04 TopicosdeAlgebra
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04 TopicosdeAlgebra


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utilizado por Euclides, sejam os segmentos AB e CD de forma que o
comprimento de CD seja maior do que o comprimento de AB e suponhamos que o segmento CD possa ser
obtido pela justaposição do segmento AB num certo número de vezes. Dessa forma, podemos dizer que CD
possui AB como parte exata ou que AB pode servir para medir CD. A partir dessa idéia podemos obter a
definição abstrata de múltiplo.
1.5 Definição. Dados os números naturais a e b, dizemos que a é múltiplo de b, se existe um número natural
n tal que a = nb.
TÓPICOS DE ÁLGEBRA 13
No entanto, se o segmento AB não for uma parte exata do segmento CD, teremos que o segmento AB cabe
em CD um número máximo de vezes mais um segmento restante, por exemplo MN , o qual possui comprimento
menor do que o de AB.
Dessa forma, se os segmentos CD e AB representam os números naturais a e b, respectivamente, temos
que a = nb + r , em que r < b é o número natural que representa o segmento MN e n é o número máximo de
segmentos do tamanho de AB que cabe em CD.
Este é o enunciado, para os números naturais , do que hoje conhecemos como Lema da Divisão de Euclides
o qual demonstraremos através da indução matemática.
Sejam a e b números naturais. Vemos que existe somente duas possibilidades: ou a é múltiplo de b, isto
é, a = qb, em que q \u2208 N, ou a está compreendido entre dois múltiplos consecutivos de b como indica a figura
abaixo.
qb a (q + 1)b
Nesse caso, temos que a distância de a a qb é menor do que a distância entre dois múltiplos consecutivos
de b. Assim, podemos escrever a = qb + r , em que 0 < r < b.
Nota 3. Até agora, consideramos o \u201c1\u201d como o primeiro número natural. No Lema de Euclides, a seguir,
consideraremos \u201c0\u201d como número natural. É uma simples convenção a questão do zero ser ou não um
número natural.
1.6 Teorema. (Lema da Divisão de Euclides) Sejam a e b números naturais, com b > 0. Então existem
números naturais q e r , com 0 \u2264 r < b, de modo que a = qb + r .
Prova: Faremos a demonstração por indução em a.
Se a = 0, escolhemos q = 0 e r = 0, obtendo 0 = 0 · b + 0. Nesse caso, o resultado está demonstrado.
Seja então a > 0 (inclusive menor que b) e suponhamos, por indução, que o resultado seja válido para o
número natural (a\u2212 1): existem q\u2032, r \u2032 \u2208 N, tais que
(a \u2212 1) = q\u2032b + r \u2032,
em que 0 \u2264 r \u2032 < b. Logo, a = q\u2032b + r \u2032 + 1 com 1 \u2264 r \u2032 + 1 \u2264 b.
Se r \u2032 + 1 < b, tomamos q = q\u2032 e r = r \u2032 + 1, o que mostra o resultado. Se, por outro lado, r \u2032 + 1 = b temos
que
a = q\u2032b + b = (q\u2032 + 1)b,
e basta tomar, nesse caso, q = q\u2032 + 1 e r = 0.
Portanto, o Lema da Divisão de Euclides nos garante que, dados a, b \u2208 N, com b > 0, sempre podemos
achar o quociente q e o resto r da divisão de a por b, o que fazíamos desde o ensino básico, para pares
particulares de números naturais a e b.
Podemos agora nos perguntar se o quociente e o resto são únicos. A nossa experiência nos diz que a
resposta a essa pergunta é afirmativa: há muito tempo sabemos que existe uma única \u201cresposta certa\u201d para
a divisão de a por b (verifique que essa unicidade fica clara ao considerarmos o nosso modelo geométrico).
Para demonstrar formalmente esse fato, vamos supor que (q\u2032, r \u2032) e (q\u2032\u2032, r \u2032\u2032) sejam dois pares de números
FTC EAD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA14
naturais tais que
a = q\u2032b + r \u2032, a = q\u2032\u2032b + r \u2032\u2032,
com 0 \u2264 r \u2032 < b e 0 \u2264 r \u2032\u2032 < b.
Queremos concluir que q\u2032 = q\u2032\u2032 e r \u2032 = r \u2032\u2032.
Se tivéssemos q\u2032 > q\u2032\u2032, obteríamos após subtrair membro a membro as equações acima que (q\u2032\u2212q\u2032\u2032)b =
r \u2032\u2032\u2212 r \u2032, e como q\u2032\u2212q\u2032\u2032 é um número natural não-nulo, q\u2032\u2212q\u2032\u2032 \u2265 1 e, portanto, (q\u2032\u2212q\u2032\u2032)b \u2265 b. Logo, obteríamos
r \u2032\u2032\u2212 r \u2032 \u2265 b, o que é absurdo, já que 0 \u2264 r \u2032 < b e 0 \u2264 r \u2032\u2032 < b. Assim, não podemos ter q\u2032 > q\u2032\u2032. Analogamente,
não podemos ter q\u2032\u2032 > q\u2032 e, portanto ,q\u2032 = q\u2032\u2032. Como
r \u2032 = a\u2212 q\u2032b = a\u2212 q\u2032\u2032b = r \u2032\u2032,
está provada, então, a unicidade no Lema da Divisão de Euclides.
Queremos, agora, estender o Lema de Euclides para o conjunto dos inteiros
Z = {. . . ,\u22122,\u22121, 0, 1, 2, . . .} .
Estes podem ser representados sobre uma reta escolhendo um ponto arbitrário como posição do zero
(chamado origem) e associando os pontos à direita do zero aos números naturais e os pontos à esquerda do
zero aos números inteiros negativos:
\u22122 \u22121 0 1 2
Temos, então, que o ponto correspondente a 2 fica à direita da origem e a duas unidades dessa, enquanto
que o número \u22122 fica à esquerda da origem, também a duas unidades dessa. Assim a cada inteiro b está
associado um número natural que é a distância de b à origem chamado valor absoluto de b. 2
1.7 Definição. O valor absoluto de um número inteiro b, denotado por |b|, é
|b| =
8
<
:
b , se b \u2265 0
\u2212b , se b < 0.
Nota 4. Para todo b \u2208 Z, |b| é um número natural. Além disso, |b| = | \u2212 b|.
Podemos, agora, estender a definição de múltiplo para os inteiros.
1.8 Definição. Dados dois inteiros a e b, dizemos que a é múltiplo de b, se existe um inteiro q tal a = qb.
Exemplo 1.4. 8 é múltiplo de 4, pois 8 = 2 · 4; 8 também é múltiplo de \u22124 pois 8 = (\u22122)(\u22124); \u22128 é múltiplo
de 4 e de \u22124, pois \u22128 = (\u22122)4 = 2(\u22124).
Dado um inteiro b 6= 0, destacando na reta os múltiplos deste, temos que, para todo inteiro a, ou a é múltiplo
de b ou a está entre dois múltiplos consecutivos de b:
q|b| a (q + 1)|b|
Como estamos agora considerando também números negativos, podemos exprimir o fato de a estar entre
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os múltiplos consecutivos de b, q|b| e (q + 1)|b|, de duas maneiras:
a = q|b|+ r , com 0 < r < |b|, ou a = (q + 1)|b|+ r , com \u2212 |b| < r < 0.
Trabalharemos sempre com a primeira forma exigindo, assim, que o resto seja não-negativo.
Exemplo 1.5. Se a = 8 e b = 3, escreveremos 8 = 2 · 3 + 2 ao invés de 8 = 3 · 3 + (\u22121). Dessa forma, o
quociente da divisão de 8 por 3 é 2 e o resto também é 2.
Se a = \u22128 e b = 3, escreveremos \u22128 = (\u22123)3 + 1 e não \u22128 = (\u22122)3\u2212 2, ou seja, o quociente da divisão de
\u22128 por 3 é \u22123 e o resto é 1. Quais são os quocientes e os restos das divisões de 8 por \u22123 e de \u22128 por \u22123?
Enunciaremos agora o Lema da Divisão de Euclides para números inteiros.
1.9 Teorema. (Lema da Divisão de Euclides para inteiros) Sejam a e b inteiros, com b 6= 0. Então existem
inteiros q e r , com 0 \u2264 r < |b|, tais que a = qb + r . Além disso, são únicos os inteiros q e r satisfazendo essas
condições.
Prova: Supondo a existência do quociente q e do resto r , podemos considerar quatro casos:
1. a \u2265 0 e b > 0; 2. a \u2265 0 e b < 0; 3. a < 0 e b > 0; 4. a < 0 e b < 0.
Observe que o caso 1 é uma repetição do Lema de Euclides para os naturais. Os outros casos possuem
demonstrações análogas e por isso mostraremos apenas o caso 4 deixando os outros a cargo do leitor.
Como a < 0 e b < 0, temos \u2212a > 0,\u2212b > 0 e |b| = \u2212b. Pelo Lema de Euclides para naturais, existem
q\u2032, r \u2032 \u2208 N tais que \u2212a = q\u2032(\u2212b) + r \u2032, com 0 \u2264 r \u2032 < \u2212b. Se r \u2032 = 0, temos a = q\u2032b e, então, basta fazer q = q\u2032 e
r = 0. Se r \u2032 > 0, temos a = q\u2032b + (\u2212r \u2032) e, portanto,
a = q\u2032b + b \u2212 b + (\u2212r \u2032) = (q\u2032 + 1)b + (\u2212b \u2212 r \u2032)
e, então, basta fazer q = q\u2032 + 1 e r = \u2212b \u2212 r \u2032, pois, como 0 < r \u2032 < \u2212b, temos, após adicionar b a todos os
membros, b < b + r \u2032 < 0 \u21d2 0 < \u2212b \u2212 r \u2032 < \u2212b = |b|, uma vez que, por hipótese, b < 0. 2
A unicidade de q e r pode ser provada de forma similar àquela feita para números naturais e também
deixamos a cargo do leitor.
Exemplo 1.6. Se a \u2208 Z, então a = 2q + r , em que q, r \u2208 Z e 0 \u2264 r < 2. Assim, a = 2q ou a = 2q + 1. Os
números da primeira forma são chamados pares e os da segunda forma ímpares.
ER 2. Mostre que o quadrado de um inteiro qualquer é da forma 3k ou 3k + 1, com k \u2208 N.
Solução: De fato, usando o Lema de Euclides concluímos que qualquer inteiro a pode ser escrito na
forma a = 3q + r , em que r \u2208 0, 1, 2. Portanto, a2 = 9q2 + 6qr + r2 = 3(3q2 + 2qr) + r2.
Analisando a expressão acima, temos os seguintes casos a considerar:
(i) se r = 0, então a2 = 3(3q2 + 2qr) = 3k , em que k = 3q2 + 2qr ; (observe