apostila cálculo 1 very good!!
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e 
10) e 
11) e4 
12) e6 
13) e-6 
14) e4 
15) e-6 
16) e-3 
17) e4 
18) e 
19) ½ 
20) 2/3 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 63
xa
?
y
AULA 11 
 
6.5 \u2013 LIMITES LATERAIS: 
 
 Consideramos uma função y = f(x), da qual queremos achar os limites laterais para x 
tendendo a a, ou seja, queremos calcular: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Limite lateral à direita 
 
 
 
 
 
 
 ?)(lim =\u2212\u2192 xfax 
 
 
 
 
 
 
 
 Limite lateral à esquerda 
 
Vejamos como proceder em cada caso: 
 
¾ Limite a direita (quando x\u2192 a+) 
Fazemos a seguinte troca de variável: 
 x = a + h, com h > 0 
 x \u2192 a, devemos ter h \u2192 0 
 
Exemplo: 
 =++\u2192 )43(lim 2 xx 
 
 
¾ Limite a esquerda (quando x \u2192 a-) 
Fazemos a seguinte troca de variável: 
 x = a \u2013 h, com h > 0 
 x \u2192 a devemos ter h \u2192 0 
Exemplo: 
 =+\u2212\u2192 )43(lim 2 xx 
 
 
O Limite de uma função existe quando )(lim)(lim xfxf axax +\u2212 \u2192\u2192 = 
x 
?
y
a
?)(lim =+\u2192 xfax
Cálculo Diferencial e Integral 
 64
 
AULA 11 \u2013 EXERCÍCIOS 
 
1) =\u2212\u2212+\u2192 )13(lim 22 xxx 
2) =+
\u2212
+\u2192 2
43lim 3 x
x
x 
3) =\u2212
+\u2212
\u2212\u2192 13
235lim
2
1 x
xx
x 
4) =+\u2212
+\u2212
\u2212\u2192 23
105lim 2
2
3 xx
xx
x 
5) =\u2212++\u2192 )31(lim 3 xx 
6) =\u2212+\u2192 2lim 2 x
x
x 
7) =+\u2212\u2192 )3(lim 22 xxx 
8) =++\u2192 )3(lim 22 xxx 
9) =\u2212\u2212\u2192 2
3lim 2 x
x
x 
10) =\u2212+\u2192 2
3lim
2 x
x
x 
11) =\u2212\u2192 xx
1
0
2lim 
12) =+\u2192 xx
1
0 2lim 
13) =
+\u2212\u2192 xx 10 21
4lim 
14) =
++\u2192 xx 10 21
4lim 
 
15) Calcule os limites laterais 
solicitados. 
a) 
\u23aa\u23a9
\u23aa\u23a8
\u23a7
<+
=
>\u2212
=
1x se14x
1x se 2
x se x
xf
123
)( 
 )(lim
1
xf
 x +\u2192 , )(lim1 xf x \u2212\u2192 , )(lim1 xfx\u2192 
 
b) 
\u23aa\u23a9
\u23aa\u23a8
\u23a7
>
=
<\u2212
=
2 x se1-x
2x se 0
x se x
xf
21
)(
2
 
 )(lim
2
xf
 x +\u2192 e )(lim2 xf x \u2212\u2192 
c) 
\u23aa\u23a9
\u23aa\u23a8
\u23a7
>+
=
<
=
2 x se7-6xx-
2x se 1
x se 1-3x-x
xf
2
22
)(
2
 
)(lim
2
xf
 x +\u2192 e )(lim2 xf x \u2212\u2192 
 
Respostas: 
 
1) 9 
2) 1 
3) 2 
4) 26 
5) 1 
6) \u221e 
7) 10 
8) 10 
9) -\u221e 
10) +\u221e 
11) 0 
12) +\u221e 
13) 4 
14) 0 
15) a) 1 e 5 
 b) 1 e -3 
 c) 1 e 1 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 65
AULA 12 
 
7 - ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS E VERTICAIS 
 
7.1 \u2013 INTRODUÇÃO: 
 Traçaremos com facilidade um esboço gráfico de uma função se conhecermos as assíntotas 
horizontais e verticais do gráfico, caso elas existam. 
 Assíntota são as linhas horizontais e verticais que no gráfico servem para traçarmos a 
função, onde a função vai tender para este valor, o que encontrarmos da assíntota, porém não 
&quot;toca &quot; esta reta, pois a assintota são os limites laterais vertical e horizontal da função 
 
 
 
 
 
7.2 \u2013 ASSÍNTOTA VERTICAL 
 Dizemos que a reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico de f, se pelo menos uma 
das afirmações seguintes for verdadeira: 
i. \u221e=+\u2192 )(lim xfax 
ii. \u2212\u221e=+\u2192 )(lim xfax 
iii. \u221e=\u2212\u2192 )(lim xfax 
iv. \u2212\u221e=\u2212\u2192 )(lim xfax 
 
 
7.3 \u2013 ASSÍNTOTA HORIZONTAL 
 Dizemos que a reta y = b é uma assíntota horizontal do gráfico de f, se pelo menos uma 
das afirmações seguintes for verdadeira: 
i. bxfx =+\u221e\u2192 )(lim 
ii. bxfx =\u2212\u221e\u2192 )(lim 
 
Exemplos: 
 
1) Seja a função
)1(
2)( \u2212= xxf . Encontre a equação assíntotas horizontais e verticais se ela 
existirem. 
Cálculo Diferencial e Integral 
 66
2) Considere a função 2)2(
43)( \u2212\u2212= xxf . Encontre a equação das assíntotas horizontais e 
verticais, se ela existirem. 
Cálculo Diferencial e Integral 
 67
8 \u2013 FUNÇÕES CONTÍNUAS 
 
8.1 \u2013 DEFINIÇÃO: 
 Uma função f é contínua em um ponto a se são satisfeitas as seguintes condições: 
i. \u2203 )(af 
ii. \u2203 )(lim xfax\u2192 
iii. )()(lim afxfax =\u2192 
 
 
Exemplos: 
 Verifique se as funções abaixo são contínuas no ponto indicado: 
1) xxxf 352)( +\u2212= em x = 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) 
2
|2|)( \u2212= xxf em x = 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 68
3) 
\u23aa\u23a9
\u23aa\u23a8
\u23a7
>\u2212
=
<\u2212
=
33
32
31
)(
2
xsex
xse
xsex
xf em x = 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 12 \u2013 EXERCÍCIOS 
 
Escreva a equação das assíntotas das funções 
abaixo, faça um esboço do gráfico da função: 
1) 
3
5
\u2212= xy 
2) 
1
13
\u2212
+=
x
xy 
3) 
x
y 2= 
4) 2)1(
2
\u2212= xy 
5) 
2
31 \u2212+\u2212= xy 
 
Verifique se as funções abaixo são contínuas 
nos pontos indicados 
 
6) 
\u23aa\u23a9
\u23aa\u23a8
\u23a7
=
\u2260\u2212
\u2212
=
31
3
3
|3|
)(
xse
xse
x
x
xf em x = 3 
7) 
3
9)(
2
\u2212
\u2212=
x
xxf em x = 3 
8) 53)( \u2212= xxf em x = 2 
9) 
\u23a9\u23a8
\u23a7
<\u2212
\u2265+\u2212=
23
215
)(
2
xsex
xsexx
xf em x = 2 
 
 
 
 
 
 
Respostas 
1) x = 3 é a equação da assíntota 
vertical e y = 0 é a assintota 
horizontal 
2) x = 1 é a equação da assíntota 
vertical e y = 3 é a assintota 
horizontal 
3) x = 0 é a equação da assíntota 
vertical e y = 0 é a assíntota 
horizontal 
4) x = 1 é a equação da assíntota 
vertical e y = 0 é a assíntota 
horizontal 
5) x = 2 é a equação da assíntota 
vertical e y = - 1 é a assíntota 
horizontal 
6) a função não é contínua 
7) a função é continua 
8) a função é contínua 
9) a função não é contínua 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 69
AULA 13 
 
9 \u2013 DERIVADAS 
 
9.1 \u2013 INTRODUÇÃO: 
 O Cálculo Diferencial e Integral criado por Leibniz e Newton no século XVII tornou-se logo 
de início um instrumento precioso e imprescindível para a solução de vários problemas relativos à 
Matemática e a Física. Na verdade, é indispensável para investigação não-elementar tanto nas 
ciências naturais como humanas. 
 O formalismo matemático do Cálculo que à primeira vista nos parece abstrato e fora da 
realidade, está internamente relacionado com o raciocínio usado pelas pessoas em geral na 
resolução de problemas cotidianos. 
 
 
9.2 \u2013 DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE ANGULAR DA RETA TANGENTE AO 
GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO EM UM DETERMINADO PONTO DESTE 
GRÁFICO: 
 Seja f uma função representada no gráfico abaixo: 
y
xx
f x( )
 
 
 
 
 Gostaríamos de encontrar a inclinação da reta tangente a este gráfico em um determinado 
ponto, vamos supor P(x, f(x)). 
 Sabemos que o coeficiente angular da reta nos dá a inclinação desta. Sendo assim, 
devemos encontrar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico em P (x, f(x)). 
y
xx
f x( )
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 70
 
 Seja P(x, f(x)) e Q (x + h, f(x +h)) dois pontos da função f onde h representa a diferença 
entre as abscissas de P e Q. É fácil determinar o coeficiente angular da reta PQ utilizando os 
conceitos de trigonometria no triângulo retângulo. 
 Seja s a reta secante ao gráfico de f pelos pontos P e Q. 
 
 
 
y
x
Q
P
x x + h
f x( )
f x+h( )
f x( )
s
R
 
 
 
 Sabemos que o coeficiente angular mPQ da reta secante é dado