apostila cálculo 1 very good!!
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pr 
 
PR
QRtgmm sPQ === \u3b1 
 
h
xfhxfms
)()( \u2212+= (i) inclinação da reta secante 
 
 Podemos tomar no gráfico pontos Q1, Q2, Q3, Q5,....Qn cada vez mais próximos de P, a reta 
s(PQ) secante a curva, tende a posição de tangência em P e o acréscimo h, tende a zero. 
 
y
x
Q
P
x x + h
f x( )
f x+h( )
f x( )
s
RQ3
Q2
Q1
 
 
 
 Logo: 
 
h
xfhxfm
mm
xt
sxt
)()(lim
lim
0
0
\u2212+=
=
\u2192
\u2192
 
 
onde m representa o coeficiente angular da reta tangente. 
 
 Esse limite quando existe é chamado Derivada de t 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 71
9.3 \u2013 DEFINIÇÃO: 
 Seja uma função f: D \u2192 R, e seja D\u2019 o conjunto de todos os valores x tal que exista f\u2019(x). 
 Chama-se função derivada de f a função f\u2019 : D\u2019 \u2192 R tal que: 
 
 x
xfxxfxf x \u394
\u2212\u394+= \u2192\u394 )()(lim)(' 0 
 
Exemplo: 
 
1) Se f(x) = x2 determine a equação da reta tangente ao gráfico f no ponto de abscissa x = 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 72
 
1) Seja a função f: R \u2192 R tal que f(x) = x2. Obter a função derivada de f: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Utilizando a definição calcule a derivada da função f(x)=x3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9.3.1 \u2013 Outras notações para a função derivada: 
¾ y\u2019 (lê-se: derivada de y) 
¾ y\u2019x (lê-se: derivada de y em relação a x) 
¾ 
dx
dy
 (derivada de y em relação a x) 
¾ Df (derivada de f) 
Cálculo Diferencial e Integral 
 73
 
9.4 \u2013 SIGNIFICADO FÍSICO DA DERIVADA; 
 A questão fundamental da cinemática consiste em determinar a velocidade de um móvel 
em um instante qualquer quando é conhecida a equação de seu movimento ou seja, a expressão 
que nos dá o espaço (posição) em função do tempo, s=f(t). 
 Quantitativamente a velocidade exprime em geral, a razão de variação do espaço em 
relação ao tempo. Quando esta razão é constante, temos o movimento uniforme. Ou seja, se o 
móvel percorre um espaço S\u394 em um intervalo de tempo t\u394 , a velocidade é dada pelo quociente 
t
Sv \u394
\u394= , que é uma razão constante. 
 Quando porém, temos um movimento variado, ou seja, o móvel percorre espaços 
diferentes em tempos iguais, é necessário e fundamental distinguir a velocidade média da 
velocidade instantânea. 
 Se um automóvel percorre 120 km em 2 horas, não podemos concluir deste fato que sua 
velocidade tenha sido de 60 km/h. Se durante o percurso nós ativéssemos ao velocímetro 
constataríamos que a velocidade apresentou variação, ora para mais, ora para menos. Portanto a 
velocidade de 60 km/h que obtivemos dividindo 120km pelo tempo de 2 horas gastos em 
percorrê-los é o que chamamos de velocidade média. A velocidade que observamos a cada 
instante no velocímetro do veículo denominamos velocidade instantânean. 
 Consideremos um móvel de equação horária s = f(t) que se desloca sobre uma trajetória 
retilínea de origem O e que em um instante t1 ocupe uma posição S1 e num instante t2 ocupe uma 
posição S2. 
 
 
 Sabemos que o espaço percorrido pelo móvel entre uma posição e outra é 12 SSS \u2212=\u394 ou 
)()( 12 tftfS \u2212=\u394 e que o tempo gasto para percorrê-lo é 12 ttt \u2212=\u394 . 
 Logo, sua velocidade média neste percurso é: 
 
12
12
12
12 )()(
tt
tftf
tt
SS
t
SVm \u2212
\u2212=\u2212
\u2212=\u394
\u394= 
 Com a definição de velocidade média e considerando a variação do tempo tendendo a zero 
podemos estabelecer a equação da velocidade instantânea no instante t1, dada por: 
12
12
0
)()(limlim
tt
tftf
t
SV t \u2212
\u2212=\u394
\u394= \u2192\u394 
 
 Mas tttttt \u394+=\u21d2\u394=\u2212 1212 e considerando t1 um instante genérico t, temos ttt \u394+=2 , 
logo: 
t
tfttfV t \u394
\u2212\u394+= \u2192\u394 )()(lim 0 
 
que é a derivada da função f em relação a sua variável independente t, ou seja: 
Se S = f(t) então S\u2019(t) = v 
 Raciocínio semelhante pode ser desenvolvido a partir da função velocidade do móvel, v= 
f(t), o que nos levará a concluir que a sua derivada nos fornecerá a aceleração do móvel em um 
instante qualquer, isto é: 
 Se v = f(t) então v\u2019(t) = a 
Onde a é a aceleração instantânea do móvel. 
 
0 S1 S2 
Cálculo Diferencial e Integral 
 74
9.5 \u2013 REGRAS DE DERIVAÇÃO: 
 Esta seção contém algumas regras gerais que simplificam o trabalho de cálculo das 
derivadas. 
1) f(x) = c f\u2019(x) = 0 
2) f(x) = xn f\u2019(x) = n.xn-1 
3) f(x) = u.v f\u2019(x) = u\u2019v + uv\u2019 
4) f(x) = u.v.w f\u2019(x) = u\u2019vw + uv\u2019w + uvw\u2019 
5) 
v
uxf =)( 2
'')('
v
uvvuxf \u2212= 
6) f(x) = un f\u2019(x) = n.un-1.u\u2019 
7) f(x) = au f\u2019(x) = au.ln a.u\u2019 
8) f(x) = eu f\u2019(x) = eu.u\u2019 
9) f(x) = ln u 
u
uxf ')(' = 
10) f(x) = log a u au
uxf
ln.
')(' = 
11) f(x) = cos u f\u2019(x) = - u\u2019.sen u 
12) f(x) = sen u f\u2019(x) = u\u2019.cos u 
13) f(x) = tg u f\u2019(x) = u\u2019.sec2 u 
14) f(x) = cotg u f\u2019(x) = - u\u2019.cossec2u 
15) f(x) = sec u f\u2019(x) = u\u2019.sec u. tg u 
16) f(x) = cossec u f\u2019(x) = - u\u2019.cossec u. cotg u 
17) f(x) = uv f\u2019(x) = v.uv-1.u\u2019 + uv.v\u2019.ln u 
 )'.ln'()(' u
u
vuvuxf v += 
18) f(x) = arc sen u 
21
')('
u
uxf
\u2212
= 
19) f(x) = arc cos u 
21
)('
u
uxf
\u2212
\u2212= 
20) f(x) = arc tg u 21
')('
u
uxf += 
Cálculo Diferencial e Integral 
 75
9.5.1 \u2013 Derivada de função Algébrica: 
 
Exemplos: 
1) y = 4x2 \u2013 2x 
 
 
2) 
7
3
5
7 2 \u2212\u2212= xy 
 
 
3) 3 2xy = 
 
 
4) 
1
2
+= x
xy 
 
 
 
 
 
5) )1)(32( 2xxxy +\u2212+= 
 
 
 
 
 
 
6) 52 )3( += xy 
 
 
 
 
 
 
7) 21 xy \u2212= 
 
 
 
 
 
 
8) 
34
2
+= xy 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral 
 76
AULA 13 \u2013 EXERCÍCIOS 
 
1) y = 5X4 \u2013 3X3 + 2X2 + 3X + 5 
2) y = 7x4 -2x3 + 8x 
3) xxxy 4
2
5
3
2 23 \u2212+= 
4) 3
7
x
y = 
5) 5
4
x
y = 
6) xxy += 2 
7) 44 35 2 xxxy +\u2212= 
8) xxy 612 3 += 
9) 
53
1
\u2212= xy 
10) 
72
53
\u2212
+=
x
xy 
11) 
55
32
2 +\u2212
+=
xx
xy 
12) 
2
23
2
2
+\u2212
+\u2212=
xx
xxy 
13) y = (1 + 4x3)(1 + 2x2) 
14) y = (x2 \u2013 1)(1 \u2013 2x)(1 \u2013 3x2) 
15) y = (2x2 \u2013 4x + 8)8 
16) y = (3a- 2bx)6 
17) 3 3bxay += 
18) 3 22 )52( xy \u2212= 
19) xaxay \u2212+= )( 
20) 45 += xxy 
21) 
56
52
3 +
\u2212=
x
xy 
22) 
42
1
2 ++
+=
xx
xy 
23) 
x
xy \u2212
+=
1
1
 
24) 
xa
xay \u2212
+= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
1) y\u2019 = 20x3 \u2013 9x2 + 4x + 3 
2) y\u2019 = 28x3 \u2013 6x2 + 8 
3) y\u2019 = 2x2 + 5x \u2013 4 
4) 4
21'
x
y \u2212= 
5) 6
20'
x
y \u2212= 
6) 
x
xxy
2
4'
2 += 
7) 3
45 3
4
4
3
5
2' x
xx
y +\u2212= 
8) 
x
xy 318' += 
9) 
25309
3' 2 +\u2212
\u2212=
xx
y 
10) 2)72(
31' \u2212
\u2212=
x
y 
11) 22
2
)55(
2562' +\u2212
+\u2212\u2212=
xx
xxy 
12) 22
2
)2(
42' +\u2212
\u2212=
xx
xy 
13) y\u2019 = 40x4 + 12x2 + 4x 
14) y\u2019 = 30x4 \u2013 12x3 \u2013 24x2 + 8x + 2 
15) y\u2019 = (32x \u2013 32)(2x2 \u2013 4x + 1)7 
16) y\u2019 = -12b(3ª-2bx)5 
17) 
3 23
2
)(
'
bxa
bxy
+
= 
18) 
3 2523
20'
x
xy \u2212
\u2212= 
19) 
xa
xay \u2212
\u2212=
2
3' 
20) 
452
815' +
+=
x
xy 
21) 
32
23
)56(
10456'
+
++\u2212=
x
xxy 
22) 
32 )42(
3'
++
=
xx
y 
23) 
)1(1
1'
2 xx
y \u2212\u2212= 
24) 
2)(
'
xax
ay \u2212= 
 
Cálculo Diferencial e Integral