04 TopicosdeAlgebra
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04 TopicosdeAlgebra


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dessa forma é um
homomorfismo:
f (a + b) = a + b = a + b = f (a) + f (b).
Logo, f é um homomorfismo. Basta mostrarmos que f é sobrejetora, mas Z2 possui dois elementos 0 e 1
que são imagens, respectivamente, de 0 e 1. Portanto, f é sobrejetora. Observe que f não é injetora, afinal 0
e 2 possuem mesma imagem. O caso g : Z \u2212\u2192 Zn é análogo e deixamos a cargo do leitor.
ER 32. Seja g \u2208 G fixo. Mostre que f : G \u2212\u2192 G , f (x) = g × g\u22121, é um isomorfismo.
Solução: Sejam x , y \u2208 G , tais que f (x) = f (y).
f (x) = f (y) \u21d2 gxg\u22121 = gyg\u22121 \u21d2 g\u22121gxg\u22121 = g\u22121gxg\u22121 \u21d2 exg\u22121g = exg\u22121g \u21d2 xe = ye \u21d2 x = y
Logo, f é injetiva.
Por outro lado, seja a \u2208 G . Então, g\u22121ag \u2208 G e f (g\u22121ag) = g(g\u22121ag)g\u22121 = eae = a, logo f é sobrejetiva
e, portanto, isomorfismo.
3.4.1 Exercícios Propostos
EP 3.12. Mostre que S3 é isomorfo a S\u25b3.
EP 3.13. Seja \u3c8 um homomorfismo de grupos. Mostre que \u3c8 é injetiva se, e somente se, Nuc(\u3c8) = {e}.
FTC EAD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA80
TEMA04 Outros Tipos de Grupos
Grupos Cíclicos
4.1 Potências e Múltiplos
4.1 Definição. Seja G um grupo multiplicativo. Dado a \u2208 G , define-se potência m-ésima de a, para todo inteiro
m, da seguinte maneira:
\u2022 se m \u2265 0, por recorrência da seguinte forma
a0 = e (elemento neutro de G );
am = am\u22121a se m \u2265 1.
\u2022 se m < 0, am = (a\u2212m)\u22121.
ER 33. No grupo multiplicativo Mn(R) tomando o elemento a =
„
1 1
2 3
Ž
calcule a0, a2, a\u22121 e a\u22122.
Solução:
\u2022 a0 =
„
1 0
0 1
Ž
\u2022 a2 = a · a =
„
1 1
2 3
Ž„
1 1
2 3
Ž
=
„
3 4
8 11
Ž
\u2022 a\u22121 =

1
det a
‹
· adj(a)
\u2022 a\u22122 = (a2)\u22121 =
„
3 4
8 11
Ž\u22121
=
1
33\u2212 32 ·
„
11 \u22124
\u22128 3
Ž
=
„
11 \u22124
\u22128 3
Ž
ER 34. No grupo multiplicativo Z\u22175 (observe que este é, de fato, um grupo pois 5 é um número primo garantindo
assim que todos os elementos são invertíveis com relação à multiplicação), tomando o elemento 2, calcule 20,
2
2
, 2
3
, 2
\u22121
e 2
\u22122
.
Solução:
2
0
= 1, 2
2
= 2 · 2 = 4, 23 = 2 · 2 · 2 = 3, (2)\u22121 = 3, (2)\u22122 = (22)\u22121 = (4)\u22121 = 4, etc.
ER 35. Dada a permutação a =
„
1 2 3
2 3 1
Ž
, calcule a0, a2, a3 e a\u22121.
TÓPICOS DE ÁLGEBRA 81
Solução:
\u2022 a0 =
„
1 2 3
1 2 3
Ž
= elemento neutro de S3,
\u2022 a2 = a \u25e6 a =
„
1 2 3
2 3 1
Ž
\u25e6
„
1 2 3
2 3 1
Ž
=
„
1 2 3
3 1 2
Ž
,
\u2022 a3 = a2 \u25e6 a =
„
1 2 3
3 1 2
Ž
\u25e6
„
1 2 3
2 3 1
Ž
=
„
1 2 3
1 2 3
Ž
,
\u2022 a\u22122 = (a2)\u22121 =
„
1 2 3
3 1 2
Ž\u22121
=
„
1 2 3
2 3 1
Ž
, etc.
Da definição dada decorrem as seguintes propriedades:
(a) aman = am+n, \u2200 a \u2208 G e \u2200 m, n \u2208 Z;
(b) (am)n = amn, \u2200 a \u2208 G e \u2200 m, n \u2208 Z;
(c) a\u2212m = (am)\u22121 = (a\u22121)m, \u2200 a \u2208 G e \u2200 m \u2208 Z
Provaremos, a seguir, a primeira dessas propriedades. As outras deixaremos como exercício.
4.2 Proposição. Dado um grupo multiplicativo G , se a \u2208 G e m, n \u2208 Z, então aman = am+n.
Prova:
(I) n \u2265 0 e m + n \u2265 0. (Este caso será tratado por indução sobre n).
n = 0 =\u21d2 aman = ama0 = ame = am = am+0 = am+n
Suponhamos amar = am+r , onde r \u2265 0. Daí
amar+1 = am(ara) = (amar )a = am+ra = a(m+r)+1 = am+(r+1)
(II) Suponhamos agora que m e n são dois inteiros quaisquer. Tomemos um número inteiro p > 0 tal que
p+m > 0, p+n > 0 e p+m+n > 0. Então , observando que apa\u2212p = ap(ap)\u22121 = e (como conseqüência
da definição) temos:
am+n = am+n(apa\u2212p) = (am+nap)a\u2212p = a(m+n)+pa\u2212p = am+(n+p)a\u2212p.
Observe que na terceira igualdade acima foi usada a primeira parte da demonstração. Aplicando nova-
mente o resultado da primeira parte temos
am+(n+p)a\u2212p = (am(anap))a\u2212p = ((aman)ap)a\u2212p = (aman)(apa\u2212p) = (aman)e = aman.
2
FTC EAD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA82
Nota 15. Para um grupo aditivo G define-se múltiplo (ao invés de potência) de um elemento a \u2208 G da
seguinte maneira:
(a) m \u2265 0, por recorrência assim
0a = e( elemento neutro de G) e ma = (m \u2212 1)a + a, se m \u2265 1;
(b) se m < 0, então ma = (\u2212m)(\u2212a).
Exemplo 4.1. No grupo aditivo Z4, tomando o elemento 3, temos:
0 · 3 = 0, 2 · 3 = 3 + 3 = 2, 3 · 3 = 3 + 3 + 3 = 1,\u22123 = 1,\u22122 · 3 = \u2212(2 · 3) = \u22122 = 2, etc .
O elemento ma é chamado múltiplo de a segundo m. É claro que nessa definição m \u2208 Z. As propriedades
são análogas às que apresentamos para potências em grupos multiplicativos, ou seja,
(a) ma + na = (m + n)a;
(b) m(na) = (mn)a;
(c) (\u2212m)a = m(\u2212a) = \u2212(ma), \u2200 m, n \u2208 Z e \u2200 a \u2208 G .
4.1.1 Exercícios Propostos
EP 4.1. Construa os seguintes subgrupos:
(a) [\u22121]+ em (Q, +) (b) [3]+ em (Z, +) (c) [3] em (Q\u2217, ·) (d) [i ] em (C\u2217, ·)
4.2 Grupos Cíclicos
4.3 Definição. Um grupo multiplicativo G se denomina grupo cíclico se existe um elemento a \u2208 G de maneira
que G = {am/m \u2208 Z}. Notação G = [a]. O elemento a é dito gerador de G .
ER 36. Mostre que o grupo multiplicativo G = {1,\u22121} é cíclico.
Solução: G = {1,\u22121} é cíclico, uma vez que {(\u22121)m/m \u2208 Z} = {1,\u22121} = G .
Exemplo 4.2. O grupo multiplicativo dos números racionais não é cíclico. É claro que não existe um número
racional r
s
6= 0 do qual todos os números racionais não nulos sejam potências, pois isto acarretaria que o
conjunto dos números primos é finito, o que é absurdo.
Nota 16. \u2022 Todo grupo cíclico é abeliano pois aman = am+n = an+m = anam.
\u2022 Um mesmo grupo cíclico pode conter mais do que um gerador. O leitor é convidado a provar essa
afirmação num dos exercícios propostos.
\u2022 Se G é um grupo aditivo cíclico gerado por a, então G = {ma/m \u2208 Z} = [a]+.
TÓPICOS DE ÁLGEBRA 83
4.4 Proposição. Dado um grupo multiplicativo G , se a \u2208 G , então o subconjunto H = {am/m \u2208 Z} é um
subgrupo de G .
Prova: Como a0 = e, então e \u2208 H . Por outro lado, se x , y \u2208 H , então existem m, n \u2208 Z de modo que
x = am e y = an. Daí
xy\u22121 = ama\u2212n = am\u2212n \u2208 H .
2
A proposição anterior nos diz que todo elemento a de um grupo G é um gerador de um subgrupo cíclico. Tal
subgrupo será indicado por [a] notação que é coerente com a Definição 4.3. Assim: [a] = {am/m \u2208 Z}.
Exemplo 4.3. No grupo multiplicativo dos complexos: [i ] = {1,\u22121, i ,\u2212i}.
Exemplo 4.4. No grupo multiplicativo dos reais: [\u22121] = {1,\u22121}.
Exemplo 4.5. No grupo multiplicativo dos racionais: [2] =
§
. . . ,
1
4
,
1
2
, 1, 2, 4, . . .
ª
.
Exemplo 4.6. No grupo aditivo dos inteiros: [1]+ = [\u22121]+ = Z o que significa que Z é cíclico.
Exemplo 4.7. No grupo S3 se a =
„
1 2 3
2 1 3
Ž
, [a] = {e, a} (Verifique!).
4.2.1 Grupos Cíclicos Infinitos
Seja G um grupo multiplicativo cujo elemento neutro indicaremos por e. Suponhamos que a seja um ele-
mento de G com a seguinte característica:
am = e \u21d4 m = 0.
O elemento 2 no grupo multiplicativo dos reais tem essa propriedade já que
2m = 1 \u21d4 m = 0.
Nesse caso, vale a seguinte proposição:
4.5 Proposição. A aplicação f : Z \u2192 [a], dada por f (m) = am, \u2200 m \u2208 Z, é um isomorfismo do grupo aditivo Z
no grupo [a].
Prova: f (m + n) = am+n = aman = f (m)f (n), \u2200 m, n \u2208 Z , ou seja, f é homomorfismo. Temos que
N(f ) = {m \u2208 Z/am = e} = {0}, devido à hipótese subjacente ao caso que estamos considerando. assim, f é
injetivo. É óbvio que f é sobrejetivo: todo ar \u2208 [a] provém de r através de f . 2
4.6 Definição. Dado um elemento a de um grupo multiplicativo G , se
am = e \u21d4 m = 0
dizemos que o elemento a tem período zero (ou ordem zero) e que o grupo [a] é um grupo cíclico infinito.
Exemplo 4.8. O elemento 2 tem período zero no grupo multiplicativo dos reais, conforme já vimos. O
isomorfismo entre Z e [2] pode ser assim visualizado:
Z = {. . . ,\u22122,\u22121, 0, 1, 2, . . .} \u2192 [2] =
§
. . . ,
1
4
,
1
2
, 1, 2, 4, . . .
ª
.
FTC EAD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA84
4.2.2 Grupos Cíclicos Finitos
Analisemos, a partir de agora, a possibilidade contrária à considerada anteriormente, ou seja, a é um ele-
mento de um grupo multiplicativo G e \u2203m \u2208 Z,m 6= 0, de modo que am