato, como
f = (x \u2212 u)q + r
e
(x \u2212 u)q + r = (x \u2212 u)(bnxn\u22121 + bn\u22121xn\u22122 + · · ·+ b1) + b0
= bnx
n + (bn\u22121 \u2212 ubn)xn\u22121 + · · ·+ (b1 \u2212 ub2)x + (b0 \u2212 ub1),
obtemos as seguintes igualdades:
bn = an, bn\u22121 \u2212 ubn = an\u22121, . . . , b1 \u2212 ub2 = a1 e b0 \u2212 ub1 = a0.
Daí
bn = an, bn\u22121 = ubn + an\u22121, . . . , b1 = ub2 + a1 e b0 = ub1 + a0.
Na prática, o algoritmo de Briot-Ruffini pode ser efetuado da seguinte maneira:
ER 19. Determinar o quociente e o resto da divisão de p = 3x4 \u2212 x2 + 2x \u2212 5 por x \u2212 2.
Solução:
Então q = 3x3 + 6x2 + 11x + 24 e r = 43.
2.20 Corolário. Um polinômio não-nulo f \u2208 K[x ], de grau n, possui, no máximo, n raízes.
Prova: Mostraremos por indução em n = gr(f ).
Se n = 0, então f é um polinômio constante e não-nulo. Portanto, não possui raízes.
Suponhamos agora que gr(f ) = n > 0 e que o resultado seja verdadeiro para todo polinômio de grau
n \u2212 1.
Se f não possuir raízes, nada temos a demonstrar. Caso contrário, se a \u2208 K for uma raiz de f , então
existe g \u2208 k[x ] tal que f = (x \u2212 a)g , e podemos concluir que gr(g) = n \u2212 1.
Pela hipótese de indução, g possui no máximo (n\u22121) raízes. Como qualquer outra raiz de f (caso exista)
é raiz de g , temos que f possui no máximo n raízes. 2
2.21 Definição. Sejam f \u2208 K[x ] e a \u2208 K. Dizemos que a é uma raiz de multiplicidade m de f , em que m \u2265 1,
se (x \u2212 a)m divide f e (x \u2212 a)m+1 não divide f . Se m \u2265 2, dizemos que a é uma raiz múltipla de f .
2.22 Definição. Se f = anxn + . . .+ aix i + . . .+ a1x + a0 for um polinômio em K[x ], então definimos a derivada
(formal) de f como sendo o polinômio, com coeficientes em K, dado por
f \u2032 = nanx
n\u22121 + . . .+ iaix
i\u22121 + . . .+ 2a2x + a1.
Para quaisquer polinômios f e g em K[x ], valem as regras de derivação estudadas em cursos de Cálculo
Diferencial, ou seja,
(i) se f = c \u2208 K, então f \u2032 = 0;
TÓPICOS DE ÁLGEBRA 63
(ii) (f + g)\u2032 = f \u2032 + g \u2032;
(iii) (f g)\u2032 = f g \u2032 + f \u2032g .
2.23 Proposição. Seja f \u2208 K[x ]. Temos que a \u2208 K é raiz múltipla de f se, e somente se, a for raiz comum de
f e f \u2032.
Prova: Se a for uma raiz múltipla de f , então podemos escrever
f = (x \u2212 a)2q, com q \u2208 K[x ].
Logo, f \u2032 = 2(x \u2212 a)q + (x \u2212 a)2q\u2032 e, portanto, f \u2032(a) = 0.
Reciprocamente, se a for raiz de f , então f = (x \u2212 a)q.
Logo, f \u2032 = (x \u2212 a)q\u2032 + q.
Como a é raiz de f \u2032, temos 0 = f \u2032(a) = q(a).
Pelo Teorema da Raiz, o polinômio (x\u2212a) divide q, donde q = (x\u2212a)h e, então, f = (x\u2212a)2h, mostrando,
assim, que a é raiz múltipla de f . 2
2.5.2 Exercícios Propostos
EP 2.11. Verifique se i é raiz de p = x4 \u2212 1 \u2208 C[x ]. Caso afirmativo, determine sua multiplicidade.