04 TopicosdeAlgebra
97 pág.

04 TopicosdeAlgebra


DisciplinaMatemática78.274 materiais1.408.458 seguidores
Pré-visualização27 páginas
escrever em C[x ] que p = (x + i)(x\u2212 i). Portanto, ele é redutível. Assim, a irredutibil-
idade de um polinômio depende do corpo considerado.
Exemplo 2.13. O polinômio p = x2 \u2212 2 é irredutível sobre Q, pois - como se verifica imediatamente - ele não
possui raízes racionais.
Já vimos que os únicos polinômios irredutíveis sobre C são os polinômios de grau 1, enquanto que os
polinômios irredutíveis sobre R são os de grau 1 ou os de grau 2 com discriminante negativo. Em um corpo
arbitrário K temos o seguinte resultado:
2.33 Teorema. Todo polinômio em K[x ], de grau maior do que ou igual a 1, é irredutível ou se escreve como
produto (finito!) de polinômios irredutíveis.
Prova: A demonstração será feita por indução no grau do polinômio.
O resultado é verdadeiro para polinômios de grau 1, pois estes são irredutíveis.
Seja f um polinômio de grau n, e suponhamos o resultado verdadeiro para polinômios de grau menor do
que n.
Se f for irredutível não há nada a fazer. Se f for redutível, então existem polinômios g , h \u2208 K[x ] tais que
f = gh, com gr(g) > 0 e gr(h) > 0. Como gr(f ) = gr(g) + gr(h) e gr(f ) = n, temos que gr(g) < n e gr(h) < n.
Pela hipótese de indução, g e h se escrevem como produto de polinômios irredutíveis (ou são irredutíveis).
Portanto, f também pode ser escrito como produto de polinômios irredutíveis. 2
Nota 13. Note que a demonstração apresentada é análoga à do resultado correspondente para inteiros.
Se p \u2208 K[x ] for irredutível e f \u2208 K[x ] dividir p, então f = c ou f = cp, para alguma constante não-nula
c \u2208 K.
No caso de números inteiros, temos que, se p for primo e a \u2208 Z dividir p, então a = ±1 ou a±p. Assim, os
polinômios constantes não-nulos desempenham em K[x ] papel análogo ao dos elementos {\u22121, 1} em Z.
(Observe que {\u22121, 1} é o conjunto dos elementos invertíveis de Z, assim como os polinômios constantes
não-nulos são os elementos invertíveis de K[x ].)
A semelhança entre números primos em Z e polinômios em K[x ] pode ser reforçada pelo resultado seguinte.
FTC EAD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA68
2.34 Proposição. Sejam p, f , g \u2208 K[x ], com p irredutível. Se p | f g , então p | f ou p | g .
Prova: Suponhamos que p | f g e que p \u2224 f . Então f e p são primos entre si, isto é, mdc(f , p) = 1
(verifique!).
Logo, existem polinômios a, b \u2208 K[x ] tais que af + bp = 1.
Multiplicando essa igualdade por g , temos af g + bpg = g .
Como p | f g e p | bpg , concluímos que p | g . 2
O próximo resultado é uma generalização da proposição anterior.
2.35 Corolário. Seja p \u2208 K[x ] um polinômio irredutível. Se p dividir o produto f1f2 . . . fn, em que cada fi \u2208 K[x ]
e n \u2265 1, então p divide um dos fatores fi .
Já mostramos que todo número inteiro a pode ser escrito de maneira única como
a = ±1p1p1 . . . pn,
em que p1, . . . , pn são números primos positivos. Se não tivéssemos exigido que os primos fossem positivos,
teríamos unicidade a menos de sinal (por exemplo, 6 = 2 · 3 e 6 = (\u22122)(\u22123)).
Da mesma forma, polinômios podem ser decompostos de maneira única em fatores irredutíveis, a menos
de multiplicação por constantes. Aqui temos novamente os polinômios de grau zero desempenhando o mesmo
papel dos inteiros ±1 (unidades). Por exemplo, em R[x ],
x2 + 5x + 6 = (x \u2212 2)(x \u2212 3) =
\ufffdx
2
\u2212 1
\ufffd
(2x \u2212 6).
Observe que, toda vez que p for um polinômio irredutível em K[x ] e c \u2208 K uma constante não-nula, então
cp também será irredutível sobre K.
Portanto, se p = anxn + . . . + a1x + a0 for um polinômio irredutível sobre K, então (1/an)p é um polinômio
mônico e irredutível. Apresentaremos a unicidade da fatoração em polinômios irredutíveis em termos de
polinômios mônicos. A existência de uma fatoração já foi provada no Teorema 2.33.
2.36 Teorema. (Unicidade da Fatoração) Seja f um polinômio em K[x ] não-constante. Então f pode ser
escrito de maneira única como
f = cp1 · · · pn,
em que c \u2208 K é uma constante e p1, . . . , pn \u2208 K[x ] são polinômios mônicos irredutíveis sobre K.
Prova: Considere a afirmativa P(n): se um polinômio em K[x ], não-constante, possui uma decomposição
em n fatores mônicos irredutíveis, então essa decomposição é única, a menos da ordem dos fatores.
A afirmativa é obviamente verdadeira para n\u2212 1.
Suponhamos a afirmativa verdadeira para n \u2212 1 e consideremos um polinômio f que possui uma decom-
posição em n fatores:
f = cp1p2 . . . pn,
em que pi é mônico irredutível para todo i e c \u2208 K.
Se f = kq1q2 . . . qt for outra decomposição de f com k \u2208 K e qj \u2208 K[x ] mônico irredutível (1 \u2264 j \u2264 t),
então
f = cp1p2 . . . pn = kq1q2 . . . qt .
TÓPICOS DE ÁLGEBRA 69
Devemos ter c = k , pois essas constantes são iguais ao coeficiente do termo de maior grau de f . Além
disso, como p1 | q1q2 . . . qt , decorre do corolário anterior que p1 | qi para algum i . Reordenando os fatores, se
necessário, podemos supor que p1 | q1. Como q1 é irredutível e p1 não é constante, concluímos que p1 = q1,
pois ambos os polinômios são mônicos.
Cancelando as constantes c = k e os polinômios p1 = q1 em ambos os lados da igualdade, obtemos
p2 · · · pn = q2 · · · qt .
Tomando h = p2 . . . pn, temos duas fatorações para h, uma delas com n\u22121 fatores mônicos irredutíveis. A
hipótese de indução pode ser aplicada: concluímos que n = t e, após reordenação dos termos, se necessário,
que pi = qi para i = 2, . . . , n. Isso implica imediatamente o afirmado.
Da mesma forma que nos inteiros, podemos agrupar os polinômios iguais na fatoração de um polinômio
f \u2208 K[x ] e escrevê-lo como
f = cpe11 p
e2
2 . . . p
er
r ,
em que pi 6= pj se i 6= j , e ei é um inteiro positivo, denominado multiplicidade do fator pi . Quando ei > 1,
dizemos que pi é um fator múltiplo de f .
Se f possui um fator múltiplo de grau um, sabemos que a raiz correspondente é uma raiz múltipla de f .
2
Exemplo 2.14. Em R[x ],
f = (x2 + 2)2(x + 1)3
tem x2 + 2 e x + 1 como fatores irredutíveis múltiplos e \u22121 como raiz de multiplicidade 3 de f .
2.7.1 Exercícios Propostos
EP 2.16. Mostre que, se p \u2208 K[x ] for irredutível e c \u2208 K uma constante não-nula, então cp é irredutível sobre
K.
EP 2.17. O polinômio p = 6x3 + 10x2 + 30x + 8 \u2208 R[x ] fatora-se como p = (x + 2)(x + 4)(3x + 1) ou
p = 3(x + 2)(x + 4)

x +
1
3
‹
. Por que isso não contradiz a unicidade da fatoração do polinômio?
EP 2.18. Fatore cada um dos seguintes polinômios em produtos de polinômios irredutíveis sobre Q, R, C:
(a) p = x4 + 1;
(b) p = x4 \u2212 4x2 \u2212 x + 2.
FTC EAD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA70
BLOCO02 Grupos
TEMA03
Grupos, Subgrupos e
Homomorfismos.
Teoria de Grupos
Introdução
A teoria de grupos foi, inicialmente, desenvolvida por Arthur Cayley. Em seguida, grandes matemáticos,
como Lagrange e Ruffini, desenvolveram essa área da matemática, mas foi Evariste Galois quem primeiro
utilizou a terminação \u201cgrupo\u201d para representar essa mais nova estrutura da álgebra. Também é de sua autoria
a Teoria de Galois em que a teoria de grupos é uma ferramenta de suma importância.
Neste tema, veremos a definição de grupo e algumas estruturas algébricas relacionadas a grupos.
3.1 Grupos
3.1 Definição. Um conjunto G munido com a operação G × G \u2212\u2192 G(a, b) 7\u2212\u2192 a · b é um grupo se satisfaz as
seguintes condições:
(i) a operação é associativa, ou seja, a · (b · c) = (a · b) · c ;
(ii) existe elemento neutro, ou seja, \u2203 e \u2208 G tal que a · e = e · a = a;
(iii) todo elemento possui elemento inverso, ou seja, \u2200 a \u2208 G , \u2203 b \u2208 G , tal que a · b = b · a = e. Tal elemento b
é denotado por a\u22121 e chamado de elemento inverso de a.
Caso a operação seja comutativa, a · b = b · a \u2200 a, b \u2208 G , dizemos que o grupo é comutativo ou abeliano.
Observe que um grupo é composto por dois elementos: um conjunto e uma operação. A notação usual é
(G , ·), mas denotaremos o mesmo grupo por G com o intuito de simplificar a linguagem. Da mesma forma,
usaremos ab ao invés de a · b.
Exemplo