04 TopicosdeAlgebra
97 pág.

04 TopicosdeAlgebra


DisciplinaMatemática78.061 materiais1.396.485 seguidores
Pré-visualização27 páginas
duas possibilidades: n + 1 = 1 e n\u2212 1 = p ou n + 1 = p e n\u2212 1 = 1.
Do primeiro sistema de equações temos, para solução, n = 0 e p = \u22121, o que não convém, pois p \u2208 N,
por definição. Já do segundo sistema, temos n = 2 e p = 3. Segue que p = 3.
De acordo com a definição apresentada, para decidir se um determinado número n é primo, é necessário
verificar a divisibilidade dele por todos os números naturais menores do que ele, o que fica extremamente
trabalhoso à medida que avançamos na seqüência dos números naturais. Entretanto, é suficiente testar a
divisibilidade de n pelos primos menores do que a sua raiz quadrada.
Antes de provarmos esse resultado, gostaríamos de observar que, se considerarmos o conjunto dos divi-
sores positivos diferentes da unidade de um número natural n \u2265 2 (por exemplo, n = 12, 17 e 25), então o seu
menor elemento é sempre um número primo. Esse é o fato que fundamenta a demonstração de nosso lema:
1.14 Lema. Seja n \u2208 N, com n \u2265 2. Então n admite um divisor primo.
Prova: Considere o conjunto S dos divisores positivos de n, além da unidade, ou seja:
S = {d \u2208 N : d \u2265 2 e d | n} .
É claro que S é um conjunto não-vazio, pois o próprio n está em S . Assim, pelo principio da Boa Orde-
nação, S possui um menor elemento d0. Mostraremos que d0 é primo. Com efeito, se d0 não fosse primo,
existiriam números naturais a e b tais que d0 = ab, com
2 \u2264 a \u2264 (d0 \u2212 1) e 2 \u2264 b \u2264 (d0 \u2212 1).
Uma vez que a | d0 e d0 | n, temos pela proposição 1.10 item (vi) que a | n. Além disso, a \u2265 2, de onde
concluímos que a \u2208 S . Chegamos, assim, a um absurdo pois a é menor do que o menor elemento de S . 2
FTC EAD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA20
Mostraremos agora um resultado devido ao matemático grego Eratóstenes, que viveu por volta de 230 anos
antes de Cristo.
1.15 Proposição. Se um número natural n \u2265 2 não é divisível por nenhum número primo p tal que p2 \u2264 n,
então ele é primo.
Prova: Suponhamos, por absurdo, que n não seja divisível por nenhum número primo p tal que p2 \u2264 n e
que não seja primo. Seja q o menor número primo que divide n; então, n = qn1, com q \u2264 n1. Segue daí que
q2 \u2264 qn1 = n. Logo, n é divisível por um número primo q tal que q2 \u2264 n, o que é um absurdo.
Portanto, o primeiro passo para se decidir se um dado número n é primo consiste na determinação de
todos os números primos menores que \u221an. (Determine, por exemplo, se n = 1969 é primo). 2
É conveniente então, temos à nossa disposição uma lista de primos. Várias tabelas de números primos, até
certo limite, já foram calculadas. Antigamente essas tabelas eram baseadas num algoritmo ou crivo, desen-
volvido por Eratóstenes (276-194 a.C.), e cujo princípio abordaremos a seguir.
1.4.2 Crivo de Eratóstenes
Escrevem-se, na ordem natural, todos os números naturais entre 2 e n. Em seguida, eliminam-se todos os
números inteiros compostos que são múltiplos dos primos p tais que p \u2264 \u221an, isto é: primeiro elimine todos os
múltiplos 2k de 2, com k \u2265 2; a seguir, todos os múltiplos 3k de 3, com k \u2265 2; depois os múltiplos 5k de 5,
com k \u2265 2; e assim sucessivamente, para todo primo p \u2264 \u221an. Os números que sobraram na lista são todos os
primos entre 2 e n.
ER 5. Construa a tabela de todos os primos menores que 100.
Solução: Como
\u221a
100 = 10, pelo crivo de Eratóstenes devemos eliminar da lista dos números naturais
de 2 a 100 todos os múltiplos dos primos p tais que p \u2264 10, ou seja, os múltiplos de p = 2, 3, 5 e 7. Assim,
obtemos:
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
32 33 34 35 36 37 38 39 40 41
42 43 44 45 46 47 48 49 50 51
52 53 54 55 56 57 58 59 60 61
62 63 64 65 66 67 68 69 70 71
72 73 74 75 76 77 78 79 80 81
82 83 84 85 86 87 88 89 90 91
92 93 94 95 96 97 98 99 100
Segue-se, então, do crivo de Eratóstenes, que os primos entre 1 e 100 são:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 71, 73, 79, 83, 89 e 97.
Os problemas de determinação de números primos têm fascinado bastante os matemáticos, desde épocas
remotas. Uma das demonstrações mais antigas em teoria de números que chegou até nós foi a prova da
infinitude dos números primos, que se encontra mo Livro IX d\u2019Os elementos de Euclides. Apresentaremos essa
demonstração usando linguagem moderna.
TÓPICOS DE ÁLGEBRA 21
1.16 Teorema. Existem infinitos números primos.
Prova: Suponhamos, por absurdo, que exista somente uma quantidade finita de números primos. Sejam
eles p1, p2, . . . , pk . Considere então o número
m = p1p2 . . . pk + 1
Como m é maior que qualquer um dos primos p1, ldots, pk , segue-se da nossa hipótese que m não é
primo. Logo, pelo Lema 1.14, m admite um divisor primo, que teria de ser um dos primos p1, ldots, pk . Mas
nenhum desses pode dividir m. De fato, se p fosse primo que divide m, então p teria que dividir 1 também, já
que
1 = m \u2212 p1p2 . . . pk .
Portanto, qualquer que seja k \u2208 N, o conjunto {p1, p2, . . . , pk} não pode conter todos os primos. 2
Muitas questões interessantes sobre números primos não foram respondidas até hoje. Por exemplo, dize-
mos que dois primos são gêmeos se eles são números ímpares consecutivos. Assim 3 e 5 e 7, 11 e 13 são
números primos gêmeos. Um antigo problema, que até hoje não foi resolvido, é se existe ou não um número
infinito de primos gêmeos.
1.4.3 O Teorema Fundamental da Aritmética
Veremos agora que qualquer inteiro pode ser construído multiplicativamente a partir de números primos. De
fato, se um número não é primo, podemos decompô-lo até que os seus fatores sejam todos primos.
Exemplo 1.8.
360 = 3 · 120 = 3 · 30 · 4 = 3 · 3 · 10 · 2 · 2 = 3 · 3 · 5 · 2 · 2 · 2 = 23 · 32 · 5.
Consideraremos que uma decomposição de um número primo p é dada por ele mesmo.
Observamos agora que, se um número foi expresso como produto de primos, podemos dispor esses fa-
tores primos em qualquer ordem. A experiência nos diz que, a menos de arbitrariedade da ordenação, tal
decomposição é única. Tal afirmação não é tão simples de se demonstrar, embora pareça óbvia pela nossa
experiência no uso da decomposição em fatores primos. A demonstração clássica desse resultado, conhecido
como o \u201cTeorema Fundamental da Aritmética\u201d, dada por Euclides, está baseada em um método (ou algoritmo)
para o cálculo do máximo divisor comum de dois números, e diz respeito apenas à existência da fatoração
de um número natural em primos. Acredita-se que Euclides conhecia a unicidade dessa fatoração e que, por
dificuldades de notação, não conseguiu estabelecer a demonstração desse resultado, a qual será apresentada
a seguir. As demonstrações, tanto da existência quanto da unicidade, serão feitas pelo Princípio da Indução, o
qual só começou a ser utilizado muito depois da época de Euclides.
Dividiremos a demonstração desse teorema em duas partes: a primeira mostrará a existência dessa fa-
toração em números primos, a segunda mostrará a unicidade dessa fatoração, a menos da ordem dos fatores.
1.17 Teorema. (Teorema Fundamental da Aritmética) Todo número natural n \u2264 2 pode ser escrito como um
produto de números primos. Essa decomposição é única, a menos da ordem dos fatores.
Prova: Seja P(n) a afirmativa: n é um número primo ou pode ser escrito como um produto de números
primos. P(2) é verdadeira, pois 2 é primo. Suponhamos a afirmativa verdadeira para todo número m com
FTC EAD | LICENCIATURA EM MATEMÁTICA22
2 \u2264 m \u2264 k e provemos que P(k + 1) é verdadeira.
\u2022 Se k + 1 for primo, então P(k + 1) é verdadeira.
\u2022 Se k + 1 não for um número primo, então k + 1 pode ser escrito como
k + 1 = ab, em que 2 \u2264 a \u2264 k e 2 \u2264 b \u2264 k .
Portanto, pela hipótese de indução, ou a e b podem ser escritos como produto de primos, ou são números
primos. Logo k + 1 = ab é também um produto de números primos , a saber, o produto dos números primos
da fatoração de a multiplicados pelos números primos da fatoração de b. Isso completa a primeira parte da